Otras carreras Soluciones de Sistemas Amortiguados

[rusocdu]

Hola amigos! Espero que anden bien!
Les escribo porque me han surgido algunas dudas con respecto a las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los casos amortiguado, subamortiguado y sobreamortiguado.

Supongamos que tengo un sistema masa resorte en una sup horizontal con rozamiento (alfa). Planteando me queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde propongo como solucion: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la cual derivo para la velocidad y aceleracion.
Luego calculo los valores de lambda:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Hasta aqui todo bien...
Ahora, por definicion, si el sistema es amortiguado: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por lo tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y aqui viene mi pregunta... Entonces, ¿la solucion para esto sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?


Mi otra duda es con un SOBREAMORTIGUADO, cual es su solucion?
Para uno subamortiguado no tengo problemas...

Espero que me hayan entendido...
Espero su respuesta!
Gracias como siempre!!!!

[aLFRe]

Re: Soluciones de Sistemas Amortiguados

Hola amigos! Espero que anden bien!
Les escribo porque me han surgido algunas dudas con respecto a las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los casos amortiguado, subamortiguado y sobreamortiguado.

El problema de una masa puntual sometida a una fuerza recuperadora lineal
( proporcional al desplazamiento ) y a una de rozamiento
proporcional a la velocidad se conoce como el problema del oscilador amortiguado.
Este puede encontrarse en uno de los tres regímenes siguientes :
subamortiguado, críticamente amortiguado y con amortiguamiento superior al crítico
que son los casos que se plantean en el post.

Si escribes la ecuación de movimiento verás que es una ecuación homogénea diferencial
( EDO ) de orden 2 ( contiene una segunda derivada con respecto al tiempo ) con coeficientes constantes.
La solución general de una EDO de orden dos homogénea se construye a partir de dos soluciones generales ( independientes )
de la ecuación diferencial por combinación lineal
( incorporando dos factores, constantes que dependen de las condiciones iniciales )

Como ya sabes las soluciones de este tipo de ecuaciones pueden ser exponenciales
que incorpora un polinomio de un cierto grado en la variable independiente - aquella respecto de la que derivas -
Cuando estás en los dos regímenes subamortiguado o amortiguamiento superior al crítico
cuando resuelves la ecuación de segundo grado para obtener los coeficientes de
las exponenciales te salen dos y puedes construir las soluciones.

Pero cuando la raiz de la ecuación de segundo grado es doble,
llámala $-\lambda_0$ sólo tienes 1 exponencial $\exp{-\lambda_0 t}$
y no dos, por lo cual debes de buscar otra solución general de la forma
$t \exp{-\lambda_0 t}$
La solución general de la EDO homogénea sería
$x=( A + Bt)\exp{-\lambda_0\,t}$
- observa que es la combinación lineal de dos -
y que A y B son las constantes que dependen de las condiciones iniciales.

Si tuvieses una EDO de orden superior y de este tipo y 1 única raiz el procedimiento
sería construir las soluciones incrementando el grado del polinomio que multiplica a la exponencial.

Saludos.

[rusocdu]

Re: Soluciones de Sistemas Amortiguados

Ahhhh muy bien!
Ahora lo he entendido! Es $x=( A + Bt)\exp{-\lambda_0\,t}$
Te lo agradezco Alfre!
Saludos!

[pod]

Re: (Solucionado) Soluciones de Sistemas Amortiguados

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La frecuencia fundamental tiene que ir al cuadrado (por unidades, para empezar),

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Supongo que en realidad será un descuido, por que parece que el resto lo has hecho bien, pero no está de menos confirmar.

Por cierto, no pongas \[ \] dentro de las etiquetas TEX, se dan por supuestas

Mi otra duda es con un SOBREAMORTIGUADO, cual es su solucion?

Seguramente es la más sencilla de todas, sea $\omega_1 = \frac12 \sqrt{r^2-4\omega^2}$, entonces

$$x = \eee{- r t / 2} \Big( A \eee{\omega_1 t} + B \eee{-\omega_1 t} \Big) \ .$$

Fíjate que si uno quiere, puede desarrollar las exponenciales en funciones hiperbólicas,

$$x = \eee{- r t/2} \Big( C \sinh \omega_1 t + D \cosh \omega_1 t \Big)\ .$$

Por lo tanto, es análoga a la solución infraamortiguada, pero cambiando las funciones trigonométricas por hiperbólicas.

[rusocdu]

Re: Soluciones de Sistemas Amortiguados

Gracias Pod y Alfre por ayudarme! En serio...

TEMA SOLUCIONADO