Otras carreras conservacion del momento angular en orbitas elipticas

[ser humano]

hola. mi problema es el siguiente. imaginemos un cuerpo que orbita a otro (es decir que su masa respecto a la del otro es infima y por lo tanto el centro de masa esta dentro del ultimo), donde ambos son esfericos y el motivo de el movimiento es la interaccion gravitatoria.
yo se que el modulo del momento angular se debe conservar porque no actuan fuerzas externas, pero intentando constatar esto, no me resulta.
el modulo del momenot angular lo puedo calcular sabiendo que $L=bp$ (1) donde L es el momento angular, b la minima distancia en la que se encuantran los cuerpos, y p el momento lineal. supongamos que yo tengo como datos el valor de b, el modulo de la velocidad tangencial que tiene en dicho punto y la masa de ambos cuerpos. a partir de estos dato, yo puedo calcular la energia mecanica total con la expresion:

$E_m= \frac 1 2 m v^2 - \frac{GmM}{d}$(2)

reemplazo la velociadad, por la que me dan como dato, la distancia por b, y las masas, y con esto obtengo la energia mecanica inicial total, y dado que es un sistema aislado, esta se conserva.

volviendo a (1), notamos que b es una constante y como $p=mv$ solo me restaria averigar la expresion de v para encontrar la expresion para el modulo del momento angular. la expresion para v la puedo hallar a partir de despejar en (2). pero como es notorio, su valor es relativo a la distancia "d", y por lo tanto no es una constante.

bueno, despes de toda esta reflexion, me gustaria saber en que me estoy equivocando para que me de un momento angular variable. gracias por su ayuda

pd: ¿en cambio de $\frac{-GMm}{2}$ en la expresion de la energia total, no deberia ser $-GMm$ al tener en cuenta la energia potencial del cuerpo que es orbitado por el otro? (no estoy seguro de esto y me gustaria que alguien me lo corrobore)

[woodyalex]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Ahora me pillas un poco despistado en el tema de momentos angulares,así que esto igual no está del todo bien, pero he encontrado un problema en tu afirmacion de que L=bp,(yo creo que L=r*p) si L=bp ímplica L=bmv, con lo cual

$L_1=bmv_1$
$L_2=bmv_2$

Si estos han de ser iguales por conservación,implecaria que:

$v_1=v_2$

Lo que solo es cireto en órbitas circulares, y no elípticas, por lo que deduzco que L no es bp,eso es L en el punto mas cercano, no en toda la órbia.
L en realidad seria r*p donde r es es ladio de la orbita en cada momento, de esa forma si llegarias a la ley de Kepler de que r1v1=r2v2, o lo que es lo mismo una órbita barre áreas iguales en tiempos iguales.

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

claro! gracias por tu respuesta. sin embargo me sigue quedando el problema del la variabilidad del momento angular, porque me queda que $L=r ( m\sqrt{ \frac{2E_m}{m} + \frac{2GM}{r}})$, de lo que $L= \sqrt{2r^2 E_m + 2rGM}$ , lo que me sigue quedando en funcion de la distancia

[lucass]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Y no podrías ecribir sacar la expresion de v de la fuerza centrípeta. o sea $GMm/r^2=mv^2$. Así quedaría mucho más sencillo, quedaría $rv= \sqrt {GM}$, pero no se si se puede hacer...

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Y no podrías ecribir sacar la expresion de v de la fuerza centrípeta. o sea $GMm/r^2=mv^2$. Así quedaría mucho más sencillo, quedaría $rv= \sqrt {GM}$, pero no se si se puede hacer...

no creo que se pueda hacer, porque esa expresion es valida para movimiento circular, y el problema que planteo esta generalizado para cualquier movimiento eliptico y no solo para este en particular. lamento no poder hacer una demostracion en este momento de por que la expresion vale solo para movimiento circular, ya que el la facultad no nos mostraron la demostracion, solo plantearon la ecuacion. (de todas formas te agradezco porque en este mismo momento me voy a hacer calculos a ver si puedo notar por que solo vale para ese movimiento en particular)

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

me parece que me equivoque, y que en verdad vale para todo movimiento eliptico ¿alguien lo puede corroborar?

[lucass]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Y no podrías ecribir sacar la expresion de v de la fuerza centrípeta. o sea $GMm/r^2=mv^2$. Así quedaría mucho más sencillo, quedaría $rv= \sqrt {GM}$, pero no se si se puede hacer...

me cito a mí mismo porque me di cuenta de que me equivoqué. En todo caso sería $GMm/r^2=mv^2/r$ y $v= \sqrt {GM/r}$
Perdón por la pifia.

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

me cito a mí mismo porque me di cuenta de que me equivoqué. En todo caso sería $GMm/r^2=mv^2/r$ y $v= \sqrt {GM/r}$
Perdón por la pifia.

tenes razon, y es un problema eso en este caso. el momento angular sigue quedando en funcion de la distancia


$L= \sqrt{ GMr}$

[woodyalex]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

me parece que me equivoque, y que en verdad vale para todo movimiento eliptico ¿alguien lo puede corroborar?

No la fórmula expuesta solo vale para movimiento circular,examinandola puedes ver que su significado es que en todo momento la fuerza hacia dentro , es igual que la hacia afura y eso es en un movimiento circular

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

No la fórmula expuesta solo vale para movimiento circular,examinandola puedes ver que su significado es que en todo momento la fuerza hacia dentro , es igual que la hacia afura y eso es en un movimiento circular

complemento: la aceleracion centripeta es uno de los terminos de la aceleracion total que sale de derivar dos veces la posicion de una particula en funcion del tiempo. en el movimiento circular el modulo de la posicion es una constante, y por lo tanto no hay que derivar en cadena, sin embargo en otra elipse el modulo de la posicion es vasrible con el timpo por lo que hay que derivarla. en ambos el vector posicion es $\vec r = (r \cos a ; r \sin a)$ solo que cuando no es un circulo, r es varible, y claramente al derivarse no va a dar las mismas expresiones

aun sin solucion esta el problema del tema

[pod]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Tienes que tener en cuenta que el momento angular viene definido por un producto vectorial, así que no sólo importa la distancia, sino la orientación relativa de la velocidad. De hecho, la forma más útil es descomponer la velocidad en la componente radial, $\dot r$ y la perpendicular, $r\dot \theta$ (que es la que aparecerá en el momento angular). Lo cual permite escribir

$$E = \frac{L^2}{2m r^2} + \frac12 m \dot r^2 - \frac{GMm}{ r} \ .$$

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Tienes que tener en cuenta que el momento angular viene definido por un producto vectorial, así que no sólo importa la distancia, sino la orientación relativa de la velocidad. De hecho, la forma más útil es descomponer la velocidad en la componente radial, $\dot r$ y la perpendicular, $r\dot \theta$ (que es la que aparecerá en el momento angular). Lo cual permite escribir

$$E = \frac{L^2}{2m r^2} + \frac12 m \dot r^2 - \frac{GMm}{ r} \ .$$

no termino de comprenderlo del todo... ¿por que solo se toma la componente perpendicular a el vector posicion para calcular el momento angular?

comprendo que el ultimo termino hace referencia a la energia potencial, ¿y los primeros dos? (¿es el primer termino la energia cinetica rotacional? de ser asi ¿por que el momento de inercia es igual al momento angular?, ¿es el segundo termino la energia cinetica lineal ¿por que se toma unicamente la componente radial de la velocidad?
(otra cosa)
¿ por que si despejo L de esa ecuacion (o de cualquiera de las otras mencionadas) no me da una constate (que supongo que tendria que darlo al ser un sistema aislado)?

(cuantas preguntas!, que molesto que soy!, me disculpo)

[pod]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

no termino de comprenderlo del todo... ¿por que solo se toma la componente perpendicular a el vector posicion para calcular el momento angular?

Por definición. Estúdiate el producto vectorial.

¿y los primeros dos? (¿es el primer termino la energia cinetica rotacional?

Energía cinética.

¿por que el momento de inercia es igual al momento angular?

No lo es. Para empezar, tienen unidades diferentes. El momento de inercia es $I = m r^2$, por definición también, tenemos una partícula puntual.

¿es el segundo termino la energia cinetica lineal ¿por que se toma unicamente la componente radial de la velocidad?

Porque el resto de la velocidad está dentro del momento angular. Teorema de pitagoras, $v^2 = \dot r^2 + (r \dot\theta)^2$.

¿ por que si despejo L de esa ecuacion (o de cualquiera de las otras mencionadas) no me da una constate

Sí te lo da. La velocidad radial tiene una dependencia con el radio justo de forma que se cancelan.

(que supongo que tendria que darlo al ser un sistema aislado)?

Este no es un sistema aislado, ya que en realidad sólo estás tratando la partícula puntual que oscila, y está sometida a una fuerza de otro cuerpo. Si el momento angular es constante es porque la gravedad es de tal forma que conserva el momento angular. Estúdiate el tema de fuerzas centrales.

que molesto que soy!

Algo.

[ser humano]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

Por definición. Estúdiate el producto vectorial.

sabia que caundo los vectores eran parlelos el producto vectorial da cero, pero no sabia que tambien valia para las componentes

No lo es. Para empezar, tienen unidades diferentes. El momento de inercia es $I = m r^2$, por definición también, tenemos una partícula puntual.

yo tengo que la energia cinetica rotacional es $E_c=\frac 1 2 I \omega ^2$, dado que $\omega = \frac{L}{m r^2}$, la expresion podria ser $E_c=\frac 1 2 I \frac{L}{m r^2}$. por eso te pregunte de por que de la igualdad, porque en la expresion que escribiste en cambio de I esta L.

Sí te lo da. La velocidad radial tiene una dependencia con el radio justo de forma que se cancelan.

ah, ok. excelente

Este no es un sistema aislado, ya que en realidad sólo estás tratando la partícula puntual que oscila, y está sometida a una fuerza de otro cuerpo. Si el momento angular es constante es porque la gravedad es de tal forma que conserva el momento angular.

¿si tomo ambos cuerpos no es un sistema aislado?

Estúdiate el tema de fuerzas centrales.

en eso estoy

Algo

siempre un gusto hablar con vos, siempre tan amable

[lucass]

Re: conservacion del momento angular en orbitas elipticas

yo tengo que la energia cinetica rotacional es $E_c=\frac 1 2 I \omega ^2$, dado que $\omega = \frac{L}{m r^2}$, la expresion podria ser $E_c=\frac 1 2 I \frac{L}{m r^2}$. por eso te pregunte de por que de la igualdad, porque en la expresion que escribiste en cambio de I esta L.

Hola. Me disculpo por lo de antes. Mi ayuda no sirvio de nada.
A ver si ahora me puedo reivindicar...
la energía cinética rotacional es $K= \frac 1 2 I \omega ^2$
Así medio a lo bruto, si multiplicas y dividis por I, queda:
$K= \frac {(I \omega)^2}{2I}$
pero $I \omega=L$ es el momento angular
así que queda:
$K=\frac {L^2}{2m}$
Después ponés $I=mr^2$ y queda lo que dijo pod en su post.
Fijate también que esa es la equivalente de $E_c=\frac {p^2}{2m}$
Por supuesto en los libros lo hacen mejor, con los vectores y todo...
Nos vemos amigo!