Divulgación ¿Por qué orbitas elípticas?

[Diamond]

Hola! He estado mirando por encima los hilos de esta sección del foro pero no me ha parecido ver que alguien lo preguntase.
Mi duda es, como bien dice el título: ¿Por qué orbitas elípticas en cuanto a los planetas y el Sol?
He estado mirando muchos lugares y no he podido sacar nada en claro: unos dicen que es por que la atraccción gravitatoria inter-planetaria afecta la órbita global alrededor del Sol.
Otros dicen que es a causa de la fuerza que atrae el planeta al Sol mezclada con la fuerza que aleja todo cuerpo que gira del centro de la circunferencia en la que gira.
Cabe destacar que en los lugares en los que lo he leído no parecen tenerlo del todo claro, así que una vez más apelo a vuestros conocimientos, a ver si alguien me muestra la luz

P.D: no me refiero a que se explique cómo sabemos que la Tierra gira elípticamente, sino el porqué de ello. Espero haber sido claro xD

[aLFRe]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mi duda es, como bien dice el título:
¿Por qué orbitas elípticas en cuanto a los planetas y el Sol?

Hola.
En Mecánica se demuestra que bajo fuerzas centrales
( la gravedad es una fuerza central ) la trayectoria de una partícula
es un tipo especial de curva llamadas cónicas.

AÑADIDO : Esto está mal.
Las fuerzas centrales tienen la forma $\vec{F}(\vec{r})=F(r)\frac{\vec{r}}{r}$
puesto que $F(r)=-\frac{d\,V}{d\,r}$ en general se podrá construir una función energía potencial
por lo cual es un fuerza conservativa :
La naturaleza de estas fuerzas implica que
1. siempre que podamos decir que es conservativa, se conservará la energía mecánica
2. Se conserva el momento angular, lo que garantiza que
2.a. el movimiento tendrá lugar en un plano
( determinado por el vector que une la partícula con el centro de fuerzas ) que no varía
2.b. que la velocidad aerolar es constante
( el vector que une la partícula con el centro de fuerzas barre áreas iguales en tiempos iguales )

AÑADIDO (2) : Para determinar que una fuerzas es conservativa,
la condición es $\vec{nabla}\times\vec{F}=0$ no tanto las consideraciones que yo he hecho.
Si tiene sentido tomar el rotacional, es evidente que las fuerzas centrales verifican la condición.

Para el caso del potencial de Kepler $V=-K\frac{1}{r}$ y el Coulombiano $V=\pm K'\frac{1}{r}$
las trayectorias son cónicas.
La energía mecánica de la masa determina el tipo de cónica,
cuando es negativa tienes una elipse o una circunferencia,
cuando es cero tienes un parábola
y cuando es positiva una hipérbola.

Luego tenemos una elipse o circunferencia - o el caso degenerado de la recta -
cuando la masa no tiene energía suficiente
como para escapar de la atracción gravitatoria.
Imagina ahora que la fuerza de la gravedad siempre fuese igual a su
masa x aceleración normal
$F_g= m\frac{v^2}{R}$
( o si lo quieres con signo menos a la fuerza centrífuga
$\vec{F_g}+\vec{F_c}=0$
),
la trayectoria sería entonces una circunferencia.
Esto es un caso muy concreto, puede ser mayor o menor
y dentro del caso general en que la energía es negativa, tienes una elipse.

Por último, decirte que la elipse es una aproximación a la trayectoria real
que sigue un planeta en su órbita en torno a El Sol.
La realidad es que la teoría se basa en una masa puntual que orbita en torno
a un centro de fuerzas sin considerar otros efectos.

Saludos.

[ser humano]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

complemento desde una perspectiva mas cualitativa:
pensemos en un satelite o un planeta o cualquier otra cosa que se mueve en linea recta sin influencia de otras fuerzas, asi como muestra la figura 1.
ahora imaginemos que aparece un cuerpo de una inmensa masa, que al aparecer (como consecuencia de la gravitacion) le genera al primer cuerpo una aceleracion hacia su direccion, como muestra la segunda figura. siendo de esta manera, el vector velocidad que poseia antes y el vector velocidad que adquirio (el verde y el violeta) se componen y generan un nuevo vector (es decir que ambas velocidades al "unirse" generan una nueva velocidad con una nueva direccion, (el rojo)), el cual nos muestra en el sentido que se movera el satelite.
una vez que se mueve en la direccion y sentido determinado por el vector rojo, esta nuevamente en la misma situacion inicial , es decir que este vector rojo se va a volver a componer con el vector velocidad que surja de la aceleracion producida por la gravitacion (ultima figura).
creo te va a ayudar a comprender cualitativamente el por que de ese movimiento en particular. tenes que tener en cuenta que la orbita va a ser circular unicamente si la composicion de ambos vectores, da otro que este inclinado con respecto a cualquiera de ellos 45°.

[Juanma1976]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

La verdad es que es un ejemplo perfecto que ilustra perfectamente que en una órbita periódica existe una caída infinita.

Lo digo porque muchísima gente tiene el concepto erroneo de que los objetos que orbitan no están bajo el campo gravitatorio del objeto que los hace orbitar por que "no caen" como los objetos ordinarios cerca de la superficie de la Tierra.

Un saludo!

complemento desde una perspectiva mas cualitativa:
pensemos en un satelite o un planeta o cualquier otra cosa que se mueve en linea recta sin influencia de otras fuerzas, asi como muestra la figura 1.
ahora imaginemos que aparece un cuerpo de una inmensa masa, que al aparecer (como consecuencia de la gravitacion) le genera al primer cuerpo una aceleracion hacia su direccion, como muestra la segunda figura. siendo de esta manera, el vector velocidad que poseia antes y el vector velocidad que adquirio (el verde y el violeta) se componen y generan un nuevo vector (es decir que ambas velocidades al "unirse" generan una nueva velocidad con una nueva direccion, (el rojo)), el cual nos muestra en el sentido que se movera el satelite.
una vez que se mueve en la direccion y sentido determinado por el vector rojo, esta nuevamente en la misma situacion inicial , es decir que este vector rojo se va a volver a componer con el vector velocidad que surja de la aceleracion producida por la gravitacion (ultima figura).
creo te va a ayudar a comprender cualitativamente el por que de ese movimiento en particular. tenes que tener en cuenta que la orbita va a ser circular unicamente si la composicion de ambos vectores, da otro que este inclinado con respecto a cualquiera de ellos 45°.

[Diamond]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mmm empiezo a hacerme una idea de qué queréis decir, pero me siguen asaltando algunas dudas...
Como decía Alfre, sólo hay circunferencia perfecta si la Fg = Fc, en cambio si una de las dos fuerzas (centrífuga o gravitatoria) es mayor que la otra hace que dicha circunferencia se distorsione creando una elipse. Pero, en tal caso, si la fuerza gravitatoria fuese mayor que la centrífuga, ¿no acabaría acercándose al planeta a modo de espiral hasta colisionar contra él?. Y en el caso contrario, si dicha fuerza gravitatoria fuera menor que la centrípeda, ¿el satélite no describiría la misma espiral pero alejándose del centro al que orbita hasta llegar un momento que su energía potencial fuera tan baja que por su velocidad escapase de la atracción?

Por otra parte, en cuanto a los dibujos que nos ha mostrado Ser Humano, si el satélite va curvando su órbita hacia adentro, ¿Por qué acaba alejándose de nuevo (hasta llegar a un extremo de la elipsis) para después volver? En un principio debería ir curvándose hasta colisionar, ¿no?

Es que no me ha quedado del todo claro como una órbita es estable siendo elíptica, dado que contínuamente existen cambios en la atracción, pero en cambio la elipse es siempre cíclica (es decir, que se repite).

Disculpad mi torpeza si esta discusión os parece una chorrada, pero es que realmente la cuestión me está quebrando los sesos

Un saludo a todos y muchas gracias por echarme un cable

[Adosgel]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

La trayectoria no es una espiral porque la fuerza de la gravedad aumenta con la disminución del cuadrado de la distancia, lo que estira la espiral hasta una elipse. Pero, ¿porqué se dá esta coincidencia?.

Hay cuerpos celestes para los que la elipse gira su orientación unos grados en cada vuelta por motivos ajenos al fondo de la cuestión; luego, en la realidad no existe un ejemplo suficientemente aislado como para que esta propiedad se cumpla perfectamente.

Supongamos entonces un ejp. ideal. Para que tampoco nos moleste, supongamos un cuerpo, el masivo con un diámetro de volumen infinitésimo, qué digo, puntual. Y ya puestos el cuerpo que orbita, de masa despreciable, también puntual.
Para los cálculos, esta suposición imposible no altera las relacciones matemáticas, puesto que en ellas se toma al centro de gravedad como referencia espacial puntual en los cálculos.

Resulta que si pretendemos dar un momento al satélite tal que su vector velocidad coincida con el vector de la fuerza de gravedad entre él y el cuerpo central; nos vemos en un "azar" de valor provabilístico infinitésimo; pues se requiere una orientación (dirección) entre infinitas posibles dentro de n varemo dado, por muy pequeño que sea este.

Así pues, lo practico es centrarnos en el resto de infinitos posibles momentos. Kepler descubrió que estos cumplian un patrón matemático, aún cuando no tenía suficientemente asumido el concepto de fuerza a distancia. Y el hecho de que los vectores no coincidan en estos casos implica un vector velocidad distinto de 0 perpendicular al vertor fuerza del campo gravitatorio que no puede ser anulado por éste; por lo que en ningún punto de la trayectoria podrán coincidir en dirección el vertor velocidad y el vector fuerza. Los puntos nunca se juntarán.

Lo mismo que lo anterior ocurre con la trayectoria que describe una circunferencia perfecta. Requiere un momento concreto inalterable entre infinitos posible; por lo pue su provabilidad también será infinitésima, cosa que acabó entendiendo Kepler.
Pero es el cumplimiento de una posible órbita circular, lo que permite el cumplimiento de la eliptica. Ambas fundamentan su cumplimiento en el ciclo en el espacio.
La trayectoria circular nos dice que es posible cumplirse ese ciclo.
La trayectoria elíptica que es obligado.
¿por qué es obligago?

Si tomas a la gravedad como una contracción del espacio en el tiempo, diferencial respecto a la distancia en la dirección y sentido al centro de gravedad. Y si asumimos la caida libre como un estado inercial al ser el espacio el que se contrae de manera diferencial, y no el satélite puntual el que se acelera. Resulta que ese estado inercial del satélite se mantiene en el tiempo en una orbita circular y desde la observación.
Pero resulta que sin atmósfera y como cuerpo puntual, también estaría en un estado inercial en una órbita elíptica; a pesar de que desde la observación desde fuera del sistema, su velocidad varía lo que se asume como una aceleración; positiva si disminuye el radio entre cuerpos, y negativa si aumenta dicho radio. Pero siempre cumpliéndose la segunda ley de Kepler.

Y es que en este marco de un campo gravitatorio, los estados inerciales son geodésicas curvas hipérboles, parábolas, elipses o circunferencias, nunca rectas.

Saludos.

[ser humano]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Por otra parte, en cuanto a los dibujos que nos ha mostrado Ser Humano, si el satélite va curvando su órbita hacia adentro, ¿Por qué acaba alejándose de nuevo (hasta llegar a un extremo de la elipsis) para después volver? En un principio debería ir curvándose hasta colisionar, ¿no?

bueno, veamoslo desde el siguiente punto de vista. supongamos que tenes una piedra y una muchisima fuerza, y te propones ver que tan lejos podes llegar a tirar esa piedra. dado que tenes mucha fuerza, la velocidad inicial que le imprimis en el primer tiro es suficiente como para dejar de pensar a la superficie terrestre como plana (fig. 1). no conforme con tu resultado, volves a tirar otra piedra a la que le imprimis una velocidad tal, que la piedra sigue cayendo incluso despues de haber dado una vuelta completa. si en este punto (despues de haber dado una vuelta completa) tiene la misma velocidad que tenia en un principio (cuando fue arrojada), claramente la situacion se repetira, y tendras una orbita (fig. 2).
hay que notar que la condicion es que al llegar a el mismo punto de donde se arrojo tenga la misma velocidad que tuvo al principio. es por esto que los satelites son puestos en orbitas en las altas capas de la atmosfera, donde el roce con los gases es despreciable (el ejemplo de la piedra es un ideal, porque el roce del aire, con la concentracion que esta a nuestra altura, disminuiria significativamente la velocidad de la piedra en su recorrido).

Pero, en tal caso, si la fuerza gravitatoria fuese mayor que la centrífuga, ¿no acabaría acercándose al planeta a modo de espiral hasta colisionar contra él?. Y en el caso contrario, si dicha fuerza gravitatoria fuera menor que la centrípeda, ¿el satélite no describiría la misma espiral pero alejándose del centro al que orbita hasta llegar un momento que su energía potencial fuera tan baja que por su velocidad escapase de la atracción?

yo particularmente no intentaria comprender el fenomeno incorporando la "fuerza centrifuga", porque como notaras en la primera explicacion que te di, no es necesario hablar de ella para comprender el mecanismo del fenomeno y tampoco hay ningun ente generando una ineraccion de tal tipo.
si la velocidad inicial es bastante mayor a la velocidad que la gravitacion le imprime a aquello que orbite, entonces la composicion de vectores va a dar otro vector que se incline menos abruptamente hacia el centro, pero de todas formas se inclina. de acuaerdo a que tan grande sea la magnitud de esa fuerza, o bien puede "escaparse" (si la velocidad inicial es la llamada velocidad de escape) o bien puede llegar a un punto en donde empezara a volver y a medida que se acerque la velocidad imprimida por la fuerza gravitatoria sera mas influyente, pues esta es relativa a la distancia.

[pod]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

En el fondo no es más que un equilibrio. Si un cuerpo tiene la velocidad necesaria, se escapará de la gravedad. Si su velocidad es menor, entonces caerá. Pero en su caída, se acelerará. Y es posible que su velocidad llegue a ser tan grande que pueda empezar a escaparse de la gravedad: por lo tanto dejará de caer y volverá a ascender.

Pero al ascender, está luchando contra la gravedad y por lo tanto se frenará. En consecuencia, volverá a caer. Y así un círculo vicioso que no termina nunca.

¿Y que pasa si tenemos la suerte inmensa que la velocidad es justamente la necesaria, ni un poquito más, ni un poquito menos? Pues se quedará a la misma distancia: órbita perfectamente circular.

[carroza]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Hola.

Las orbitas de los planetas son elípticas, y no de otra forma, porque la interacción es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia.

Eso hace que exista una magnitud conservada, que se denomina Vector de Runge-Lenz que básicamente va en la dirección de la excentricidad de la elipse.



es.wikipedia.org/wiki/Vector_de_Runge-Lenz

Si la fuerza gravitatoria fuera algo diferente de 1/r^2, como ocurre en relatividad especial, las órbitas dejarían de ser elípticas. Este es el origen de la precesión del perihelio de Mercurio.

[vestidoy]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mirad soy una chica de 16 años que esta en 1º de bachiller, el año pasado me cogí latín, asique mis conocimientos en fisica son pocos. Esta mañana hemos dado en Ciencias para el mundo contemporáneo el universo y no entiendo por qué los planetas se mueven en una órbita elíptica y no en una circular si se supone que la fuerza con la que el Sol los atrae es siempre la misma. (Esque el profesor lo ha explicado 3 veces y yo vuestras explicaciones no ls entiendo)

[ser humano]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

te recomendaria que leas los post que deje en este mismo tema, no poseen ni un solo calculo, y los considero sencillos de comprender (o al menos no los he encontrados asi en ningun otro lugar).
saludos

[Diamond]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Cierto, te doy la razón Ser Humano. Las explicaciones muy buenas me ha hecho gracia sobre todo la de Pod: escueta, directa y realmente convincente jeje

No he contestado antes a este hilo (a pesar de ser yo el de la duda...) porque acabo de mudarme a mi piso universitario y no pude conectarme antes

Un gran saludo y gracias a todos de nuevo

[aLFRe]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mirad soy una chica de 16 años que esta en 1º de bachiller, el año pasado me cogí latín, asique mis conocimientos en fisica son pocos. Esta mañana hemos dado en Ciencias para el mundo contemporáneo el universo y no entiendo por qué los planetas se mueven en una órbita elíptica y no en una circular si se supone que la fuerza con la que el Sol los atrae es siempre la misma. (Esque el profesor lo ha explicado 3 veces y yo vuestras explicaciones no ls entiendo)

Es que la fuerza de la gravedad no es la misma.
La fuerza de la gravedad es una fuerza atractiva que depende inversamente
del cuadrado de la distancia al centro de fuerzas
$F=-G\frac{mm'}{r^2}$
Si las masas son las mismas si aumenta la distancia r la fuerza es menos intensa
y si disminuye la fuerza es más intensa.
Como puedes ver sólo en el caso en que la órbita es circular
y el radio siempre es el mismo lo que tu dices es correcto.

El tipo de órbita ( elípse, circunferencia parábola o hipérbola ) viene determinado por la energía y luego el momento angular determina el valor del segundo semieje de la elipse, creo recordar.
Una forma de entender esto es construir la curva del potencial efectivo
para el movimiento bajo el potencial gravitatorio
que nos describe el movimiento en la componente radial,
la distancia que separa en cada momento a la masa en movimiento del centro de fuerzas.

Distintos valores de energía se representan mediante líneas horizontales en rojo.
Si observas, para energías negativas que son los casos en que el movimiento
esta confinado en una región del espacio, puede haber dos casos.

1. Que la línea horizontal corte a la curva en 1 punto,
esto quiere decir que la posición del móvil mantiene siempre su distancia
al centro de fuerzas constante, y esta trayectoria es una circunferencia.

2. Que la línea horizontal corte a la curva en 2 puntos,
esto quiere decir que el movimiento radial del móvil tiene lugar entre dos valores
del radio, uno máximo y otro mínimo.
El semieje mayor de la elipse es la suma de estos dos.

Tienes que recordar que el movimiento tiene lugar en un plano.
Mientras el radio varía el ángulo también lo hace
Con los dos últimos dibujos espero que entiendas un poco a lo que se refiere cada cosa.

AÑADIDO: creo recordar que se planteó la cuestión de el porqué la órbita tenía que cerrarse
La realidad es que para el potencial de Kepler $V=-\frac{K}{r}$ esto es así
y si, por ejemplo tomamos en una órbita elíptica, la posición $r=r_{min}$
como $\theta=0$ la órbita se cierra si $r=r_{min}$
se alcanza para un $\Delta \theta=2\pi$
o puesto que la trayectoria debe de ser simétrica si $r=r_{max}$
se alcanza para un $\Delta \theta=\pi$
Para otros potenciales se pueden presentar muchos casos.

Saludos.

[pod]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mirad soy una chica de 16 años que esta en 1º de bachiller, el año pasado me cogí latín, asique mis conocimientos en fisica son pocos. Esta mañana hemos dado en Ciencias para el mundo contemporáneo el universo y no entiendo por qué los planetas se mueven en una órbita elíptica y no en una circular si se supone que la fuerza con la que el Sol los atrae es siempre la misma. (Esque el profesor lo ha explicado 3 veces y yo vuestras explicaciones no ls entiendo)

Hombre, demostrar por qué son elípticas es algo difícil para tu nivel. Pero sí que es muy fácil ver por qué no son circulares.

Las órbitas circulares tienen una velocidad muy concreta, seguro que sabes calcularla igualando fuerza centrípeta y gravedad. Eso significa que para que una órbita sea circular la velocidad tiene que ser exactamente esa, y además dirigida exactamente en la dirección correcta (perpendicular al sol). ¿Qué pasa si la velocidad no es exactamente la necesaria, sino un poco diferente? ¿O si está dirigida en otra dirección? Entonces, la órbita no puede ser circular. Será diferente.

Imagínate que la velocidad es un poco menor que la necesaria. Entonces, como la velocidad es demasiado pequeña para mantener la órbita, el planeta empezaría a "caer" un poco. Al caer, se aceleraría, y entonces llegaría a tener una velocidad que le volvería permitir alejarse del sol un poco... y así, viceversa, tal y como expliqué en el mensaje 8 de este hilo.

[aLFRe]

Re: ¿Por qué orbitas elípticas?

Mirad soy una chica de 16 años que esta en 1º de bachiller, el año pasado me cogí latín, asique mis conocimientos en fisica son pocos. Esta mañana hemos dado en Ciencias para el mundo contemporáneo el universo y no entiendo por qué los planetas se mueven en una órbita elíptica y no en una circular si se supone que la fuerza con la que el Sol los atrae es siempre la misma. (Esque el profesor lo ha explicado 3 veces y yo vuestras explicaciones no ls entiendo)

Si se me permite volver a las andadas y OFF-TOPIC total,
resulta curioso que tengáis que cursar "Ciencias para el mundo contemporáneo"
( no sabía que hubiese unas Ciencias para el mundo contemporáneo
y otras ciencias para el mundo carca )
en lugar de las antiguas Ciencias Naturales
obligatoria en 1º de BUP y Física y Química que era obligatoria en 2º
- espero que algo de éstas se haya visto en ESO porque si no... menudo plan -
Miedo me da preguntarte si aún se da en Bachiller Matemáticas
o si se le ha cambiado el nombre a "Ciencias Lógico-Deductivas para un mundo más feliz".

De todas formas has hecho bién optando por el latín porque tiene más futuro
en España que la Física.
A mí siempre se me dió muy bién el latín
y desconozco si me habría pasado lo mismo con el griego.
Ojalá yo hubiese hecho como tú y me hubiese dedicado al latinajo
porque ahora sería funcionario y mis preocupaciones no irían más allá
de irme a desayunar todos los días.

Saludos.