1r ciclo bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

[gfellay]

Tengo una bola cayendo sobre un plano circular como muestra la imagen.

Entre el punto A y el B el objeto se desliza sin rozamiento, entre B y C la superficie tiene rozamiento. Los datos que tengo son
masa del objeto = 1 Kg
coeficiente de rozamiento dinamico entre B y C = 0,1
Distancia entre B y C = 10 m
El enunciado me plantea que el objeto parte del reposo en A y cuando llega a C se detiene. Me piden
a) Calcular la altura a la que se encuentra el punto A
b) Calcular la velocidad que tiene el objeto en el punto B
c) Si se conservan o no la energía y la cantidad de movimiento en cada tramo

Primero comento que planteé el punto b) "mezclando" las ecuaciones de Newton con las ecuaciones de cinética y llego a que la velocidad en el punto B es 4.47 m/s

El problema lo tengo en el punto a) ya que no me doy cuenta como encararlo. Lo que hice fue,
- Hacer el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo desde el punto A, tomando el origen precisamente en ese punto, un eje en el sentido radial (positivo hacia el centro) y el otro eje en el sentido tangencial (positivo antihorario).
- A partir de este diagrama planteé las ecuaciones que me quedaron
Radial: $\Sigma F_r = \vec{n} - mg\cos \theta = \frac {m v^2} {R}$
Tangencial: $a_t = g \sin \theta$

reemplazando en el punto A( $\theta = 0$ ) me queda
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

reemplazando en el punto B( $\theta = 90º$ ) me queda
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

de la última ecuación, como yo calculé v antes, puedo intentar despejar R (que seria la altura pedida) como
$R = \frac {1Kg (4.47m/s^2)^2} {\vec{n}}$
que es
$R = \frac {20N m} {\vec{n}}$

y hasta acá llegué pues me queda una ecuación con 2 incognitas pues no se como relacionar esta ecuación con las anteriores

Al que pueda ayudarme, desde ya mi mayor agracedimiento,

Respecto al punto c), calculo que entre los puntos A y B SI se conserva la energía (al no haber rozamiento), pero entre B y C no.

Gracias y saludos
gfellay

[lucass]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

Breve porque me voy a comer:
Esto tiene que solucionar todos tus problemas: $W_{Fnc}=\Delta E$
Supongo que habran dado algo acerca de las fuerzas conservativas y no conservativas. En este problema la única fuerza no conservativa que hace trabajo es la fuerza de roce. De esa ecuación sale el apartado a, en dos patadas
Espero que te sirva

[neometalero]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

En el segundo tramo se debe cumplir que:

$${\mu}mgL=\frac{mv^2}{2}$$

de forma que la velocidad con que llega ahí es v=4.427m/s. Usando conservación de la energía sacas que h=1m.
Agradecer es gratis!!!

[pod]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

De hecho, la forma más fácil de hacerlo es precisamente por conservación de la energía. Si la altura del punto A es h, entonces simplemente

$$m g h = \frac12 m v^2_b \ .$$

Si te empeñas a hacerlo por fuerza, es algo más largo. Tal y como lo has puesto, el punto A no es $\theta = 0$. Fíjate que en A, el peso no tiene ninguna componente radial (es perpendicular, por que justo en ese punto la pista es completamente vertical). En cambio, si pones $\theta = 0$ en tus fórmulas, la parte tangencial se anula y la radial no. Debería ser al revés. Por lo tanto,

$$N - mg \sin\theta = m v^2 / r\ ,$$

$$a_t = g \cos\theta\ .$$

Ahora bien, la primera ecuación es completamente inútil. Sólo sirve para saber el valor de la normal, que como no hay rozamiento no nos interesa para nada. Todo lo podemos sacar de la segunda ecuación. Hay que integrarla, y como está en función del ángulo, lo más cómodo es utilizar la regla de la cadena de la forma siguiente,

$$a_t = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta} \frac{\dd \theta}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta}\omega = \frac{\dd v}{\dd \theta}\frac{v}{r}\ .$$

Metiéndolo en 1,

$$v \dd v = g r \cos\theta \dd\theta\ .$$

Ahora se trata de integrar, cuando el ángulo vale , la velocidad también es cero. Esta condición inicial se pone en los límites inferiores de las integrales. Por lo tanto,

$$\int_0^v \!\!v \dd v = g r \int_0^{\pi/2} \cos\theta \dd\theta\ .$$

Integrando

$$\frac12 v^2 = g r \sin\theta \Big|_0^{\pi/2} = g r \ .$$

Casualidades de la vida (quizá no tan casual), esto es precisamente lo mismo que salía haciéndolo por energías.

[Laron]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

lo mataste jaja...

[pod]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

lo mataste jaja...

Eso tendrás que demostrarlo ante un tribunal.

[Laron]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

Eso tendrás que demostrarlo ante un tribunal.

JAjajaja eres chistoso me recuerdas a Stephen Hawking

[neometalero]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

Tan feo es? jurl jurl jurl...

[gfellay]

Re: bola cayendo en plano circular (Dinamica, Energía, etc)

Muchas gracias a todos. Pod, en especial a tí pues como bien dices sale por energía, pero con todo el trabajo que te tomaste me quedó mucho mas claro la relación que hay entre dinámica y energía.

Nuevamente, muchas gracias.

Saludos
gfellay