1r ciclo Aceleración en una pendiente

[Akendam]

Este problemilla me tiene a mal traer.
Dice así:

Un contrapeso de plomo de 200 grs. cuelga del techo de un automóvil sostenido por un hilo delgado. El automóvil sube una cuesta de 12º y acelera a 2.25 $\frac m{s^2}$.
Calcular la tensión en el hilo.

Al hacer el diagrama de cuerpo libre, tomo como sistema de referencia:
La vertical; es el peso del contrapeso.
La tensión del hilo es oblicua y forma un ángulo de 12º respecto a la horizontal. Además está la componente vertical.
El problema es que además está acelerando en la pendiente, ¿forma otro ángulo?.
Les agradecería si me pueden echar una mano, pues estoy un poco confundido.

[Xel]

Re: Aceleración en una pendiente

Prueba a descomponer el peso y la tensión en la dirección del movimiento del vehículo y en su perpendicular, así tendrás 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la tensión y el ángulo que forma ésta respecto a la dirección de movimiento ...

[Akendam]

Re: Aceleración en una pendiente

Xel, no entiendo a que te refieres.
Si tomo como sistema de referencia la dirección del movimiento, me queda:
$<br /> \begin{matrix}<br /> \Sigma F_x= T*Cos(\theta)-m*g*Sen 12 = m*a_x \\<br /> \Sigma F_y= T*Sen (\theta)- m*g*Cos 12 = m*a_y<br /> \end{matrix}<br />$

y puesto que $a_y=0$, y $a_x=a$

Me queda que: $Tan (\theta)=\frac{g*Cos 12}{g*Sen 12 + a}$
De aquí obtengo el ángulo, reemplazo en la tensión del hilo, y me da T=2.10 N.
Cosa que no me convence porque el ejercicio anterior que es similar pero sobre un trayecto recto da igual.

[electr0n]

Re: Aceleración en una pendiente

Hola!

Creo que has escrito mal las ecuaciones. Deberían quedar así:

$Tsen\theta-mgsen12^o=ma$

$Tcos\theta-mgcos12^o=0$

El ángulo $\theta$ no nos interesa, de modo que hay que eliminarlo de las ecuaciones elevando al cuadrado y sumando:

$\displaystyle T=m\sqrt{a^2+g^2+2agsen12^o}=2,10N$

Tienes la suerte de que al elevar al cuadrado y sumar, sale lo mismo que dices...

En un trayecto recto no sale lo mismo, puesto que quedaría:

$\displaystyle T=m\sqrt{a^2+g^2+2agsen0^o}=m\sqrt{a^2+g^2}=2,01N$

ya que el ángulo de inclinación al subir el coche por la pendiente aumenta la tensión, independientemente de lo que acelere.

Saludos!

[Akendam]

Re: Aceleración en una pendiente

¡Gracias electr0n!. Como siempre claro y preciso en tus respuestas.

[electr0n]

Re: Aceleración en una pendiente

De nada, hombre, ¿Por qué decías que te sale lo mismo?

[Akendam]

Re: Aceleración en una pendiente

Es bueno que me lo preguntes electr0n, porque en realidad el que se ha confundido soy yo con el resultado. En el anterior ejercicio (del que sí poseo la respuesta), me dice que da T=2.09 N (y es el resultado que obtengo).

El ejercicio anterior decía así:
Un contrapeso de plomo de 200 grs. cuelga del techo de un automóvil sostenido por un hilo delgado. Calcular la tensión en este hilo si el automóvil es acelerado a 3.60 $\frac {m}{s^2}$ en un camino horizontal.

Convengamos que si el coche se hallara en reposo la tensión sería igual al peso, y listo.
Pero el coche acelera, y por lo dicho anteriormente las fuerzas no son codireccionales, son oblicuas entre sí.
Yo elegí un sistema de referencia con una coordenada horizontal (la misma dirección que la aceleración) y la otra vertical. El peso no lo descompongo, ya que coincide con la vertical. En cambio, la tensión del hilo, sí.
Aplico la 2ª ley de newton por separado para cada uno de los ejes. (Lo mismo que hice en este último.)
Trabajándolo matemáticamente llego a que $\tan\theta= \frac {a}{g}$.
Lo cual es perfectamente lógico puesto que no depende de la masa de la plomada, sino de la aceleración que le imprime el coche. A mayor aceleración mayor ángulo de desviación de la vertical.
Con el ángulo puedo obtener cuál va a ser la tensión del hilo.

Ahora bien, en este segundo caso, acelera en una pendiente, por lo tanto, ya parte en sí, con un ángulo de inclinación respecto a la vertical (producto de la cuesta), y si a su vez acelera, la intuición me llevaría a pensar que se va a alejar aún más de la vertical, y por lo tanto ese ángulo debería ser mayor. Y la tensión ser mayor.
¿Tú que piensas?.

[Xel]

Re: Aceleración en una pendiente

Están bien ambos sistemas de ecuaciones, en un caso Akendam has tomado el ángulo como te dije respecto a la dirección del movimiento, y electr0n ha tomado su complementario.

En cuanto al ángulo de la pendiente no te preocupes por su valor, porque en el enunciado te dicen que se mueve en esa dirección, con la aceleración que te dan, y sólo tienes que tomarla como referencia para plantear las ecuaciones de movimiento. Bueno, sólo la necesitas para descomponer el peso, claro. Sólo espero que entiendas que no tienes por qué tratar de ver la película desde una referencia horizontal, sino que puedes cambiar la referencia, o sea, podrías ser un observador situado en el suelo horizontal, pero también puedes ser un observador situado en otro suelo que tenga la dirección del movimiento, e incluso la aceleración del vehículo si lo vieras necesario, eso ya depende de cómo sean los problemas planteados y del camino que decidas tomar para resolverlo.

[electr0n]

Re: Aceleración en una pendiente

Están bien ambos sistemas de ecuaciones, en un caso Akendam has tomado el ángulo como te dije respecto a la dirección del movimiento, y electr0n ha tomado su complementario.

Cierto. Eso nos pasa por no poner dibujitos o no explicar a qué ángulos nos referimos...

Ahora bien, en este segundo caso, acelera en una pendiente, por lo tanto, ya parte en sí, con un ángulo de inclinación respecto a la vertical (producto de la cuesta), y si a su vez acelera, la intuición me llevaría a pensar que se va a alejar aún más de la vertical, y por lo tanto ese ángulo debería ser mayor. Y la tensión ser mayor.
¿Tú que piensas?.

Las ecuaciones te responden a la pregunta. Si operas para obtener el ángulo, te queda:

$\displaystyle tg\theta=\frac{a+gsen\alpha}{gcos\alpha}$

donde $\alpha$ es la inclinación del plano. Obviamente depende de cuán inclinado esté el plano y de la aceleración del coche; si $\alpha=0$ (trayecto horizontal), la expresión se reduce a $tg\theta=a/g$, y si a=0 (coche no acelerado), queda $tg\theta=tg\alpha\Rightarrow \theta=\alpha$, como es natural.

Si operas para eliminar el ángulo y obtener la tensión, tenemos la igualdad del mensaje anterior:

$<br /> \displaystyle T(a,\alpha)=m\sqrt{a^2+g^2+2agsen\alpha}<br />$

es decir, aumenta con a y con $\alpha$. Cuando $\alpha=0$ (trayecto horizontal), $T=m\sqrt{a^2+g^2}$; y cuando $a=0$ (coche no acelerado), resulta $T=mg$ (tensión = peso).



La tensión no aumenta porque lo haga el ángulo, sino por la inercia debida a la aceleración del coche y por la inclinación del plano. Fïjate en que, curiosamente, una mayor inclinación del plano no influye en el valor de la tensión cuando la aceleración es nula.

Saludos!

[pod]

Re: Aceleración en una pendiente

La tensión no aumenta porque lo haga el ángulo, sino por la inercia debida a la aceleración del coche y por la inclinación del plano. Fïjate en que, curiosamente, una mayor inclinación del plano no influye en el valor de la tensión cuando la aceleración es nula.

Me preocupa eso que dices de la inercia. En principio, la inercia es siempre la misma, la masa, no cambia con la dirección no con nada. ¿A qué te refieres?

Cuando no hay aceleración, es normal que la tensión no dependa de la inclinación del coche, ya que el péndulo en cuestión simplemente estará en posición vertical, flácido...


Por cierto, hablando de flacideces... ¿Es que soy el único que no es capaz de ver las gráficas que has puesto sin sentirse sucio?

[electr0n]

Re: Aceleración en una pendiente

Jajajaja!! Pod! ¿¿Pero qué clase de mentes sucias hay en el foro?? :P Bueno, reconozco que yo también soy un poco mente-sucia, pero no suelo dar rienda suelta a eso con las mates o la Física...

Con "inercia" me refiero a la tendencia a conservar el estado de movimiento, que es la primera definición que conozco de la palabreja. Es decir: cuanto mayor sea la aceleración, mayor será el movimiento opuesto de la masa y por tanto más grande se hará el ángulo. Así es como explicaría la inclinación un observador inercial. Por otro lado, es posible resolver el problema desde el sistema de referencia coche acelerado, incluyendo la fuerza de inercia hacia atrás que es la que un observador no inercial usaría para explicar el fenómeno. Aquí es donde aparecen los problemas para entender las fuerzas ficticias, tema que merecería un hilo entero.

Yo creo que la definición de inercia como tendencia en lugar de fuerza ficticia es mucho más intuitiva para comprender lo que sucede en este tipo de problemas No obstante, entiendo que te preocupe, pod, porque es un tema controvertido y difícil de explicar. ¿Tú que piensas al respecto?

Un saludo

[Akendam]

Re: Aceleración en una pendiente

Gracias a xel, electr0n y pod por sus aportes conceptuales al problema, incluso con un toque fino de humor .
Realmente me sirvió de mucho para terminar de entender donde radicaba mi confusión.
Hasta la próxima.

[pod]

Re: Aceleración en una pendiente

Jajajaja!! Pod! ¿¿Pero qué clase de mentes sucias hay en el foro?? :P Bueno, reconozco que yo también soy un poco mente-sucia, pero no suelo dar rienda suelta a eso con las mates o la Física...

Con "inercia" me refiero a la tendencia a conservar el estado de movimiento, que es la primera definición que conozco de la palabreja. Es decir: cuanto mayor sea la aceleración, mayor será el movimiento opuesto de la masa y por tanto más grande se hará el ángulo. Así es como explicaría la inclinación un observador inercial. Por otro lado, es posible resolver el problema desde el sistema de referencia coche acelerado, incluyendo la fuerza de inercia hacia atrás que es la que un observador no inercial usaría para explicar el fenómeno. Aquí es donde aparecen los problemas para entender las fuerzas ficticias, tema que merecería un hilo entero.

Yo creo que la definición de inercia como tendencia en lugar de fuerza ficticia es mucho más intuitiva para comprender lo que sucede en este tipo de problemas No obstante, entiendo que te preocupe, pod, porque es un tema controvertido y difícil de explicar. ¿Tú que piensas al respecto?

Un saludo

La inercia es la propiedad de los cuerpos por la que se oponen a cambiar su estado de movimiento. No es la primera ni la última definición; es la que es

El cambio en el estado de movimiento de un cuerpo se llama "aceleración", y Newton nos dice que la aceleración de un cuerpo, cuando está sometido a una interacción, es inversamente proporcional a la masa, así que la masa representa precisamente la oposición a ser acelerado. La masa es la inercia, y no depende de la dirección, ni de la velocidad, de nada.

Una forma sencilla y correcta de argumentar que la tensión cambie con el ángulo en este problema es que, al existir una aceleración, por necesidad debe haber una fuerza resultante en la misma dirección. Si uno cambia la dirección de la aceleración, la resultante debe cambiar también. El peso siempre tiene la misma dirección, así que todo el cambio recae en la tensión.

[Xel]

Re: Aceleración en una pendiente

Escrito por pod
La inercia es la propiedad de los cuerpos por la que se oponen a cambiar su estado de movimiento. No es la primera ni la última definición; es la que es

Escrito por pod
... así que la masa representa precisamente la oposición a ser acelerado. La masa es la inercia, y no depende de la dirección, ni de la velocidad, de nada.

... ehmm ... yo también tengo entendido que la masa representa la oposición que presenta un cuerpo a ser movido cuando se le aplica una fuerza. Pero no lo llamo inercia, no se, tal vez también sea correcto, pero prefiero seguir llamándolo simplemente masa, porque si no me llevaría a confundirme con la fuerza de inercia, que creo que es a lo que se refería electr0n al decir simplemente "inercia". O podría pensar en el momento de inercia, que es la oposición que presenta el cuerpo a ser girado cuando se le aplica un par.

Escrito por electr0n
Con "inercia" me refiero a ...
... Aquí es donde aparecen los problemas para entender las fuerzas ficticias, tema que merecería un hilo entero.

La verdad es que si que puede complicase aprender la idea de fuerza de inercia o ficticia. Yo solía liarme por verla como una fuerza más que había que poner en la ecuación de movimiento y ponía algo así, por ejemplo en la caida de un cuerpo libre en dirección vertical:

$\sum F = ma$

$P - F_i = ma$

Lo cual está mal, y lo que hay que entender es que esa fuerza de inercia es la debida a la aceleración del cuerpo o sistema que estemos analizando y a la masa de cada cuerpo en particular. Si el sistema tiene varias masas con la misma aceleración, cada una tendrá su propia fuerza de inercia, que podemos representar vectorialmente con la misma dirección que el vector aceleración pero de sentido contrario y aplicada en cada masa. Bueno, la cosa es que la correcta ecuación de movimiento del caso anterior sería así:

$P = ma$

$mg = ma$

$g = a$

Lo cual tiene sentido y concuerda con la expresión $\sum F$, que indica la suma de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el cuerpo. Pero cuando me decían esto último ahí me liaba y añadía la fuerza de inercia, porque pensaba que, claro, como el cuerpo está sometido a la gravedad exterior que le produce inercia, pues ale, ya la volvía a liar.

La fuerza de inercia sale simplemente de la propia ecuación de movimiento (según D´Alembert):

$\sum F = ma$

$\sum F - ma = 0$

$\sum F + F_i= 0$

o sea:

$F_i = -ma$

Como se ve, el signo negativo indica su sentido opuesto al vector aceleración. Pero luego no hay que liarse añadiéndola otra vez en la ecuación de movimiento, porque es como si en el caso anterior hubiera puesto $P - (-ma) = ma$ ... entonces el peso sería cero ...

[electr0n]

Re: Aceleración en una pendiente

Cuando pones

$\sum F = 0$

indirectamente estás queriendo decir que la suma de fuerzas es 0 desde el sistema de referencia no inercial. En ese caso, para que las leyes físicas sigan siendo coherentes, el sumatorio de fuerzas debe incluir un término adicional $F_i$, que representa la fuerza de inercia sobre cada una de las masas a estudio.

En el caso que nos ocupa, tenemos las ecuaciones de movimiento (en forma vectorial) desde 2 sistemas de referencia:

$\vec P+\vec T=m\vec a$ [sistema inercial]

$\vec P+\vec T+\vec F_i=\vec P+\vec T-m\vec a=\vec 0$ [sistema NO inercial]

En realidad ecuación de movimiento sólo hay una; lo que ocurre es que hay que saber escribirla en función del sistema de referencia.