Energía potencial de un cuerpo.

[[Beto]]

Hola

He estado analizando un sistema como se muestra en la figura:

Donde la longitud natural de cada resorte es $\pi R/2$ y constante $k$. Consideramos que no hay rozamiento de ningún tipo.

Yo he llegado a lo siguiente partiendo del principio de la conservación de la energía mecánica:

$\Delta U_e+\Delta U_g+\Delta T=0$ .... (1)

Donde:

$U_e$: Energía potencial Elástica.

$U_g$: Energía potencial gravitatoria.

$T$: Energía cinética.

Lo que yo he considerado es que la posición inicial del sistema es en el punto más alto de este, en ese caso la ecuación (1) se puede expresar como:

$\displaystyle [\frac{1}{2}(2kR)\theta-0]+[-MgR(1-\cos \theta)-0]+[\frac{1}{2}Mv^2-0]=0$

En esta parte he considerado como si la masa $M$ estuviese sujeta por un solo resorte de constante $k_1=2k$ ¿es correcto hacer esto? ... la principal duda que tengo es obviamente en el término de la variación de la energía potencial elástica.

Supongo que al problema se le pueden analizas más cosas pero primero se debe partir de ahí para encontrar la ley de movimiento y demás cosas; por eso quisiera que me aclaren esa duda.

[Dramey]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

bufff....ahora veo que no me acuerdo de la ley de Hool

Si no recuerdo mal (wikipedia dixt) la energía potencial elástica es $\frac{1}{2}K x^{2}$
Sin embargo yo siempre he tenido muelles lineales, por lo que el tuyo circular no se muy bien como actúa.

Yo supondría que tengo enganchados dos muelles en línea recta con la posición de constantes K y -K y desplazamientos de x y -x respectivamente ($x=R\sin(\theta)$

igual he metido mucho el gambazo, repasa y mira a ver si estás en desacuerdo conmigo

[carroza]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Este es un problema tipico de resolver con mecanica lagrangiana. Mientras tanto, considera que tu grado de libertad es el angulo theta, por tanto debes poner tus magnitudes en funcion de theta.

la energia del resorte, por tanto, es $E_R = 1/2 k (R \theta)^2 + 1/2 k (- R \theta)^2 = k R^2 \theta^2$

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

bufff....ahora veo que no me acuerdo de la ley de Hool

Se llama Hooke .

Yo supondría que tengo enganchados dos muelles en línea recta con la posición de constantes K y -K y desplazamientos de x y -x respectivamente ($x=R\sin(\theta)$

igual he metido mucho el gambazo, repasa y mira a ver si estás en desacuerdo conmigo

Lo que ye he supuesto es que al cuerpo de masa $M$, lo jala un solo resorte equivalente a los 2, fíjate que las fuerzas elásticas de ambos resortes van en una misma dirección y es como si un solo resorte ejerciera una fuerza igual al doble de la fuerza elástica que ejercen cada uno de los resortes del problema.

Teniendo en cuenta esto el resorte que yo he supuesto tendría una constante numéricamente igual a $k_1=2k$ (esto porque la fuerza ejercida es el doble de la que ejerce cada uno de los resortes).

Con relación a la deformación del resorte esta es $\Delta \ell =\theta R$

Pero no estoy seguro si este bién del todo hacer estas consideraciones.

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Este es un problema tipico de resolver con mecanica lagrangiana. Mientras tanto, considera que tu grado de libertad es el angulo theta, por tanto debes poner tus magnitudes en funcion de theta.

la energia del resorte, por tanto, es $E_R = 1/2 k (R \theta)^2 + 1/2 k (- R \theta)^2 = k R^2 \theta^2$

Necesito aprender un pokito más de mecánica Lagrangiana . Voy a ver que más hago después de hallar el Lagrangiano .

[carroza]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Necesito aprender un pokito más de mecánica Lagrangiana . Voy a ver que más hago después de hallar el Lagrangiano .

Pues una vez que tengas el lagrangiano, usas las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema.

Alternativamente, olvidandote del lagrangiano, si consideras que la energia total E se conserva, obtienes $d \theta /dt$ en función de $\theta$, y si sabes integrar la ecuacion diferencial, obtienes el movimiento del sistema.

Probablemente sea divertido poner las lineas de E constante, en un diagrama de fases $d \theta /dt$ frente a $\theta$. Habra una energia en la que pasen cosas graciosas.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Pues una vez que tengas el lagrangiano, usas las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema.

Más información acerca de las ecuaciones de Euler-Lagrange en los diccionarios:

http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/

Alternativamente, olvidandote del lagrangiano, si consideras que la energia total E se conserva, obtienes $d \theta /dt$ en función de $\theta$, y si sabes integrar la ecuacion diferencial, obtienes el movimiento del sistema.

Si sigues esta vía, a lo mejor puede servirte de guía este problema (se lo digo a neofebo, claro ):

http://www.lawebdefisica.com/problem...#anchlegacy001

La integral será más difícil, y a lo mejor no se puede resolver, pero seguro que al menos numéricamente se puede resolver por ordenador para ver las gráficas.

(Se ve que tengo el día para promocionar trabajo antiguo en la web )

Probablemente sea divertido poner las lineas de E constante, en un diagrama de fases $d \theta /dt$ frente a $\theta$. Habra una energia en la que pasen cosas graciosas.

¡Shht! ¿divertido? Luego nos quejamos que nos llamen frikis a los físicos

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Si sigues esta vía, a lo mejor puede servirte de guía este problema (se lo digo a neofebo, claro ):

http://www.lawebdefisica.com/problem...#anchlegacy001

La integral será más difícil, y a lo mejor no se puede resolver, pero seguro que al menos numéricamente se puede resolver por ordenador para ver las gráficas.

Por este camino me queda una integral bastante fea .

Ahora iendo por el camino de usar una Lagrangiana y tomando como nivel de referencia la parte inferior, yo llego mas a o menos a esto:

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

Como dijo carroza solamente hay un grado de libertad se considera como coordenada generalizada a $\theta$.

Ahora de aquí:

• Como $L$ no depende de la parte temporal, se concluye que la energía del sistema se conserva.
• Como $L$, depende de $\theta$ (esto lo digo porque aparece el término $\cos \theta$) , entonces se podria decir que el momento angular del sistema no se conserva (en esta parte no estoy seguro)

Luego aca es donde me quedo pues aun no entiendo bien que idea se tiene que seguir para encontrar a partir del Lagrangiano las ecuaciones del movimiendo de la masa $M$.

Más información acerca de las ecuaciones de Euler-Lagrange en los diccionarios:

http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/

En los apuntes se menciona lo siguiente:

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) conservación del momento angular.

Lo que no me queda claro es como determinar los dos últimos puntos.

En resumen me parece un poco menos complicado resolver el problema usando el Lagrangiano pero me faltan comprender dos cosas:

• ¿Cómo encuentro las ecuaciones de movimiento?
• ¿Cómo determino si hay invariancia bajo traslaciones o rotaciones espaciales?

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Por este camino me queda una integral bastante fea .

No importa el aspecto, lo que importa es el interior.

Siempre puedes meterla en el mathematica y que te pinte la gráfica.

Ahora iendo por el camino de usar una Lagrangiana y tomando como nivel de referencia la parte inferior, yo llego mas a o menos a esto:

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

Como dijo carroza solamente hay un grado de libertad se considera como coordenada generalizada a $\theta$.

Ahora de aquí:

• Como $L$ no depende de la parte temporal, se concluye que la energía del sistema se conserva.
• Como $L$, depende de $\theta$ (esto lo digo porque aparece el término $\cos \theta$) , entonces se podria decir que el momento angular del sistema no se conserva (en esta parte no estoy seguro)

Luego aca es donde me quedo pues aun no entiendo bien que idea se tiene que seguir para encontrar a partir del Lagrangiano las ecuaciones del movimiendo de la masa $M$.



En los apuntes se menciona lo siguiente:

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) conservación del momento angular.

Lo que no me queda claro es como determinar los dos últimos puntos.

En resumen me parece un poco menos complicado resolver el problema usando el Lagrangiano pero me faltan comprender dos cosas:

• ¿Cómo encuentro las ecuaciones de movimiento?
• ¿Cómo determino si hay invariancia bajo traslaciones o rotaciones espaciales?

Supongo que los cálculos están bien, no los voy a repasar

Los dos últimos puntos se resumen en uno sólo. Si una coordenada generalizada $x_i$ no aparece en la lagrangiana (es decir, ésta es invariante ante una translacción $x_i \to x_i + \delta_i$), entonces su momento conjugado

$\displaystyle p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot x_i}\ ,$

es una constante. Luego, si la coordenada generalizada $x_i$ se puede interpretar como una "separación espacial", entonces ese $p_i$ es la cantidad de movimiento en esa dirección. Si la coordenada se puede interpretar como un ángulo (como en tu ejemplo), entonces el momento se interpreta como lo que solíamos llamar momento angular. En general, no tendría por qué ser ninguna de las dos cosas; pero en los ejemplos prácticos suele serlo.

En tu ejemplo, la única coordenada generalizada que tienes aparece en el lagrangiano, y por lo tanto el momento generalizado correspondiente no es una constante.

Sin embargo, los teoremas de integrabilidad dicen que se puede resolver el movimiento hasta cuadraturas (es decir, una integral; no dos) si se encuentran tantas constantes del movimiento como grados de libertad hay. Ya has encontrado una constante del movimiento; y reducir el movimiento a una sola integral ya lo has conseguido, por fea que sea Son teoremas de integrabilidad, no de belleza


La forma de buscar las ecuaciones del movimiento es simplemente plantear las ecuaciones de E-L

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} - \frac{\partial L}{\partial\theta}=0\ .$

Te saldrá una EDO de segundo orden.

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

La forma de buscar las ecuaciones del movimiento es simplemente plantear las ecuaciones de E-L

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} - \frac{\partial L}{\partial\theta}=0\ .$

Te saldrá una EDO de segundo orden.

Creo que ya comprendí .

Veamos entonces la ecuación del movimiento vendría mas a o menos a ser esta:

$\displaystyle MR^2\ddot \theta +MgR\sin\theta=0$

Cuya solución si es que no me he equivocado en los cálculos debe de ser esta:

$\displaystyle \theta= \left(\frac{\omega_0}{MR^2}-\frac{g}{R}\right)+\frac{g}{R}\sin t$

Pd: Sospecho que si me equivoque

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Pd: Sospecho que si me equivoque

¡De bastante! Es la ecuación del estilo de un péndulo simple

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Bueno he probado resolver la ecuación diferencial y no me sale .

Más bien he observado que hay tres puntos sobre el arco de la circunferencia donde la masa $M$ puede estar en equilibrio, pero solo en uno de ellos obtendrá equilibrio estable.

Para el caso del punto donde alcanzará el equilibrio estable (es decir el punto superior) si se desvía un ángulo muy pequeño a la masita esta realizará un movimiento armónico simple.

Los otros dos casos donde la masa esté en equilibrio será cuando la fuerza elástica ejercida por los dos resortes sea igual a la componente del peso en esa dirección, es decir cuando:

$\displaystyle 2kx=mg\sin\theta$

Es decir las otras dos posiciones donde la masa esta en equilibrio son:

$\displaystyle\theta=\pm\arcsin\left(\frac{2kx}{mg}\right)$

Pd:

• ¿Alguien se sabe algún método para resolver la ecuación diferencial que me quedó al final? aunque bueno eso ya seria un tema para el foro de métodos matemáticos
• Dos fórmulas en este mensaje no se muestran ¿hay algún error?

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

A este lagrangiano parece faltarle el término de energía potencial elástica. Quedaría como algo así (recuerda que a un lagrangiano se le pueden quitar las constantes aditivas:

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 + m g R \cos\theta - k r^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta + m g R \sin\theta + 2 k r^2 \theta = 0 \ .$

Ya te digo yo que no vas a poder resolver esta ecuación si no es con teoría de perturbaciones

[carroza]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

A este lagrangiano parece faltarle el término de energía potencial elástica. Quedaría como algo así (recuerda que a un lagrangiano se le pueden quitar las constantes aditivas:

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 + m g R \cos\theta - k r^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta + m g R \sin\theta + 2 k r^2 \theta = 0 \ .$

Ya te digo yo que no vas a poder resolver esta ecuación si no es con teoría de perturbaciones

Creo que el signo esta incorrecto en la energia gravitatoria. A mi me sale (salvo constantes)

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 - m g R \cos\theta - k R^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta - m g R \sin\theta + 2 k R^2 \theta = 0 \ .$


Para $mg<2kR$, tenemos oscilaciones anarmónicas en torno a theta=0, que es la posición de equilibrio (la posicion para la que la energia potencial es mínima).

Para $mg>2kr$, las posiciones de equilibrio son dos, una para theta positivo y otra para theta negativo. Esto es lo que se llama una "ruptura espontanea de la simetría", que es cuando el estado fundamental de un sistema no tiene las simetrías del Lagrangiano (en este caso, simetria frente a reflexiones).

Cuando veas teoría cuántica de campos verás que eso (la ruptura espontánea de la simetría) es muy importante para explicar las interacciones fundamentales, y algo que buscan insistentemente los fisicos de partículas que se llama el bosón de Higgs.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Creo que el signo esta incorrecto en la energia gravitatoria. A mi me sale (salvo constantes)

Cierto

Para $mg>2kr$, las posiciones de equilibrio son dos, una para theta positivo y otra para theta negativo.

¡Tres! $\theta = 0$ (constante) siempre es solución.

Esto es lo que se llama una "ruptura espontanea de la simetría", que es cuando el estado fundamental de un sistema no tiene las simetrías del Lagrangiano (en este caso, simetria frente a reflexiones).

Una imagen vale más que mil palabras, éste es el potencial:

La línea azul representa una situación donde $mg>2kR$. Se ve claramente que la situación simétrica es inestable, mientras que los otros dos equilibrios son estables. Lo de "ruptura espontánea" viene precisamente de que el sistema tiende a caer del equilibrio inestable (simétrico) a otro estable, pero no simétrico.

La línea roja es $mg>2kR$; el único equilibrio que existe es siempre estable, lo que nos da oscilaciones a su alrededor.

Para las gráficas he usado $m g = 1$, $R = 1/2$, $k = 1\pm 0.1$.