1r ciclo Problema conceptual

[arbolis87]

Hola, me está matando un problema desde hace unas semanas. Según mi profesor y según la página 1 del libro de Landau-Lifshitz (segunda edición en español, tercera en inglés), para poder predecir el ulterior movimiento de un sistema de partículas, hace falta conocer las posiciones y las velocidades de las mismas en un tiempo dado. Cito el L&L:

"If all the co-ordinates and velocities are simultaneously specified, it is known from experience that the state of the system is completely determined and that its subsequent motion can, in principle, be calculated"

. Pero en el caso en el cual tengo un cuerpo rígido (una bola por ejemplo) que cae sobre el piso y le saco una foto cuando toca el piso. Después doy la foto a Landau y le pregunto si la bola seguirá en el piso porque siempre estuvo ahí quieta o si rebotará porque acaba de chocarse con el piso. Con la foto tiene las posiciones de las partículas y tiene la velocidad (que vale 0 m/s ya que la velocidad es unas función continua y que en ambas posibilidades puedo elegir un sistema de referencia en el cual la velocidad tiene una dirección al caer y cambia de dirección al rebotar, por lo cual tuvo que tener el valor 0, por su continuidad). ¿Cómo se dará cuenta si la bola rebotará o si se quedará quieta con solamente esta información?

[aperea]

Re: Problema conceptual

En el caso que propones, no sólo la bola está en movimiento, también las partículas (moleculas) del piso, y están son las que reciben el impulso de la bola que cae, y que le permiten rebotar. Por tanto, estamos analizando sólo la mitad del sistema en movimiento, y la conclusión es errónea.

Además, se asume que en un momento dado puede estar la bola en reposo teóricamente, aunque en la práctica sería mas bien imposible, por el número inmenso de grados de libertad en juego. Este teorema de la Mecánica Teórica es un ideal, nos da una pauta para conocer la evolución determinista de un sistema ideal, y su ingenuidad se ve al analizar cualquier sistema caotico.

[Entro]

Re: Problema conceptual

Hola, me está matando un problema desde hace unas semanas. Según mi profesor y según la página 1 del libro de Landau-Lifshitz (segunda edición en español, tercera en inglés), para poder predecir el ulterior movimiento de un sistema de partículas, hace falta conocer las posiciones y las velocidades de las mismas en un tiempo dado.

Eso es por un bonito teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales que nos dan el movimiento. Si especificamos las condiciones iniciales el movimiento está totalmente determinado, por tanto sabemos posiciones y momentos en cada instante y el estado del sistema queda determinado

Pero en el caso en el cual tengo un cuerpo rígido (una bola por ejemplo) que cae sobre el piso y le saco una foto cuando toca el piso. Después doy la foto a Landau y le pregunto si la bola seguirá en el piso porque siempre estuvo ahí quieta o si rebotará porque acaba de chocarse con el piso.

Pues Landau te responderá que depende de las condiciones iniciales del sistema.

Si tu le das unas condiciones te dirá una cosa y si le das otra te dirá otra cosa.

Con la foto tiene las posiciones de las partículas y tiene la velocidad (que vale 0 m/s ya que la velocidad es unas función continua

Pero de igual modo, en la foto no salen las velocidades, sale a lo sumo la posición, la velocidad se la tendrás que dar aparte usando otro aparato de medida. Si tienes la suerte de echar la foto justo en el instante en que la velocidad es nula pues genial.

y que en ambas posibilidades puedo elegir un sistema de referencia en el cual la velocidad tiene una dirección al caer y cambia de dirección al rebotar, por lo cual tuvo que tener el valor 0, por su continuidad).[



¿Cómo se dará cuenta si la bola rebotará o si se quedará quieta con solamente esta información?

Pues hombre, porque aquí tienes un sistema que interacciona con otro a través de una colisión, así que le tendrás que dar una velocidad inicial del sistema y decirle si se produce transferencia de momento. Está claro que si le das esa foto no puedes decir mucho de la pelota... ¿o sí? Sí tal vez sí, porque seguramente podrá determinar la deformación de la misma, calcular la energía transferida y determinar que la pelota tiene que rebotar...

[arbolis87]

Re: Problema conceptual

Gracias a ambos.

En el caso que propones, no sólo la bola está en movimiento, también las partículas (moleculas) del piso, y están son las que reciben el impulso de la bola que cae, y que le permiten rebotar. Por tanto, estamos analizando sólo la mitad del sistema en movimiento, y la conclusión es errónea.

Además, se asume que en un momento dado puede estar la bola en reposo teóricamente, aunque en la práctica sería mas bien imposible, por el número inmenso de grados de libertad en juego. Este teorema de la Mecánica Teórica es un ideal, nos da una pauta para conocer la evolución determinista de un sistema ideal, y su ingenuidad se ve al analizar cualquier sistema caotico.

No es así. Supuse un cuerpo rígido. Las distancias entre las partículas que componen el piso y la bola no cambian, por lo tanto no hay deformación y además el impacto dura un instante t_0 inextenso. Obviamente me doy cuenta de que no es muy realista, pero tampoco quiero caer en el caso realista. En un caso realista hay fuerzas eléctricas entre los átomos y moleculas que componen al piso y a la pelota y ya salimos del rango de la mecánica clásica. Por eso estoy considerando una situación idealizada. Como dijiste, ese "teorema" es uno idealizado. Bueno, muy bien, entonces que me explica qué pasa en mi ejemplo idealizado.

Eso es por un bonito teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales que nos dan el movimiento. Si especificamos las condiciones iniciales el movimiento está totalmente determinado, por tanto sabemos posiciones y momentos en cada instante y el estado del sistema queda determinado

El problema es que no tengo a la ecuación diferencial, sino sólo las condiciones iniciales. No veo cómo deducir las ecuaciones de movimiento y es justamente eso que quiero entender. Cómo L&L y mi profe harían para encontrar la ec. dif. Resolverla sé que es posible con estos datos... el problema es que no tengo la ecuación!

Pues Landau te responderá que depende de las condiciones iniciales del sistema.

Si tu le das unas condiciones te dirá una cosa y si le das otra te dirá otra cosa.

Entiendo. Pero eso sería cuando ya se sabe la forma de la ecuación de movimiento, o sea cuando faltan las condiciones iniciales que justamente le entrego para que me pueda resolverla completamente la ec. dif.

Pero de igual modo, en la foto no salen las velocidades, sale a lo sumo la posición, la velocidad se la tendrás que dar aparte usando otro aparato de medida. Si tienes la suerte de echar la foto justo en el instante en que la velocidad es nula pues genial.

Sí es genial, supuse que justamente le doy la foto en el cual hacen contacto. El tiempo es inextenso o en otras palabras, la colisión es instantánea.

Pues hombre, porque aquí tienes un sistema que interacciona con otro a través de una colisión, así que le tendrás que dar una velocidad inicial del sistema y decirle si se produce transferencia de momento.

Esto no es mi problema. L&L y mi profe me dijeron que necesitan solamente a la posición y velocidad de todas las partículas del sistema en un tiempo dado, nada más. Eso justo les doy.

Está claro que si le das esa foto no puedes decir mucho de la pelota... ¿o sí? Sí tal vez sí, porque seguramente podrá determinar la deformación de la misma, calcular la energía transferida y determinar que la pelota tiene que rebotar...

Estoy de acuerdo en un modelo no tan idealizado. Pero igualmente, tendría que conocer muchas propriedades de la pelota, su forma inicial (bajo la gravedad), etc. Son todavía más incógnitas para L&L y mi profe que deberían encontrar.
En realidad quiero saber cómo harían ellos para saber el movimiento ulterior al choque de la pelota en un caso idealizado.

Espero que quede todo un poco más claro. Es cierto que no fui tan preciso en mi primer mensaje.
Gracias de nuevo...
P.D.: Así que estoy bloqueado desde hace 3 semanas en la página 1 del Landau&Lifshitz y en las primeras páginas del libro de mi profe. Parece gracioso, pero realmente no puedo seguir si no entiendo cómo harían ellos para cumplir con sus palabras. Además sé que tienen razón, el L&L es un libro muy famaso y Landau obtuvo el premio nobel. Sólo quiero entenderlos. (Ya pregunté a mi profe y fue mucho más confusión que ayuda.)

[aperea]

Re: Problema conceptual

Te sigo el razonamiento, para este sistema ideal (sólido rigido perfecto). Entonces, desde mi punto de vista, si la colisión es instantánea, sólo hay dos opciones, velocidad hacia abajo o velocidad hacia arriba, en ambos casos el sistema evoluciona de acuerdo con el principio que enuncia Landau, hacia la colisión o desde la colisión. Pero lo que no puede es quedarse en el instante de colisión con velocidad cero (eso ya implicaría energía nula, el sistema no sería conservativo, etc). Desde el punto de vista matemático, imagino que estarias saltando de un espacio de fases a otro, fallaría el teorema de Liouville, etc.

[arbolis87]

Re: Problema conceptual

Te sigo el razonamiento, para este sistema ideal (sólido rigido perfecto). Entonces, desde mi punto de vista, si la colisión es instantánea, sólo hay dos opciones, velocidad hacia abajo o velocidad hacia arriba, en ambos casos el sistema evoluciona de acuerdo con el principio que enuncia Landau, hacia la colisión o desde la colisión. Pero lo que no puede es quedarse en el instante de colisión con velocidad cero (eso ya implicaría energía nula, el sistema no sería conservativo, etc). Desde el punto de vista matemático, imagino que estarias saltando de un espacio de fases a otro, fallaría el teorema de Liouville, etc.

No entiendo todo, pero algo sí. O sea que según tu punto de vista no hay nunca v=0? En otras palabras existe una discontinuidad en la función velocidad? Para mí es posible una tercer alternativa que es justamente v=0. O bien apunta hacia abajo (cae de la bola que cae) o bien apunta hacia arriba (bala que ha rebotado), o bien v=0 (bala que siempre estuvo quieta o bala que cayó y está en colisión con el suelo).
Es exactamente como en el caso de una masa atada a un resorte que oscila armónicamente. Cuando la elongación del resorte es máxima, v=0. No hay solamente 2 opciones... sino 3. Eso es lo que creo. Al menos que alguien más diga lo contrario y que me convencen matemáticamente.

Pero es cierto que parece que hay algo mal con relación a la energía. Tal vez transmite un impulso al suelo y en el mismo tiempo el suelo le transmite otro impulso para que pueda rebotar, pero no creo que tenga sentido hablar de impulso en un caso en el cual la interacción es instantánea. Tal vez el problema está mal planteado o mal idealizado... no sé.
Porque al tocar el piso es cierto que parece no tener la energía que tenía al caer, aunque hubo un choque. Podría considerar el choque como perfectamente plástico y en este caso no sé dónde se encuentra la energía al momento del choque. Es una cantitad que se conserva para todo tiempo y tener energía nula si la bola cayó demuestra que algo está mal en el problema.
Agradezco tu comentario. Me parece que no se puede ni siquiera idealizar un choque instantáneo. ¿Qué opinan?

[Entro]

Re: Problema conceptual

No es así. Supuse un cuerpo rígido. Las distancias entre las partículas que componen el piso y la bola no cambian, por lo tanto no hay deformación y además el impacto dura un instante t_0 inextenso. Obviamente me doy cuenta de que no es muy realista, pero tampoco quiero caer en el caso realista. En un caso realista hay fuerzas eléctricas entre los átomos y moleculas que componen al piso y a la pelota y ya salimos del rango de la mecánica clásica. Por eso estoy considerando una situación idealizada. Como dijiste, ese "teorema" es uno idealizado. Bueno, muy bien, entonces que me explica qué pasa en mi ejemplo idealizado.

El teorema no es nada idealizado. El teorema es un teorema matemático eso es todo.

Pero tu problema es que dices que tienes condiciones iniciales pero no tienes la ecuación. Eso es fácil, la ecuación se saca de plantear el lagrangiano, y eso se puede hacer fácilmente, basta con conocer las contribuciones energéticas.

El problema es que no tengo a la ecuación diferencial, sino sólo las condiciones iniciales. No veo cómo deducir las ecuaciones de movimiento y es justamente eso que quiero entender. Cómo L&L y mi profe harían para encontrar la ec. dif. Resolverla sé que es posible con estos datos... el problema es que no tengo la ecuación!

La tienes la tienes... solo tienes que seguir leyendo el Landau para descubrir como sacarla de un sistema dado.


Tienes que estudiar que es un lagrangiano y como se sacan las ecuaciones del movimiento, luego todo irá bien...

[pod]

Re: Problema conceptual

A mi me parece que es mucho más sencillo que todo esto: la aproximación de sólido rígido no es útil para describir cuerpos en colisión. Si tanto la bola como el suelo son rígidos, una colisión involucra fuerzas infinitas, y por lo tanto aceleraciones infinitas (lo cual permite que la velocidad sea discontinua).

Pero sabemos que eso no es cierto, la cosa no pasa así. Al rebotar, las pelotas se deforman. La aproximación de cuerpo rígido es buenísima para muchas cosas, pero en las colisiones no nos sirve. Mediante teoremas de conservación, podemos relacionar el "antes" y el "después", pero no podemos estudiar el "durante", que es lo necesario para la situación planeteada.

Si ya no consideramos la rigidez, ¿qué ocurre? Pues que al caer el suelo, la pelota se deforma (se chafa). Landau, ve eso en la foto, y es capaz de deducir que una pelota "chafada", tenderá a recuperar su forma, empujando el suelo y por lo tanto levantándose del suelo. Y eso ocurrirá tanto si el "chafamiento" ocurre debido al rebote, o porque hemos deformado la pelota con la mano (aunque es difícil hacerlo, hay que retirar la mano más rápido de lo que la pelota recupera su forma).

[arbolis87]

Re: Problema conceptual

Muchas gracias a todos. Creo que me tormentaba la mente por nada. ¡Me encanta este foro!