Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

[pod]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Gracias por la respuesta pod. Intuyo que eom son las ecuaciones de movimiento. Lo que no sé es si para sacar la trayectoria, por ejemplo, basta co integrar las $\dot{q_i}$. Hasta ahora sólo he trabajado buscando un símil entre el hamiltoniano y la energía de una partícula en un potencial unidimensional... Entonces no sé cómo a partir de las ecuaciones de Hamilton (las que tú has escrito ahí) sacas las ecuaciones de movimiento. Has dicho que con las ecuaciones de Euler-Lagrange, ¿pero cómo cambias estas para utilizarlas con el hamiltoniano?

Gracias de nuevo.

P.D: La pregunta que realiza Rodri también era parte de mi duda, pero la principal es esta.

A parte de la explicación de Rodri (que es 100% correcta), creo que te vendría bien un ejemplo. Imagínate el siguiente hamiltoniano con una sola coordenada generalizada (y su correspondiente momento):

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m \omega^2 q^2 .$$

Supongo que lo reconocerás, es probablemente el más común de todos. Las eom (equations of motion, ecuaciones del movimiento) son

$$\begin{aligned}<br /> \dot q & = \frac{p}{m} , \\<br /> \dot p & = - m \omega^2 q .<br /> \end{aligned}$$

Es un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden. Si lo comparas con lo que te saldría en el formulismo Lagrangiano (o en el de Newton), que sería una sola ecuación, y por lo tanto sin acoplar, pero sería de segundo orden.

Hay multitud de métodos para resolver un sistema de ecuaciones acopladas. Por ejemplo, plantearlo en forma matricial y diagonalizar. En este caso, es probablemente más sencillo simplemente derivar una de las ecuaciones y substituir la otra:

$$\ddot q = \frac1m \dot p = - \omega^2 q \Longrightarrow \ddot q + \omega^2 q = 0 .$$

Al hacer este "truco" hemos recuperado la misma ecuación de segundo orden, sin acoplar, que habríamos tenido originalmente. No siempre tiene por qué ser así, como resuelvas el sistema de ecuaciones es cosa tuya. Si hubieras diagonalizado, jamás habrías tenido por qué ver una ecuación de segundo grado.


Otro ejemplo. Un Hamiltoniano inventado, no sé si tiene algo que ver con el mundo real. Para que veas que no es necesario que sea todo conservativo:

$$H = \frac{p^2}{2m} + \alpha t q .$$

Como el hamiltoniano depende del tiempo, la energía no es constante (aquí $\alpha$ es una constante necesaria para cuadrar las unidades). Como depende de q, el momento no es constante. Como depende de p, la coordenada no es constante. A priori, no identificamos ninguna constante "sencilla". Aún así, las ecuaciones del movimiento son muy sencillas:

$$\begin{aligned}<br /> \dot q & = \frac{p}{m} , \\<br /> \dot p & = -\alpha t .<br /> \end{aligned}$$

Esto es fácil de integrar para obtener

$$\begin{aligned}<br /> p(t) & = - \frac\alpha2 t^2 + p_0 \ , \\<br /> q(t) & = - \frac\alpha{6m}t^3 + p_0 t + q_0 .<br /> \end{aligned}$$

Por cierto, para enlazar con lo que decía en mi mensaje anterior, fíjate que aquí hemos puesto un hamiltoniano a la brava, sin pensar nunca en nada que suene a Newton. Podemos intentar hacerlo al revés. Si interpretamos q como una distancia (una coordenada cartesiana), tendríamos que la aceleración es $\ddot q = -\alpha/m t$. Es decir, tendríamos una fuerza proporcional con el tiempo $F = -\alpha t$.

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Entonces no sé cómo a partir de las ecuaciones de Hamilton (las que tú has escrito ahí) sacas las ecuaciones de movimiento.

Las ecuaciones de Hamilton son expresiones explícitas de $\dot{p}$ y $\dot{q}$ como funciones de los parámetros del problema (y quizá también el tiempo).
Se obtienen derivando respecto a p o q la función H del problema. Estas ecuaciones ya son ecuaciones del movimiento. Lo que pasa es que se trata del movimiento en el espacio abstracto (p,q), llamado "espacio de fases" o "espacio fásico".
Si las integras con respecto al tiempo obtienes las expresiones explícitas de p(t) y q(t) que te dan la trayectoria del sistema en el espacio fásico, en forma paramétrica (siendo el parámetro t).

Recuerda que p y q son coordenadas generalizadas, que se definen a partir de las coordenadas "habituales" (cartesianas o curvilíneas) y sus derivadas temporales relevantes en el problema en cuestión. Si deshaces esa transformación obtienes las coordenadas "habituales" a partir de p(t) y q(t)

[gdonoso94]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Hay un proceso totalmente mecánico (nunca mejor dicho ) que permite obtener las ecuaciones del movimiento a partir del Hamiltoniano. Es equivalente a lo que ocurre con el Lagrangiano, que sólo tienes que aplicar mecánicamente las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtienes "sin más esfuerzo" las e.o.m.

En este caso, las ecuaciones de Hamilton son:

$$\begin{aligned}<br /> \dot q_i & = +\frac{\partial H}{\partial p_i} \ , \\<br /> \dot p_i & = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \ .<br /> \end{aligned}$$

Estas ecuaciones son suficientes siempre para obtener las eom. Pero, como tú dices, si tienes alguna constante obvia, como la energía, te puedes ahorrar alguna de las 2N ecuaciones de Hamilton. En particular, fíjate que de estas ecuaciones se ve claramente que si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, entonces su momento conjugado es automáticamente una constante del movimiento. Al revés también es cierto: si un momento no aparece en el hamoltiniano, su coordenada generalizada conjugada es constante.

Gracias por la respuesta pod. Intuyo que eom son las ecuaciones de movimiento. Lo que no sé es si para sacar la trayectoria, por ejemplo, basta co integrar las $\dot{q_i}$. Hasta ahora sólo he trabajado buscando un símil entre el hamiltoniano y la energía de una partícula en un potencial unidimensional... Entonces no sé cómo a partir de las ecuaciones de Hamilton (las que tú has escrito ahí) sacas las ecuaciones de movimiento. Has dicho que con las ecuaciones de Euler-Lagrange, ¿pero cómo cambias estas para utilizarlas con el hamiltoniano?

Gracias de nuevo.

P.D: La pregunta que realiza Rodri también era parte de mi duda, pero la principal es esta.

[pod]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

pod, tu respuesta es de libro pero me temo que gdonoso94 preguntaba más concretamente algo que yo también me pregunto: ¿cómo incluimos en las ecuaciones de Hamilton la presencia de fuerzas disipativas, que hacen que el sistema no conserve la energía?

En la mecánica de Hamilton y de Lagrange, tanto el hamiltoniano como la lagrangiana se construyen considerando la energía cinética(T) y la potencial(V): H=T+V, L=T-V. A partir de ahí escribimos como dices "de un plumazo" las ecuaciones del movimiento.
Pero cuando existen fuerzas disipativas, como por ejemplo la fricción, entonces parece que esta receta falla para construir las ecuaciones del movimiento, porque esas fuerzas no encuentran su sitio en T ni en V. ¿Cómo incorporar dichos efectos a las ecuaciones de Hamilton o Lagrange?

Las eom se obtienen del Hamiltoniano o del Lagrangiano siempre de la misma forma, independientemente de la naturaleza física de lo que sea que se está intentando modelar. En ese sentido, el formalismo hamiltoniano (o lagrangiano) no tienen problemas específicos con las situaciones en que no se conserva la energía.

Luego, una cuestión diferente es cómo llegamos a encontrar el Hamiltoniano y/o Lagrangiano de un sistema dado. El enfoque más clásico es partir de una descripción Newtoniana y aplicar $L = T - V$. Este enfoque, como comentas, tiene problemas cuando hay fuerzas disipativas. En esa situación hay cosas que se pueden hacer (aunque, como me hago viejo, sinceramente no las recuerdo; las tengo en apuntes por algún sitio si alguien tiene interés). Sin embargo, ese no es un problema intrínseco a ninguno de los formalismos en si mismo, sino más bien a la forma de encontrar la forma de hacer la transición de uno a otro.

Por otro lado, no es imprescindible que un hamiltoniano o lagrangiano se construya a partir de un modelo Newtoniano. Uno puede simplemente plantear un hamiltoniano directamente y ver si describe correctamente la naturaleza. En última instancia, todos los formulismos tienen un ingrediente que debe ser proporcionado externamente.

En el formalismo Newtoniano, ese ingrediente es la fuerza. Antes de hacer nada, tenemos que decir cómo es la fuerza. Al poner que una fuerza, por ejemplo, es central y decae con el cuadrado de la distancia, estamos modelando la naturaleza. O al decir que la fuerza de fricción crece con la velocidad. Son hipótesis sobre la naturaleza. Después, aplicando la maquinaria teórica podemos obtener conclusiones a partir de esa hipótesis, y ver si eso describe correctamente la naturaleza.

Pues lo mismo podemos hacer con el hamiltoniano. Podemos simplemente plantear un hamiltoniano, usar la maquinaria teórica, y ver si sale algo que se parezca a la realidad. En ese sentido, la formulación hamiltoniana es igual de fundamental que la newtoniana: ambas tienen un ingrediente que debemos aportar externamente.

Obviamente, en mecánica clásica estamos más acostumbrados a trabajar con fuerzas, y por eso inconscientemente pensamos en el hamiltoniano como un derivado. Pero eso no es fundamentalmente cierto. De hecho, en cuántica y física contemporánea, se trabaja directamente con formulismos escalares (en cuántica no relativista, normalmente con el hamiltoniano; en QFT con el lagrangiano).

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

pod, tu respuesta es de libro pero me temo que gdonoso94 preguntaba más concretamente algo que yo también me pregunto: ¿cómo incluimos en las ecuaciones de Hamilton la presencia de fuerzas disipativas, que hacen que el sistema no conserve la energía?

En la mecánica de Hamilton y de Lagrange, tanto el hamiltoniano como la lagrangiana se construyen considerando la energía cinética(T) y la potencial(V): H=T+V, L=T-V. A partir de ahí escribimos como dices "de un plumazo" las ecuaciones del movimiento.
Pero cuando existen fuerzas disipativas, como por ejemplo la fricción, entonces parece que esta receta falla para construir las ecuaciones del movimiento, porque esas fuerzas no encuentran su sitio en T ni en V. ¿Cómo incorporar dichos efectos a las ecuaciones de Hamilton o Lagrange?

[pod]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Hay un proceso totalmente mecánico (nunca mejor dicho ) que permite obtener las ecuaciones del movimiento a partir del Hamiltoniano. Es equivalente a lo que ocurre con el Lagrangiano, que sólo tienes que aplicar mecánicamente las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtienes "sin más esfuerzo" las e.o.m.

En este caso, las ecuaciones de Hamilton son:

$$\begin{aligned}<br /> \dot q_i & = +\frac{\partial H}{\partial p_i} \ , \\<br /> \dot p_i & = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \ .<br /> \end{aligned}$$

Estas ecuaciones son suficientes siempre para obtener las eom. Pero, como tú dices, si tienes alguna constante obvia, como la energía, te puedes ahorrar alguna de las 2N ecuaciones de Hamilton. En particular, fíjate que de estas ecuaciones se ve claramente que si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, entonces su momento conjugado es automáticamente una constante del movimiento. Al revés también es cierto: si un momento no aparece en el hamoltiniano, su coordenada generalizada conjugada es constante.

[gdonoso94]

Pues eso, la pregunta está en el título. A partir de que obtengo el hamiltoniano del sistema... ¿Cómo deduzco las ecuaciones de movimiento? Obtengo integrales primeras (cantidades conservadas) y demás, pero en el caso de que la energía no se conserve no sé cómo hallar las ecuaciones de movimiento. ¿Alguien puede echarme un cable?

Gracias.

Un saludo.