Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Cuando uno construye el formalismo lagrangiano a partir del principio de D'Alembert, aparece ya de primeras el concepto de "fuerza generalizada". Es precisamente esta fuerza generalizada la que se supone que deriva de un potencial en sistemas conservativos y donde tiene sentido hablar de Lagrangiano como tal. Por definición, el Lagrangiano es lo que venís diciendo todos hasta ahora (obviamente) y no hay, que yo sepa, ninguna generalización de éste para sistemas no conservativos. Lo que sí ocurre, cuando hay fuerzas disipativas, es que la información de dichas fuerzas no puede quedar contenida en el Lagrangiano, por lo que que construye un Lagrangiano con las fuerzas conservativas y se dejan "bailando" las disipativas, quedando entonces un sistema acoplado de EDOs de la forma:

$$\sum_{j} \left[ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} - Q_j \right]\delta q_j = 0$$

En estos casos normalmente lo que se hace es utilizar los multiplicadores de Lagrange si las fuerzas disipativas no son dependientes de velocidades. En caso de que sean dependientes de velocidades, puede definirse un potencial generalizado, con lo que se volverían a tener las ecuaciones de Lagrange de toda la vida.

También, con fuerzas de rozamiento o similares, puede definirse una función de disipación, que se llama comúnmente Función de Rayleigh (seguramente haya mucha bibliografía al respecto), con la que pueden conseguirse resultados similares a un potencial generalizado.

Otra cosa que añadir: respecto al Hamiltoniano, jamás estudié que corresponda con T+V, si bien coincide con la energía mecánica en sistemas conservativos (ya se ha dicho hasta la fecha). Sin embargo, me lo definieron en primera instancia como una transformación de Legendre. Supongo que dependerá del enfoque que se le dé a la asignatura.

Muchas gracias por la aclaración, que me parece muy acertada.

Por otra parte tienes toda la razón en que, en rigor, el hamiltoniano no se define como H=T+V sino como

$H=\vec{p}\cdot \dot{\vec{q}}-L$, que solo coincide con T+V para sistemas conservativos.
.
Lo que pasa es que el uso que se hace del hamiltoniano en Mecánica Estadística o Mecánica Cuántica en muchas ocasiones permite hacer H=T+V y uno tiende a acostumbrarse a esta forma impropia de definirlo

[ZYpp]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Cuando uno construye el formalismo lagrangiano a partir del principio de D'Alembert, aparece ya de primeras el concepto de "fuerza generalizada". Es precisamente esta fuerza generalizada la que se supone que deriva de un potencial en sistemas conservativos y donde tiene sentido hablar de Lagrangiano como tal. Por definición, el Lagrangiano es lo que venís diciendo todos hasta ahora (obviamente) y no hay, que yo sepa, ninguna generalización de éste para sistemas no conservativos. Lo que sí ocurre, cuando hay fuerzas disipativas, es que la información de dichas fuerzas no puede quedar contenida en el Lagrangiano, por lo que que construye un Lagrangiano con las fuerzas conservativas y se dejan "bailando" las disipativas, quedando entonces un sistema acoplado de EDOs de la forma:

$$\sum_{j} \left[ \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} - Q_j \right]\delta q_j = 0$$

En estos casos normalmente lo que se hace es utilizar los multiplicadores de Lagrange si las fuerzas disipativas no son dependientes de velocidades. En caso de que sean dependientes de velocidades, puede definirse un potencial generalizado, con lo que se volverían a tener las ecuaciones de Lagrange de toda la vida.

También, con fuerzas de rozamiento o similares, puede definirse una función de disipación, que se llama comúnmente Función de Rayleigh (seguramente haya mucha bibliografía al respecto), con la que pueden conseguirse resultados similares a un potencial generalizado.

Otra cosa que añadir: respecto al Hamiltoniano, jamás estudié que corresponda con T+V, si bien coincide con la energía mecánica en sistemas conservativos (ya se ha dicho hasta la fecha). Sin embargo, me lo definieron en primera instancia como una transformación de Legendre. Supongo que dependerá del enfoque que se le dé a la asignatura.

[pod]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Esos ejemplos son los que yo encontré (Wikipedia, si no me equivoco), pero si tu tomas otras coordenadas generalizadas y se conservan... ¿Cómo deduces qué es lo que se conserva en sí?

Entiendo básicamente que quieres saber el significado del momento conjugado.

El momento conjugado es lo que a veces se conoce como "generador de una transformación". ¿Qué transformación? Pues una transformación en el valor de la coordenada conjugada. Es decir, si $p_i$ es no nulo, entonces podemos interpretar que hay movimiento en la dirección de la coordenada $q_i$.

Luego, el significado Físico de esto depende de la naturaleza de la coordenada $q_i$. En general, el $q_i$ puede ser una función complicada y abstracta, sin significado real. Sin embargo, en la mayoría de casos de utilidad sí tienen significado, normalmente una distancia (una coordenada cartesiana o un radio), o bien un ángulo. Cuando se trata de una coordenada de tipo distancia, normalmente p se puede interpretar como una cantidad de movimiento (m v). Cuando se trata de un ángulo, normalmente es un momento angular (m r v).

Esto, dicho así, es una idea general. Según sea el lagrangiano, el momento conjugado puede contener más términos que los estándares (por ejemplo, más cosas a parte de m v). Sin embargo, sigue siendo cierto que el momento $p_i$ es el generador de la transformación de $q_i$. El significado estricto de esto lo verás probablemente cuando estudies teoría de grupos y su aplicación en la Física.

Por lo tanto, si $p_i$, básicamente ello significa que la transformación de $q_i$ es uniforme en el tiempo. Pero lo realmente importante es que el hecho de tener una constante, sea cual sea su significado, es que nos permite solucionar el movimiento de forma mucho más sencilla. En particular, cualquier constante del movimiento nos permite eliminar una ecuación del movimiento. Hay un teorema que nos dice que podemos resolver todo el movimiento si tenemos N constantes del movimiento (donde N es igual al número de constantes). Hasta el punto que hay técnicas y formalismos específicamente creados para encontrar cambios de variables donde pasamos a otras coordenadas donde todos los momentos son constantes. Puede que esas coordenadas no tengan un significado físico (como distancia o ángulo), pero nos permiten resolver el problema.

[gdonoso94]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Esos ejemplos son los que yo encontré (Wikipedia, si no me equivoco), pero si tu tomas otras coordenadas generalizadas y se conservan... ¿Cómo deduces qué es lo que se conserva en sí?

Gracias de nuevo.

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Esto es la definición de momento conjugado, pero no qué representa. Por ejemplo, si se conserva un momento, ¿qué se conserva? He leído por ahí que si se conserva un momento de una coordenada angular se conserva el momento angular del movimiento en cuestión, pero no sé hasta que punto es cierto...

Como

$\dot{p_{i}} = -\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$

resulta que si H no depende de q_i, entonces el momento conjugado de q_i , que es p_i, tiene derivada temporal nula, o sea, es una constante del movimiento.

Ejemplos:

1) Si q_i es la coordenada x, en ese caso se conserva la componente segun x del momento lineal.
2) Si q_i es el ángulo azimutal, $\phi$, en el sistema de coordenadas esféricas, se conserva la componente z del momento angular

[gdonoso94]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Dado un problema de mecánica concreto identificamos un conjunto de coordenadas espaciales (lineales o angulares, pudiendo mezclar de ambos tipos), que determinan la posición espacial del sistema. Esta colección de coordenadas son las {q_i}, con i=1,...N, donde N es el número de grados de libertad del sistema.

A partir de las {q_i} construimos el lagrangiano $L(q_{1}...q_{N},\dot{q_{1}}...\dot{q_{N}})$

Y ahora es cuando aparecen los momentos conjugados:

para cada q_i, su momento conjugado p_i se define como $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$

Esto es la definición de momento conjugado, pero no qué representa. Por ejemplo, si se conserva un momento, ¿qué se conserva? He leído por ahí que si se conserva un momento de una coordenada angular se conserva el momento angular del movimiento en cuestión, pero no sé hasta que punto es cierto...

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Rodri, aunque da lo mismo añadir un término al Lagrangiano, o a las ecuaciones de Lagrange, yo prefiero no tocar al Lagrangiano e igualar las ecuaciones de Lagrange a la fuerza generalizada, porque en general sobre un sistema no solamente van a actuar fuerzas que deriven de un potencial, sino también las de rozamiento o cualquier otra fuerza. de esta forma utilizas la definición clásica del Lagrangiano y únicamente tienes que añadir a las ecuaciones, las fuerzas generalizadas, si existen.

La incluyamos o no en el lagrangiano, lo que yo veo es que al final resulta que el formalismo de Lagrange-Hamilton necesita recurrir al concepto fenomenológico de fuerza (aunque sea "fuerza generalizada") para incluirlo en su "maquinaria".

[felmon38]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Rodri, aunque da lo mismo añadir un término al Lagrangiano, o a las ecuaciones de Lagrange, yo prefiero no tocar al Lagrangiano e igualar las ecuaciones de Lagrange a la fuerza generalizada, porque en general sobre un sistema no solamente van a actuar fuerzas que deriven de un potencial, sino también las de rozamiento o cualquier otra fuerza. de esta forma utilizas la definición clásica del Lagrangiano y únicamente tienes que añadir a las ecuaciones, las fuerzas generalizadas, si existen.

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Rodri, no tienes que cambiar el Lagrangiano, tienes que añadir a las ecuaciones de Lagrange un término, la fuerza generalizada, tal como viene en
http://casanchi.com/fis/hamilto01.htm

Gracias felmon38. Ya vi ayer este enlace en tu post. Está claro que eso es lo que hay que hacer, es decir, en el problema que planteo definir una "lagrangina modificada" dada por $L = T-V+F_{r}q$

, donde $F_{r}$ es la fuerza de rozamiento, que vendrá dada por $F_{r}=-\mu Mg\cos{\alpha}\frac{\dot{q}}{ \left\vert{} \dot{q} \right\vert{}}$ (esto incluye el cuerpo en bajada y en subida por el plano, ya que el signo de $F_{r}$ cambia en cada caso).

Pero entonces, y es a donde quería llegar, el método de la Mecánica de Lagrange está huérfano de un criterio claro que nos diga de forma sistemática cómo elegir el lagrangiano adecuado. Al menos yo lo veo así. Esa elección es el elemento externo que alimenta la maquinaria al que se refería pod en su post de este hilo:

Por otro lado, no es imprescindible que un hamiltoniano o lagrangiano se construya a partir de un modelo Newtoniano. Uno puede simplemente plantear un hamiltoniano directamente y ver si describe correctamente la naturaleza. En última instancia, todos los formulismos tienen un ingrediente que debe ser proporcionado externamente.

En el formalismo Newtoniano, ese ingrediente es la fuerza. Antes de hacer nada, tenemos que decir cómo es la fuerza. Al poner que una fuerza, por ejemplo, es central y decae con el cuadrado de la distancia, estamos modelando la naturaleza. O al decir que la fuerza de fricción crece con la velocidad. Son hipótesis sobre la naturaleza. Después, aplicando la maquinaria teórica podemos obtener conclusiones a partir de esa hipótesis, y ver si eso describe correctamente la naturaleza.

[felmon38]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Rodri, no tienes que cambiar el Lagrangiano, tienes que añadir a las ecuaciones de Lagrange un término, la fuerza generalizada, tal como viene en
http://casanchi.com/fis/hamilto01.htm

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

pero en el caso de que la energía no se conserve no sé cómo hallar las ecuaciones de movimiento. ¿Alguien puede echarme un cable?
.

Querría volver a esta pregunta que está en el post que originó este hilo.

Supongamos este problema sencillo:

Un bloque de masa M desliza por un plano inclinado de ángulo $\alpha$. El coeficiente dinámico de rozamiento es $\mu$.
Calcular la ecuación del movimiento.

Usando dinámica newtoniana este problema está "chupado":

Llamando x al eje según la dirección del plano en sentido descendente, la fuerza sobre el bloque es $F=Mg\sin{\alpha}-\mu Mg\cos{\alpha}$ y entonces usando la segunda ley de Newton tenemos $M \ddot{x} = Mg\sin{\alpha}-\mu Mg\cos{\alpha}$, es decir

$\ddot{x} = g(\sin{\alpha}-\mu \cos{\alpha})$, que es la ecuación del movimiento



Ahora intentemos resolver el problema usando la formulación de Lagrange:

1) Hay un grado de libertad: tomo q=x como única coordenada.

2) Defino el lagrangiano: $L=T-V$, con $T=\frac{1}{2}M\dot{q}^{2}$ y $V=-Mgq\sin{\alpha}$

Está claro que este lagrangiano no incluye el efecto del rozamiento por lo que escribiendo la ecuación de Euler-Lagrange a partir de él no deduciremos la ecuación correcta del movimiento. ¿Qué hacemos? ¿Cómo sería correcto definir L para incluir la información de la fuerza de rozamiento?
A mí se me ocurre cómo, pero lo que quisiera hacer notar en este post es que los textos suelen pasar por alto esta cuestión cuando definen la función lagrangiana, o al menos no son muy claros.

Ver estos ejemplos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian
http://books.google.com.co/books?id=...page&q&f=false --> ver pág. 25

Hasta el venerado Goldstein define simplemente L=T-V (al menos soy incapaz de encontrar otra definición más "avanzada" en el libro, y mira que la he buscado...). Eso está muy bien para los sistemas conservativos, que son los que primero se estudian en una exposición digamos pedagógica de la Mecánica, pero en problemas tan triviales como el del ejemplo esa definición es incompleta. Por eso me sorprende que no aparezca más claramente en los libros, hablo de libros de nivel "undergraduate".

¿Alguien puede ayudarme a salir de mi "crisis"?

[carroza]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Pod, deberías corregir la ecuación 6.

$q(t) = - {\alpha \over 6 m} t^3 + {p_0 \over m} t + q_0$

saludos

[Rodri]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Ahora me surge otra duda. ¿Qué representan los momentos conjugados en el espacio de fases?
.

Dado un problema de mecánica concreto identificamos un conjunto de coordenadas espaciales (lineales o angulares, pudiendo mezclar de ambos tipos), que determinan la posición espacial del sistema. Esta colección de coordenadas son las {q_i}, con i=1,...N, donde N es el número de grados de libertad del sistema.

A partir de las {q_i} construimos el lagrangiano $L(q_{1}...q_{N},\dot{q_{1}}...\dot{q_{N}})$

Y ahora es cuando aparecen los momentos conjugados:

para cada q_i, su momento conjugado p_i se define como $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$

[gdonoso94]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Gracias a todos por las respuestas. En primer lugar, creo que ya he descubierto lo que no veía, que es que al integrar las ecuaciones de Hamilton se obtienen coordenadas del espacio de fases, cosa que veía pero no llegaba a asimilar, de ahí mi cabezonería. Ahora me surge otra duda. ¿Qué representan los momentos conjugados en el espacio de fases?

De nuevo, muchas gracias a todos, mil gracias por currarte el ejemplo pod. Felmon, le echaré un ojo después de exámenes, en clase no hemos hecho ejercicios con fuerzas disipativas, era simplemente curiosidad.

Un saludo.

[felmon38]

Re: Uso de los hamiltonianos para deducir ecuaciones de movimiento

Gdonoso, por si te vale en esta página se desarrollan las ecuaciones de Hamilton con fuerzas disipativas :

http://casanchi.com/fis/hamilto01.htm