1r ciclo Intuición del Langrangiano

[leo_ro]

Buenas.

Tengo una consulta con respecto al langrangiano y es que no puedo instuir en forma fácil y clara su implicación o relación en el mundo físico. Entiendo sí, por ejemplo, la energía mecánica, definida como:

$E = Ec + Ep$

De manera tal que si consideramos aislado el sistema, al disminuir la energía cinética aumenta el potencial. Es decir, es la conservación de la energía. En cambio si tenemos presente una fuerza no conservativa:

$Ec = E - Ep - {\int} {F}_{nc} dr$

Ahora el langrangiano es:

$L = T - V$ y según la notación que seguía antes: $L = Ec - Ep$

¿Por qué se resta a la energía cinética la energía potencial? Esto sin lugar a dudas no surge o tiene relación con la conservación de la energía, ya que en todo caso sería una suma de la energía cinética y la energía potencial.

Es algo que no puedo ver intuitivamente al langrangiano, me cuesta. ¿qué puedo ver intuitivamente? A lo que me refiero es que ¿Se conserva esa cantidad L?

[carroza]

Hola. Puedes leer lo que pone en la wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangiano , o en tu libro de texto.

Una idea que te resultará util es que, la energía, para un sistema concreto, en un instante concreto, es un número, digamos 13,7 J, que lo puedes poner como suma de otros dos números que llamamos energía cinética y energía potencial.

El lagragniano es una expresión, que depende de las coordenadas, las velocidades y, posiblemente, el tiempo. $L = L(x, \dot x, t)$. So conoces la expresión del lagrangiano, puedes derivar las ecuaciones del movimiento. Así, no tiene sentido decir que el lagrangiano vale 13,7 J. El lagrangiano vendrá dado por una expresión, por ejemplo
$L = A \dot x^2 + B (x- C)^3$. Si conoces esto, puedes derivar las ecuaciones de movimiento del sistema, que gobiernan su trayectoria $x(t)$ validas para cualquier instante de tiempo t, y para cualquier condición inicial $x(0), \dot x(0)$

[leo_ro]

gracias carroza.

Sigo igual con problemas en poder entenderlo de forma clara y por claro me refiero así como se intuye el momento cinético el cual está en función de la masa y la velocidad, el cual se conserva. O de la energía que si es cinética depende de su masa y velocidad y si es potencial depende de una propiedad (masa, carga eléctrico o de color) y de la posición y cuya cantidad se conserva. De allí, de estas cantidades conservadas podemos realizar relación entre diferentes parámetros, ejemplo:

$PdV = n R dT$, gracias a la energía podemos relacionar dichos parámetros, además la energía total no relativista es igual a la suma de la energía cinética y potencial. Y lo coloco en negrita porque la suma es la cantidad que se conserva, al disminuir la energía potencial, aumenta la energía cinéctica. Eso lo vemos en la ecuación de mecánica clásica así como en la ecuación de onda de Schrodinger (operador energía cinética más energía potencial).

Pero ¿por qué el langrangiano es igual a la diferencia entre la energía cinética menos la potencial? Ahí no tenemos una conservación de energía, si en la suma de energía cinética más potencial.

[Alriga]

Según yo creo entender, la importancia del Lagrangiano “L” no radica en que su posible valor numérico asignado pudiese conservarse o no, radica en que su expresión “engendra” a la Acción “S”

$\dst S(r)=\int_{t_1}^{t_2} L(r, \ \dot r, \ t) \ dt$

Y la posterior aplicación a “S” del Principio de Mínima Acción* conduce a determinar el movimiento. Entiendo pues que la enorme importancia del Lagrangiano radica por lo tanto en ser el “engendrador” de la Acción. O dicho de otro modo para acercarme a la intención del título del hilo, diría que el significado físico intuitivo del Lagrangiano sería el de "progenitor de la Acción"

Dicho grosso modo a título comparativo, el Principio de la Conservación de la Energía (PCE) dice "la energia se conserva" y su aplicación permite "hacer cuentas" . Mientras que el Principio de Mínima Acción (PMA) dice "la acción tiende a ser mínima" y eso también permite "hacer cuentas", cuentas tan poderosas o más que las que permite la conservación de la energía.

Mientras que las cuentas basadas en el PCE empiezan estableciendo como primer peldaño la energía total como suma de cinética más potencial, la aplicación de las "poderosas cuentas" del PMA, empiezan como primer peldaño, estableciendo el Lagrangiano como diferencia entre energia cinética y potencial.

$\bold E=T+U$ primer peldaño de cálculo para "hacer cuentas" basadas en el Principio de conservación de la energía

$\bold L=T-U$ primer peldaño de cálculo para "hacer cuentas" basadas en el Principio de mínima acción

Saludos.

*Principio de acción estacionaria o Principio de acción extremal o Principio de Hamilton, si quiero ser riguroso.

[javisot20]

De un mismo sistema podemos definir la conservación de la energía y el operador lagrangiano.

¿Entonces el principio de conservación dicta que se conserva ( simplemente), y el langrangiano como se lleva a cabo ?


Saludos.

[Alriga]

De un mismo sistema podemos definir la conservación de la energía y el operador lagrangiano.

¿Entonces el principio de conservación dicta que se conserva ( simplemente), y el Langrangiano como se lleva a cabo ?

El Principio de la Conservación de la Energía (PCE) no es un "sacrosanto fin" en si mismo, es solo un medio que permite hacer cálculos: si sé la magnitud de la energía en un momento, el PCE es una "receta" útil que me permite calcularla en otro momento, y a partir de ella cosas como posición y velocidad en ese momento...

Del mismo modo, si conozco el Lagrangiano podré aplicar otra "receta" deducida del Principio de mínima acción (PMA), esa otra "receta" es la Ecuación de Euler-Lagrange que también me conducirá a saber cosas como la posición y la velocidad en el momento elegido. (Puedes ver un ejemplo de aplicación en el hilo Escuadra oscilante) Y según yo creo entender, el PMA es más "potente" que el PCE.

Saludos.

PD. Para entender bien que la Energía es esencialmente sólo la base de una "receta" que "permite calcular cosas", es genial el capítulo 4 de libro de Richard Feynman "Seis piezas fáciles", libro que leí hace muchos años y que recomiendo fervientemente.

[carroza]

Hola.

A ver. Seamos rigurosos.

La energía no tiene por qué conservarse. Solamente para ciertos sistemas, con lagrangianos de un cierto tipo, se conserva la energía.

El principio de mínima acción, que menciona Alriga, es un procedimiento para obtener las ecuaciones de movimineto para un sistema, se conserve o no se conserve la energía.

Asi que hay tres conceptos diferentes:

- Energía: Cantidad (número) que depende de la posición y de la velocidad de una partícula, que puede conservarse o no, y que puede escribirse, en bastantes casos, como $E = 1/2 m {\dot x}^2 + V(x,t)$. Cuando el potencial $V(x)$ no depende del tiempo, la energía se conserva.

- Lagrangiano: Expresión que depende de la posición , la velocidad de la particula y el tiempo, y que determina las ecuaciones de movimiento de la partícula.
El lagrangiano puede ser, en general, una función arbitraria de estas variables. $L = L(x,\dot x, t)$.

En los casos particularisimos en los que el lagrangiano se puede expresar como un término cuadrático en la velocidad, más una función sólo de la posición, $L= L(x,\dot x, t)<br /> = 1/2 m {\dot x}^2 - V(x)$, entonces se obtiene de las ecuaciones de movimiento que la cantidad $E = 1/2 m {\dot x}^2 + V(x)$, que llamamos Energía, se conserva. De forma análoga, en problemas en tres dimesiones con potenciales centrales , encontraríamos que las ecuaciones de movimiento llevan a una cantidad que se conserva que llamamos momento angular.

- Hamiltoniano: Expresión que depende de la posición , el momento de la particula y el tiempo, y que determina las ecuaciones de movimiento de la partícula.
El hamiltoniano puede ser, en general, una función arbitraria de estas variables. $H = H(x,p, t)$. El hamiltoniano está relacionado con el lagrangiano por la expresión $H(x, p, t) = \dot x p - L$.

En el caso particular en el que el lagrangiano se pueda escribir como $L= 1/2 m {\dot x}^2 - V(x,t )$, entonces $p = m \dot x$, y el hamiltoniano resulta $H(x, p, t) = p^2/2m + V(x,t)$.

En el caso particularísimo en el que el lagrangiano se pueda escribir como $L= 1/2 m {\dot x}^2 - V(x)$, entonces el hamiltoniano resulta $H(x, p) = p^2/2m + V(x)$, y la cantidad $E = 1/2 m {\dot x}^2 + V(x)$ se conserva.

Espero que con esto se vea claro que el hamiltoniano no "es" la energía.

Saludos

[leo_ro]

Gracias a todos estimados

La energía no tiene por qué conservarse. Solamente para ciertos sistemas, con lagrangianos de un cierto tipo, se conserva la energía.

¿Cuándo no se conserva la energía? ¿estamos hablando de un sistema abierto? o ¿de que como la energía es una cantidad que se conserva bajo traslaciones temporales, no se conserva por ejemplo en la expansión del espacio-tiempo?

En sí, ahora entiendo al langrangiano como el generador de la acción. Pero si la acción tiene magnitud de energía*tiempo ya que :

$S = {\int} L d t$

Pero por qué se escribe L = T - V y no T + V, ya que las unidades son las mismas. ¿Qué es lo que se busca?

En los casos particularisimos en los que el lagrangiano se puede expresar como un término cuadrático en la velocidad, más una función sólo de la posición, $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - V(x)$ , entonces se obtiene de las ecuaciones de movimiento que la cantidad $E = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} + V(x)$, que llamamos Energía, se conserva. De forma análoga, en problemas en tres dimesiones con potenciales centrales , encontraríamos que las ecuaciones de movimiento llevan a una cantidad que se conserva que llamamos momento angular.

Supongo que la acción será mayor cuanto más energía cinética tenga el sistema. Si el potencial es mayor a la energía cinética el langrangiano es negativo ¿Qué significa eso? Y si la energía cinética es igual a la energía potencial el langrangiano es cero y ¿entonces la acción?

[javisot20]

Esperando a que contesten, el teorema de Noether dicta ( de manera generalizada ): "A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa"

Entonces quiero pensar que hablaríamos de simetrías "discontinuas",
o asimetrías discontinuas/continuas que no tienen asociada una ley de conservación.

[Weip]

Pero por qué se escribe L = T - V y no T + V, ya que las unidades son las mismas. ¿Qué es lo que se busca?

Lo que se busca es que la trayectoria física de una partícula sea extremo del funcional de acción. Esto es, buscamos que cuando se minimice/maximice la acción, obtengamos las ecuaciones del movimiento que describen la trayectoria de la partícula. Si pones $T+U$, no obtienes las ecuaciones del movimiento. Si pones $T-U$, sí. Es el "hacer cuentas" que explicaba Alriga.

Esperando a que contesten, el teorema de Noether dicta ( de manera generalizada ): "A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa"

Entonces quiero pensar que hablaríamos de simetrías "discontinuas",
o asimetrías discontinuas/continuas que no tienen asociada una ley de conservación.

Bueno, se habla de simetrías discretas. Una de ellas es la paridad. Aún siendo discretas de estas simetrías se pueden sacar muchas cosas, mira cosas sobre cristales por ejemplo.

[carroza]

Supongo que la acción será mayor cuanto más energía cinética tenga el sistema. Si el potencial es mayor a la energía cinética el langrangiano es negativo ¿Qué significa eso? Y si la energía cinética es igual a la energía potencial el langrangiano es cero y ¿entonces la acción?

A ver si un ejemplo te aclara esto.

Imaginate que estás jugando con una pelota (en el campo gravitatorio). Tu quieres que la pelota salga de tu mano (definido como $\vec r=0$), en el instante $t=0$, y que vuelva a tu mano en el instante t=1s. Estos son las condiciones de contorno de la trayectoria. O sea, que de la trayectoria $\vec r(t)$ que te gustaría determinar, sabes que $\vec r(0)= 0$, y que $\vec r(1)= 0$, pero no sabes, en principio, que pasa por enmedio.

Podrías imaginarte todo tipo de trayectorias exóticas, en las cuales la pelota se pone a subir y a bajar delante de tus ojos, te da una vuelta a la cabeza y luego vuelve a tu mano en t=1. Cada trayectoria vendrá caracterizada por una serie de posiciones $\vec r(t)$, y una serie de velocidades $\vec v(t)$. Cómo sabes cuál es la trayectoria buena?

Pues para ello te sirve el lagrangiano, que toma, para cada trayectoria,por exótica que sea, un valor para cada instante de tiempo. Y con el lagrangiano obtienes la accion, integrando entre $t=0$, y $t=1$. Así que cada trayectorio, por loca que sea, tiene definido un valor de la acción.

Pues de todas esas trayectorias posibles, la buena, es la que hace la acción mínima (bueno, extremal para los puristas, pero minima en todos los casos prácticos).

Un saludo

[alexpglez]

Hola,
El lagrangiano no tiene una interpretación física tan evidente como la energía. El lagrangiano surge para expresar matemáticamente las leyes del movimiento de una manera más compacta mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange. Al depender la física de una única función y principio variacional, resulta mucho más fácil desde un punto de vista matemático, el problema a resolver:
- Es fácil hacer cambios de coordenadas en una función, mientras que es más complejo hacer cambios de coordenadas en ecuaciones vectoriales. Piensa en cambiar de cartesianas a polares, que al derivar los vectores unitarios aparecen los términos tipo Coriolis y centrífugo y salen cuentas complicadas.
- Es más fácil analizar las cantidades conservadas. Si el Lagrangiano no depende del tiempo se conserva el Hamiltoniano (que suele coincidir con la energía). Si el lagrangiano no depende de una coordenada, entonces se conserva un momento asociado a la coordenada.
- La mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana es necesaria para entender la teoría cuántica.

En resumen, el Lagrangiano es un objeto matemático muy útil, aunque a priori no tenga un significado físico tan evidente.

[sater]

Yo, para ganar algo de intuición acerca de por qué tiene sentido que L=T-U, recomendaría leer a Feynman (cap 19, Vol II de sus Lectures).

Eso sí, tiene sentido si partes del principio de mínima acción. Al final de algo hay que partir. De igual forma, la conservación de la energía tiene sentido porque tenemos las leyes de Newton y su dinámica muy interiorizadas. Pero realmente son preguntas que no se pueden responder, porque (y me repito), de algo hay que partir, y ese algo lo tienes que tomar como "axioma" (no en el sentido matemático, porque al fin y al cabo lo contrastas con experimentos).