1r ciclo Que la derivada de un campo sea un campo

[Enrixq]

Para que las leyes de la Física, que relacionan derivadas de campos, sean válidas en otros sistemas de referencia con distinta orientación; tales derivadas han de ser a su vez campos escalares o vectoriales. Como sabemos se usan el gradiente la divergencia y el rotacional. Pero no llego a entender, si por ejemplo tengo un campo escalar y tomo una derivada espacial, como $\frac{\partial p}{\partial x}$, el porqué esto no es un escalar (ni un vector).

[Weip]

Re: Que la derivada de un campo sea un campo

Hola. Piensa que un campo escalar lo puedes ver como una función $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ que a cada punto del espacio $\mathbb{R}^3$ le asigna un escalar de $\mathbb{R}$. En este sentido tomar la derivada parcial de $F$ es lo mismo que tomar la derivada parcial de $F$ vista como una función tal como debes haber estudiado en tus clases de cálculo diferencial e integral. Luego esta derivada parcial puedes evaluarla en un punto concreto y entonces el resultado será un escalar. Lo mismo pasa en el caso particular de un campo escalar en una variable: si tomas la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ entonces $f'(x)=2x$ es la función derivada y $f'(1)=2$ da como resultado un escalar. Lo mismo pasa cuando ver el campo escalar en una región $U$ del espacio que también es un caso habitual.

No sé si esto ha aclarado tu duda. Cualquier cosa dilo.

[Enrixq]

Re: Que la derivada de un campo sea un campo

Weip si como dices al evaluar la derivada parcial en cada punto se obtiene un escalar, ¿por qué no se considera que sea un campo escalar? Sin embargo las combinaciones de derivadas parciales, como en el caso del gradiente si se considera que es un campo vectorial.

[Weip]

Re: Que la derivada de un campo sea un campo

Weip si como dices al evaluar la derivada parcial en cada punto se obtiene un escalar, ¿por qué no se considera que sea un campo escalar? Sin embargo las combinaciones de derivadas parciales, como en el caso del gradiente si se considera que es un campo vectorial.

Es que la derivada parcial de un campo escalar sí suele considerarse un campo escalar. Digo "suele" porque hay libros que definen el campo escalar de forma que sea una función diferenciable y como sabes la derivada parcial de una función así no tiene porqué ser diferenciable, pero para los propósitos de la mecánica teórica no es necesario hilar tan fino. ¿Has visto algún ejemplo concreto donde no sea este el caso? Si tienes alguno lo podemos analizar a ver dónde está el problema.

[pod]

Re: Que la derivada de un campo sea un campo

El término escalar suele utilizarse con dos significados diferentes. Un significado es el de "objeto sin ningún índice", y responde muy bien a la definición como aplicación de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}$ que explicaba Weip. Supongo que el origen de usar la palabra escalar en este contexto viene de la álgebra lineal, donde se usa el concepto de "cuerpo de escalares".

Otro uso es el que tiene el álgebra tensorial: un escalar es una cantidad cuya transformación ante cambios de coordenadas es trivial (i.e, no cambia). Y ésta es la que creo que Enrixq está buscando.

Fijaos que ambas definiciones en realidad son bastante ortogonales la una con la otra. Hay cantidades que no tienen ningún índice y sin embargo cambian al hacer cambios de coordenadas: un ejemplo sencillo es la energía, por ejemplo cinética. En un sistema de coordenadas en donde un objeto se encuentra en reposo su energía cinética es cero; no obstante, si hacemos un cambio de coordenadas a otro sistema donde hay movimiento relativo, la energía cinética ya no será cero. En ese sentido, la energía es un número real, pero tensorialmente no es un escalar. Hipotéticamente, también podria darse el caso contrario: una cantidad con índices que sea tensorialmente escalar (es decir, ninguna de sus componentes cambie al cambiar de sistema de referencia); pero ignoro si hay algún ejemplo relevante en Física o matemática.

En este contexto, si f es un campo escalar y x es una de las coordenadas, entonces está claro que $\frac{\partial f}{\partial x}$ no es un escalar, tensorialmente hablando. Es muy fácil verlo: si tenemos un cambio de coordenada, pasaremos de $(x,\,y\,z)$ a $(x',\,y'\,z')$. En general, $x' \neq x$ y, por lo tanto, $\frac{\partial f}{\partial x}\neq \frac{\partial f}{\partial x'}$. Para que, tensorialmente, la derivada se considerara un escalar, debería haber una igualdad ahí. En general, es obvio que si derivamos un escalar con respecto a algo que no lo es, entonces el resultado no será un escalar.

Precisamente el álgebra tensorial lo que hace es clasificar a los objetos matemáticos según su transformación ante cambios de coordenadas. Los escalares son los objetos que no sufren cambios. Los vectores, por contra, deben apuntar al mismo punto en el espacio usemos el sistema de coordenadas que usemos, y eso significa que sus componentes deben cambiar en consonancia; la transformación de las coordenadas de los vectores vienen dada por la matriz de cambio de base.

NOTA: para ser estrictos, en este punto seria necesario introducir las 1-formas (llamadas "vectores axiales" en terminología arcaica) son objetos muy similares a los vectores, pero sus componentes se transforman mediante la matriz inversa. No obstante, en espacio Euclídeo la métrica es igual a la matriz identidad, y por lo tanto hay una relación biyectiva entre vectores y 1-formas. Sobre todo en 3D es muy común obviar la diferencia entre ambos y suponer que son lo mismo.

Resulta que el objeto

$$\nabla_mu f = (\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial x}),$$

que a menudo recibe el nombre de gradiente, se transforma conjuntamente como un vector (en realidad, una 1-forma si $(x,\,y\,z)$ es un vector). Es decir, sus tres componentes (o N, si hablamos en general) se transforman siguiendo unas reglas precisas. Está claro, pues, que ninguna de las tres componentes es un escalar.

[Enrixq]

Re: Que la derivada de un campo sea un campo

Gracias pod, ahora lo he entendido. Escalar tiene dos significados diferentes e incompatibles. Sin tu aclaración no creo que hubiera llegado a entenderlo.
Saludos.