1r ciclo Lagrangiana de un aro que rueda sin deslizar

[woodyalex]

Hola tengo una dudilla en el siguiente problema : Tenemos un aro de radio ay masa m que rueda sin deslizar sobre un semicirculo de radio R y hay que escribir la lagrangiana ecuaciones del movimiento y decir cuales son las ligaduras y las fuerzas asociadas a ellas. Bien e aquí mis dudas al escribir la energia cinetica pretendia hacerlo como:

T=1/2mV(centromasas)^2 +1/2 Iw^2

Pero luego cai en la cuenta de que rodar sin deslizar implica que el punto de contacto del aro siempre es el mismo(creo) entonces si theta es el angulo de ese punto de contacto con reespecto a un cierto diametro del aro , este angulo no sera siempre el mismo ... es decir su derivada no sera 0 con lo que w sera 0???? es algo que no entiendo por que si rueda tiene que tener w no??
Para resumir por que creo que no me he explicado demasiado bien.... ¿al hacer la lagrangiana tengo que tomar una sola coordenada generalizada(angulo que forma el vector de posicion del aro con respecto al suelo) o dos (añadir tambien el angulo que gira el aro sobre si mismo y del que se obtiene su velocidad angular, y si es asi ¿por que este no es constante si el punto de apoyo es siempre el mismo?)?Gracias de antemano

[pod]

Re: Lagrangiana de un aro que rueda sin deslizar

El punto de contacto no siempre es el mismo, si siempre fuera el mismo entonces el aro no estaría girando. Lo que ocurre es que el punto de contacto no se mueve instantáneamente. Es decir, justo en el momento en que está tocando el suelo, no se mueve, pero después, al continuar rodando, ese punto en concreto se levanta y entonces empieza a moverse. Solo durante el instante que está tocando está momentáneamente quieto.

La lagrangiana que has puesto corresponde a un aro que gira. Ahora te falta conseguir que gire sin deslizamiento. Eso se hace fijando una ligadura, que no es más que considerar que la velocidad del punto que está más abajo es cero. La velocidad de ese punto es

$$v_\text{pc} = v_\text{cm} - \omega r = 0\ .$$

Si metes esto en la lagrangiana, te eliminará un grado de libertad, como todas las ligaduras

Por cierto, como dice que es un aro, puedes poner que $I = m r^2$

[woodyalex]

Re: Lagrangiana de un aro que rueda sin deslizar

Muchas gracias