Hamiltoniano igual a la energia

[Gauss]

¿Cuando podemos decir que el hamiltonuiano de un sistema es igual a la energia del sistema? Por favor, responder algo mas que decir

H=T+V, xq eso es trivial, gracias!!!!

[aLFRe]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

¿Cuando podemos decir que el hamiltonuiano de un sistema es igual a la energia del sistema? Por favor, responder algo mas que decir

H=T+V, xq eso es trivial, gracias!!!!

Por lo que se refiere a la Mecánica Analítica:
se tiene un sistema mecánico de N partículas y supongo ligaduras holónomas
$\vec{r}_j$
si 3N - l ligaduras son holónomas esto es, hay 3N - l relaciones del tipo
$F_k ( \vec{r}_1,...\vec{r}_N, t) = 0$
se puede describir el sistema mediante l coordenadas generalizadas
$q_1, ..., q_l$
$\vec{r}_j =\vec{r}_j( q_1,..., q_l,t)$
y el hamiltoniano es la transformada de Legrende de la función de Lagrange L= T-V
algo así como:
$H= \sum_{i=1}^l p_i\dot{q}_i - L$
donde
$p_i =\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

$H= \sum_{i=1}^l p_i\dot{q}_i - L$
Si se construye la energía cinética del sistema
$T= \sum_{j=1}^N \frac{1}{2}m_j v_j^2$

en el caso especial en el que las ligaduras holónomas no dependen del tiempo
$F_k ( \vec{r}_1,...\vec{r}_N) = 0$
( esclerónomas )
la energía cinética es una función cuadrática en las velocidades generalizadas
y por tanto, Vd. mismo puede hacer el cálculo
$\sum_{i=1}^l \dot{q}_j \frac{\partial L}{\dot{q}_j}= 2T$
y de ahí de obtiene la ecuación H = T+V,
Si $E_{mecanica}=T+V$
$H = E_{mecanica}$

La condición
$\sum_{i=1}^l \dot{q}_j \frac{\partial L}{\dot{q}_j}= 2T$
no se cumple en general ,( puede dar la casualidad de que ambas contribuciones se cancelasen)
en dos casos:
1. Si las ligaduras holónomas son reónomas ( dependen del tiempo )
esto es, son funciones del tipo
$F_k ( \vec{r}_1,...\vec{r}_N, t) = 0$
pues la energía cinética tiene terminos de orden 0 y 1 en las velocidades generalizadas

2. cuando los potenciales dependen de las velocidades generalizadas
$V= V(\dot{q}_i)$
y en general $H \neq E_{mecanica}$

Lo anterior es válido hasta donde yo lo recuerdo...
pero hay que añadir un par de cosas más...
1. En el tratamiento estadístico de los sistemas
hay que identificar la energía interna con el valor medio del Hamiltoniano
sobre el colectivo, pero esto no se prueba.
2. en el caso de la Cuántica, el operador Hamiltoniano... ( en principio )
debe de ser un observable... y por tanto... hermítico.
Ahora viene la tontería de mi post de hoy.
a veces he visto Hamiltonianos que no son hermíticos... y esto no es "Sexto Sentido"
¿dónde? En un par de artículos.
¿cuáles ? ni idea... los tengo por ahí... si los encuentro ya los pongo...
¿en que sistema aparecían? la misma respuesta de antes...

Espero haberle aclarado algo... y le envio un saludo.

Re-edición... he estado mirando y bueno por citar uno
"Complex density probability in non-Hermitian quantum mechanics:
Interpretation and a formula for resonant tunneling probability amplitude"
los firmantes son Barkay y Nimrod
y esto salió en Physical Review A vol.64, número 4, en Octubre de 2001

[deneb]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

hola,

estoy prácticamente de acuerdo contigo, salvo en una cosa: el potencial puede depender de las velocidades generalizadas, solo que debe hacerlo linealmente constituyendo lo que se da en llamar potencial generalizado.
Resumiendo, H=T+V=E siempre que se cumplan las dos siguientes condiciones:

i ) las ligaduras del sistema no dependan del tiempo
ii) el potencial no dependa de las velocidades, o lo haga linealmente.

Por cierto Gauss, que H=T+V está lejos de ser una trivialidad y se acerca a una incorrección. Si eso fuera totalmente cierto H siempre sería la energía y, como has visto, esa cuestión no está nada clara.

Saludos.

[pod]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

Es curiosa la forma en que lo preguntas. De hecho, en algunos círculos se llama energía al valor numérico del hamiltoniano, independientemente de si si valor es igual a $T+U$ o no. Entonces, la pregunta sería ¿bajo que condiciones se puede escribir $H = T + U$?

Todo esto viene de la siguiente cuestión: ¿por qué es importante la energía? Pues porqué a veces se conserva. Ahora bien, el teorema de Nöther sólo nos da condiciones de conservación para el hamiltoniano, que de casualidad a veces es igual a $T+U$. Pero hay ocasiones en que el hamiltoniano no cumple las condiciones para ser igual a
$T+U$ pero si para ser conservado. En estos casos, $T+U$ no es una cantidad conservada, y por lo tanto no sirve para nada.

[Gauss]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

Muchas gracias por las erspuestas

[aLFRe]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

estoy prácticamente de acuerdo contigo, salvo en una cosa: el potencial puede depender de las velocidades generalizadas, solo que debe hacerlo linealmente constituyendo lo que se da en llamar potencial generalizado.
Resumiendo, H=T+V=E siempre que se cumplan las dos siguientes condiciones:

i ) las ligaduras del sistema no dependan del tiempo
ii) el potencial no dependa de las velocidades, o lo haga linealmente.

Por cierto Gauss, que H=T+V está lejos de ser una trivialidad y se acerca a una incorrección. Si eso fuera totalmente cierto H siempre sería la energía y, como has visto, esa cuestión no está nada clara.

Saludos.

Esta muy bién tu puntualización.
He intentado ver si había algún requisito adicional sobre los coeficientes para el potencial
lineal en las velocidades generalizadas al que me referiré como U y no lo he encontrado.
( buscando por internet he encontrado una cosa
interesantísima que al menos yo no conocía... )
Amplio para cerrar salvo error
Se deben de cumplir las expresiones
$\vec{E}=-\vec{\nabla}{V}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$
$\vec{B}= \vec{\nabla}\times \vec{A}$
Si por notacion usamos $\dot{ \vec{q}}= ( \dot{q}_1,...,\dot{q}_n)$
este es en el caso usual magnético
$U=C\vec{A}(\vec{r},t)\dot{ \vec{q}}$
con C un factor adecuado para que sea una energía... creo que era carga/velocidad

La lagrangiana es $L= T- V- U$
y para el caso que tu citas al final de tu punto ii) $H= T + V$

Un saludo.

[carroza]

Re: Hamiltoniano igual a la energia

¿Cuando podemos decir que el hamiltonuiano de un sistema es igual a la energia del sistema? Por favor, responder algo mas que decir

H=T+V, xq eso es trivial, gracias!!!!

Una puntualización semántica, que creo que es importante.

La energía es una magnitud, y su valor viene dado por una cantidad, por ejemplo E=10 Julios.

El Hamiltoniano es una función (o un operador en mecánica cuántica), y su valor viene dado por una extresión en términos de coordenadas y momentos, por ejemplo $H(x,p)=p^2/2m + k x^2/2$.

Para saber la energía de un sistema, en un instante dado, puedo sustituir en el Hamiltoniano los valores de las coordenadas y momentos en ese instante.

Por ejemplo, si conozco la energia de un sistema (p. ej. E=10 J), y el sistema es conservativo, puedo conocer el valor de la energia en cualquier instante posterior, pero no sabre los valores de las coordenadas y los momentos.

Sin embargo, si conozco el hamiltoniano de un sistema, H(x,p), y conozco la coordenada y el momento iniciales, puedo integrar las ecuaciones de Hamilton y conocer la coordenada y el momento en cualquier instante posterior.

Por eso, aunque tengan la misma expresion matemática, energia y hamiltoniano son dos conceptos muy diferentes.