¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

[Mossy]

Buenas,

me gustaría saber vuestras opiniones sobre esta pregunta, que seguramente a algunos os la haya planteado alguna vez algún profesor de matemáticas. Es una pregunta un tanto complicada, porque la respuesta más "lógica" parece ser que se descubren. Pero no sé, a veces dudo.

Es decir, 2+2=4 y esto es así. Coges dos naranjas y añades otras dos y tienes cuatro. No es algo que nos hayamos inventado, es así. Pero si nos vamos a matemáticas algo más avanzadas... por ejemplo las matrices y los determinantes. Las matrices no son más que tablas que contienen elementos. Y luego llegan los determinantes, que permiten el paso de una tabla de elementos (números) a un número real. Parece una locura jajaja

Además si pensamos en la matemática como un lenguaje, una forma de expresar ideas... el castellano o el inglés nos lo hemos inventado, no lo hemos descubierto.

¿Qué opináis vosotros?

[aalbeiro89]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Hola...
Te dejo un link de un articulo donde se expone algo bastante interesante.
Saca tus propias conclusiones.
http://forum.lawebdefisica.com/entries/500-2-2-0

[abuelillo]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Hola...
Te dejo un link de un articulo donde se expone algo bastante interesante.
Saca tus propias conclusiones.
http://forum.lawebdefisica.com/entries/500-2-2-0

El problema de ese articulo es que deliberadamente utiliza un cierto formalismo (escoger determinados simbolos para representar los elementos de un grupo) para poder afirmar una conclusion que es engañosa .Esto hace que los lectores puedan sacar conclusiones erroneas.

Por ejemplo si se reescribiese el articulo pero cambiando el formalismo utilizado, y en lugar de afirmar que 2+2=0, afirmase por ejemplo C+C=A, el articulo seria el mismo, igual de correcto y nadie llegaria a ninguna conclusion errona.

No se le puede dar a los simbolos utilizados mas significado del que tienen, y con esto es con lo que está jugando el articulo.

[visitante20160513]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Pues yo me atrevería a decir algo así. La matemática no es más que un conjunto finito de abstracciones (que son los conceptos matemáticos) que mantienen una serie de relaciones entre ellos. Por ejemplo cuando decimos que una determinada gráfica es continua no hacemos más que establecer una determinada relación entre los conceptos de gráfica de una función y el concepto de continuidad.

Pues bien lo más parecido a la realidad parece ser que los conceptos matemáticos los inventamos y las relaciones entre ellos las descubrimos de forma que entre los aficionados a la matemática parecen reunirse las cualidades de los inventores y de los exploradores, somos diríase una mezcla entre Edison o Graham Bell y Cristobal Colon o Marco Polo navegando en un mundo desconocido y apasionante.

Salu2

[angel relativamente]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Totalmente de acuerdo con abuelillo. El artículo de arri es muy correcto pero no hay que dejarse engañar: Ni ese 2 es el mismo que el $2\in \mathbb{N}$ ni la operación + es la misma que la suma en $\mathbb{N}$. De hecho siendo quisquillosos ni tan siquiera es lo mismo el elemento $2 \in \mathbb{N}$ que el $2 \in \mathbb{Z}$, ni la operación + en ambos conjuntos. Una diferencia fundamental es que con respecto a la suma, el 2 tiene inverso en los enteros pero no en los naturales. No obstante, existe una aplicación que inyecta a los naturales y a los enteros, y no hace falta distinguirlos con símbolos distintos porque todos sobreentendemos que es "esencialmente" el mismo elemento. Pero con un grupo finito no puedes hacer esta inyección tan natural y los elementos son bien distintos. Así que ese artículo no desmonta en absoluto que 2+2=4 (en $\mathbb{N}$), ni aporta nada a este debate filosófico.

Y entrando en el debate, yo soy más de los que opinan que se descubren. En castellano y en inglés podemos decir mesa o table, y eso ha sido una invención nuestra, pero el objeto existe independientemente del lenguaje (y hay que coger con pinzas la analogía porque la mesa está hecha por humanos). Naturalmente toda la construcción nuestra de la matemática es totalmente inventada y definida, pero eso no quita que las ideas que subyacen debajo de toda esta construcción sean universales. Por ejemplo hoy día muchas fórmulas físicas utilizan el producto vectorial que calculamos mediante un determinante. Gracias a esas fórmulas podemos (entre otras muchas cosas) hacer volar una nave. Imagina que un día vienen a la Tierra un elenco de extraterrestres en sus naves espaciales. Puede que esa civilización tenga una construcción de la matemática muy distinta a la nuestra, y seguramente no hayan definido como nosotros una "matriz" y a esta le asocien un número "real" mediante la aplicación "determinante". Puede incluso que en su "física" tampoco aparezcan conceptos que para nosotros son muy naturales (por ejemplo la "velocidad", que también puede considerarse una invención, ¿no?). Sin embargo, si han conseguido hacer volar una nave, es porque han pasado por las mismas ideas, con un recubrimiento totalmente distinto al nuestro.
Quizá sea interesante buscar todos los mensajes que se han creado para comunicarse con extraterrestres. Tengo entendido que una de las cosas que se intenta enviar para comunicar es el número $\pi$, pues $3,141592\cdots$ puede ser todo lo arbitrario que quieras pero, ¿qué hay más natural que la proporción entre la longitud de una circunferencia y su radio?

[Weip]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Pues si me hubieran hecho esta pregunta hace unos meses, no sabría qué responder, pero ahora que he empezado la carrera de matemáticas, no tengo ninguna duda de que se inventan. Una invención magnífica, pero una invención al fin y al cabo. Siempre se empieza con una serie de axiomas evidentes (supuestamente), y a partir de ahí se deriva el resto. Para mi las matemáticas a veces "suponen" demasiado.

Cuidado, no me malinterpretéis, aunque considere que las matemáticas se inventan, para mi es el atractivo que encuentro en ellas. Por eso me gustan. La física, en cambio, me gusta porque se descubre. Independientemente de que podamos formular la física matemáticamente o no, la física existirá siempre. Por este motivo tampoco considero a las matemáticas como "el lenguaje del universo", sencillamente un lenguaje que por una magnífica casualidad, se adecua muy bien a la realidad. Aunque no olvidemos que las matemáticas son solo una forma de escribir nuestros razonamientos, es decir, la formulación que usamos es solo "apariencia".

En castellano y en inglés podemos decir mesa o table, y eso ha sido una invención nuestra, pero el objeto existe independientemente del lenguaje (y hay que coger con pinzas la analogía porque la mesa está hecha por humanos). Naturalmente toda la construcción nuestra de la matemática es totalmente inventada y definida, pero eso no quita que las ideas que subyacen debajo de toda esta construcción sean universales. Por ejemplo hoy día muchas fórmulas físicas utilizan el producto vectorial que calculamos mediante un determinante.

Comparto tu opinión, solo que yo de eso concluyo que las matemáticas se inventan.

Luego, aún sigo tengo la reflexión personal del tema de la geometría. La geometría son matemáticas, pero también son la mejor forma de expresar la física (a mi parecer), puesto que se refieren directamente a la realidad, sin abstracciones propias de otras áreas de las matemáticas.

[abuelillo]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Quizá sea interesante buscar todos los mensajes que se han creado para comunicarse con extraterrestres. Tengo entendido que una de las cosas que se intenta enviar para comunicar es el número $\pi$, pues $3,141592\cdots$ puede ser todo lo arbitrario que quieras pero, ¿qué hay más natural que la proporción entre la longitud de una circunferencia y su radio?

Es curioso el ejemplo que pones, porque quizas es mas natural la proporcion entre la longidud de una circunferencia y su diametro. Existe un movimiento pro TAU. Porque TAU (que es igual a 2*PI = 6.28) parece mucho mas natural , muchas ecuaciones quedan mas simples eliminado un monton de multiplicaciones por 2 innecesarias.
Y es muchisimo mas natural y sencillo entender la relacion entre TAU y el perimetro de una circunferencia o cualquier movimiento periodico.

http://tauday.com/tau-manifesto

Posteo algunas de sus argumentaciones:
Usando tau se ve de forma natural la asociacion entre TAU y un giro completo de un circulo, y convierte la identidad de Euler en lo siguiente:
$e ^{i\tau}=1$[FONT=MathJax_Main]
[/FONT]Y de forma natural se desprende que una rotacion completa de un punto en el plano complejo devuelve el punto a su posicion original. La identificacion de TAU con un giro completo hace que la formula de euler parezca casi como una tautologia.

Otro ejemplo interesante de la naturalidad de TAU en la fisica/matematicas:
Distancia caida:
$\frac{1}{2}gt^{2}$
Energia cinetica:
$\frac{1}{2}mv^{2}$
Energia muelle:
$\frac{1}{2}kx^{2}$
Area circulo:
$\frac{1}{2} \tau r^{2}$

En cuanto a la cuestion del debate original, mi opinion es que las matematicas se inventan y se descubren, las dos cosas (aunque tambien es muy discutible en el plano filosofico cual es la diferencia entre estas dos cosas):
Los axiomas y supuestos de las matematicas o cualquier logica formal se inventan o se definen. Pero las consecuencias de esos axiomas se descubren, plantear un teorema matematico y demostrarlo es un descubrimiento no una invencion, ya que esta implicito en los axiomas iniciales de la logica y modelo matematico que se utilice.
Simplemente descubrimos que cierto conjunto de axiomas (invencion) implican necesariamente ciertas conclusiones o teoremas (descubrimiento).
[FONT=Georgia][FONT=inherit][FONT=inherit]
[/FONT][/FONT][/FONT]

[carroza]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Quizá sea interesante buscar todos los mensajes que se han creado para comunicarse con extraterrestres. Tengo entendido que una de las cosas que se intenta enviar para comunicar es el número $\pi$, pues $3,141592\cdots$ puede ser todo lo arbitrario que quieras pero, ¿qué hay más natural que la proporción entre la longitud de una circunferencia y su radio?

¿Que hay más natural que considerar que por un punto externo a una línea sólo puede trazarse una paralela? Sin embargo, no es universalmente cierto.

Por la misma razón, si medimos con gran precisión la longitud de una circunferencia y su diametro, en el mundo real, encontraremos que el cociente no es exactamente $\pi$.

Saludos

[Weip]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

¿Que hay más natural que considerar que por un punto externo a una línea sólo puede trazarse una paralela? Sin embargo, no es universalmente cierto.

Por la misma razón, si medimos con gran precisión la longitud de una circunferencia y su diametro, en el mundo real, encontraremos que el cociente no es exactamente $\pi$.

Saludos

Totalmente de acuerdo, por eso creo que las matemáticas se inventan y por eso creo que no tienen porqué describir la física.

[gdonoso94]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

A mi lo que más impresionante me parece es que, por ejemplo en variable compleja, no necesitamos utilizar invenciones como un épsilon para justificar aproximaciones que hemos inventado (teorema de Taylor sin ir más lejos). No sé si me explico, a parte de inventarlas (que es mi opinión), hemos descubierto muchas cosas a raíz de estas sin tener que modificar radicalmente las matemáticas inventadas primeramente...

Es demasiado increíble como para cerrarse en que no representan la realidad, me parece que las matemáticas son una invención MUY bien hecha.

Un saludo.

[[Beto]]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Yo digo que se inventan, basta con tener un conjunto de postulados y a partir de ahí construir una teoría matemática, por ejemplo piensen en la geometría euclidiana, si le quitan el último postulado sale otro tipo de geometría.

Un saludo.

[javier m]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Voto a favor de que se descubren, porque "los matematicos no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos" (Poincaré), y estas relaciones existen independientemente de que le coloquemos un nombre a estos objetos, e independientemente de que estos objetos tengan alguna realidad física.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Bueno yo creo que primero se descubrieron, pero con el tiempo se ha inventado algo de ellas (las mates) can ayuda de muchas personas y hasta a veces se cae en excesos haciendo castillos en el aire por algunos matemáticos (aunque he de decir que no son todos)

Saludos
Jose

[Adrieg]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Primero. Pi es la relación entre la circunferencia y su diámetro, no su radio (a menos que sea dos veces su radio).
Segundo. Interesantes los planteamientos. Hay muchos chascarrillos que atribuyen a los matemáticos esos excesos a los que sin duda son candidatos (como el de las gallinas esféricas), pero creo que cada disciplina científica tiene esa tendencia "natural" al extremismo. Espero ahondar constructivamente en el debate si me sumo a él con la premisa de que el tema debe ser abordado desde un punto de vista de un sistema cerrado: nuestro universo. Para nosotros, al igual que las matemáticas, la física solo es -permítanme el término-, cognoscible estando inmersos en el Universo. Por lo que sé, sería muy difícil tomar distancia para apreciarlas como un observador externo. En eso radica la bondad de estas dos disciplinas y de muchas otras: a pesar de que nuestras conjeturas nacidas de ellas están moldeadas por nuestra presencia en el Universo del cual no podemos excluirnos (parecido al realismo dependiente del modelo que describe Hawkings), son valiosas en función a que permiten entender un poco cómo funcionan las cosas y permiten predecir algunos fenómenos que consideramos "verificables". Y, desde ese punto de vista, la física y las matemáticas son ambas abstracciones. Invención, sí. Nadie ha dicho que la ciencia sea "cierta". Son herramientas útiles (y a juicio de la mayoría) las mejores de que disponemos (por el momento) para estudiar la naturaleza. No es posible afirmar que las matemáticas son la única herramienta de la física, pero denostar el apoyo que le brindan sería sin duda una ceguera voluntaria flagrante. En otro hilo comentaba que al menos en México las áreas de estudio de "Humanidades" excluyen peligrosamente a las ciencias que llamamos puras. Yo, como Sagan, me pregunto si las mates no son una de las "humanidades" más formidables que hemos elaborado.

[aalbeiro89]

Re: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Yo soy de los que piensan que se Descubren.
Si bien es cierto que nosotros creamos los axiomas, que son la base de toda la matemática. Esos axiomas son una abstracción de la realidad...
o acaso, si junto un objeto con otro objeto... me darán 3 objetos, en la realidad???

Los pilares básicos de las matemáticas son de ese tipo...
ahora, que con el tiempo se hayan hecho construcciones erróneas que llevan a aparentes cuestiones contradictorias es otra cosa... como los que exponen algunos compañeros. Pero, considero, que los pilares básicos son abstracciones de la realidad y no inventos de nuestra mente (Sin querer entrar en el debate filosófico sobre la realidad, que no viene al caso).

Las matemáticas se basan en 1 + 1 = 2... un objeto mas otro son dos objetos.
Eso lo vemos cada día en la realidad y creo que no cambiaría si lo llevamos a otra galaxia.