¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

[carroza]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Hola.

Resumiendo:

1. Partimos del conjunto números racionales, que forman un cuerpo con el producto y con la suma.
Estos números no nos gustan, porque no tienen ningun simbolo que corresponda a nuestra idea intuitiva del infinito.

2. Si introducimos un nuevo símbolo en el conjunto, $\infty$, tal que $\infty+1=\infty$, entonces ese símbolo no tiene inverso con la suma, ya que si lo tuviera, tendriamos que $1=0$ lo cual es una contradicción. Si $\infty$ no tiene inverso con la suma, nos cargamos la propiedad de grupo para la suma, y por tanto la de cuerpo.

2. Si introducimos varios símbolos nuevos en el conjunto, $\infty_p$, tal que $\infty_p = \infty_0 + p$, duplicamos (o triplicamos) el conjunto de los racionales, podemos mantener la estructura de grupo para la suma, pero no podemos tomar la definición intuitiva de la inverso con el producto $\infty_0^{-1}=0$, porque en ese caso todos los $\infty_p$ tendrían el mismo inverso, con lo que llegaríamos a la contradicción de que $p=0$. Si los números no tienen invesro con el producto, nos cargamos la propiedad de cuerpo.

3. Si introducimos un simbolo para el infinito primario $\infty_0$, y otro para su inverso $\infty_0^{-1}$, podemos construir números retinianos. No obstante, el producto $\infty_0 \cdot \infty_0$, no forma parte del conjunto, con lo que, o renunciamos a que el conjunto de los retinianos tenga estructura de cuerpo, o tenemos que definir un nuevo conjunto infinito de símbolos $(\infty_0)^n$, para redefinir los retinianos.

Total, que el concepto de "infinito", no puede incluirse como un símbolo, o un número finito de símbolos, más en un conjunto de números, con estructura de cuerpo, que contenga a los números racionales. (PS: Os suena Godel?)

Saludos, y gracias a Reti por una discusión estimulante.

[reti]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Las gracias hay que dartelas a ti, "carroza", asi que ... gracias.

[reti]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

La verdad es que es una pena dejar la historia de los numeros retinianos aqui sin mas. Deja mal sabor de boca, sobre todo "su conjetura de existencia" del infinito primigenio que nos dice mas o menos donde "caen" esos numeros pero que no nos da ninguna informacion sobre su naturaleza. Tambien da la sensacion de que estos numeros son como un mundo aparte sin conexion, ecepto que estan ordenados, con el resto de los numeros ya conocidos.

Intentando solucionar esa falta de definion del infinito primigenio,${\infty}_{o }$ , he encontrado otra forma de definirlo que clarifica sobre manera su "naturaleza" y lo pone en pie de igualdad con los demas numeros. Mas o menos he llegado a la conclusion que se pueden crear dos estructuras de numeros paralelas:

-Los numeros reales tal como los conocesmos.
-Los numeors retinianos.

Y que la unica diferencia entre las dos estructuras es "el como" se defina una "insignificante expresion":

"...si se define de una manera da lugar a los numeros reales y si se define de otra manera da lugar a los numeros retinianos ..."

!!!Interesante!!! ... ¿no?




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Hecharle un vistazo a la siguiente definicion de los numeros naturales .... conocida por todos:

0=0
1=0+1 = 1
2 = 1+1
3=1+1+1
4=1+1+1+1
5=1+1+1+1+1
......
......
${\infty}_{ 0} = 1+1+1+1+1+ ...+ 1+ ...+ ....$
${\infty}_{0 }+1$
${\infty}_{ }+1+1$
${\infty}_{ 0}+1+1+1$
....
....
${{\infty}_{ 0}}^{2 }$
${{\infty}_{ 0}}^{2 }+1$
${{\infty}_{ 0}}^{2 }+1+1$
......
.....


He llegado a la siguiente conclusion:

"Si ${\infty}_{ 0} = 1+1+1+1+1+ ...+ 1+ ...+ ....$ es un numero entonces los numeros retinianos existen y los reales son un subconjunto de el, si no es un numero entonces son los numeros reales los que existen"

Que de una manera mas formal puede expresarse asi:

" si la serie dada por $\sum_{n = 1}^\infty 1= {\infty}_{ 0}$ existe entonces los numeros reales son un subconjunto de los numeros retinianos. Si no existe entonces existen los reales tal como los conocemos"

Que tambien se puede expresar de la siguiente manera:

" si la serie dada por $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n }=2-{{\infty}_{ 0}}^{-1 }$ entonces los retinianos existen y los reales son un subconjunto de ellos. Si la serie $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n }=2$ entonces solo existen los reales"

Todo depende de si una suma de infinitos terninos $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n }$ converge a un numero u a otro. Curioso ... ¿no?.