Factorial

[elfio]

Muy buenas:

No estoy del todo seguro que donde iría esta pregunta sobre factoriales.. pero bueno, si no va aquí por favor, muevanlo al lugar oportuno.

El caso es que tengo una duda en un ejercicio de límites, pero mi problema no es el límite en sí, sino los factoriales.

$\lim_{n\to \infty} = \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(2n)!}}$

Voy a poner solo el desarrollo de los factoriales porque me está costando un montón usar latex...xD

Yo lo que hago es esto:

$\frac{(3n)!}{(2n)!} =$

$=\frac{(3n)(3n-1)(3n-2)(3n-3)!)}{((2n)(2n-1)(2n-2)!}=$

$=\frac{(9n)(3n-1)(3n-2)}{(4n)(2n-1)}$

Entre estos dos es donde tengo la duda, ya que no se si puedo sacar un factor común de un factorial para que me quede tanto en el numerador como en el denominador $(n-1)!$ y quitar ya los factoriales...

$=\frac{(3n)(3n-1)(3n-2)3(n-1)!}{(2n)(2n-1)2(n-1)!}=$

$=\frac{(9n)(3n-1)(3n-2)(n-1)!}{(4n)(2n-1)(n-1)!}$

$=\frac{(9n)(3n-1)(3n-2)}{(4n)(2n-1)}$

Bueno, resolviendo el límite que puse al principio me da $\frac{81}{8}$

Obviamente lo he hecho sacando ese factor común, que realmente no se si me lo he inventado, porque no se si se puede hacer...


Gracias y saludos.

[Dj_jara]

Re: Factorial

$4! =24 \\ 2\cdot 2! = 4$

Yo en este caso lo que haría es usar el criterio de la raíz

$\lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$ (an >0 para todo n € N)

usando eso en tu límite

$\lim_{n\to \infty} \left( \frac{(3n)!}{n^n \cdot (2n)!} \right)^{1/n} =\lim_{n\to \infty} \frac{\left( \frac{(3n)!}{n^n \cdot (2n)!} \right)}{\left( \frac{(3n-3)!}{(n-1)^{n-1} \cdot (2n-2)!} \right)}$ y a partir de ahi simplificar.

[elfio]

Re: Factorial

Lo siento, pero no te entiendo...


EDITO:

Bueno, si que entiendo lo que pones, pero no me queda claro si puedo o no sacar un factor común...

[Dj_jara]

Re: Factorial

No puedes sacar factor común,

$(2n)! = 2n (2n-1) (2n-2)..(n)(n-1)(n-2).1\\2\cdot (n!) = 2 (n)(n-1)(n-2)...1$

[elfio]

Re: Factorial

$4! =24 \\ 2\cdot 2! = 4$

Yo en este caso lo que haría es usar el criterio de la raíz

$\lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$ (an >0 para todo n € N)

usando eso en tu límite

$\lim_{n\to \infty} \left( \frac{(3n)!}{n^n \cdot (2n)!} \right)^{1/n} =\lim_{n\to \infty} \frac{\left( \frac{(3n)!}{n^n \cdot (2n)!} \right)}{\left( \frac{(3n-3)!}{(n-1)^{n-1} \cdot (2n-2)!} \right)}$ y a partir de ahi simplificar.

Voy a ver si lo saco así. Gracias, ya te contaré

[pod]

Re: Factorial

También puedes intentar usar la aproximación de Stirling,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n! = \lim_{n\to\infty} \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^{\!n} \ .$

EDICIÓN: Si se utiliza, da 27/4e, que es exactamente lo que da mathematica

[Dj_jara]

Re: Factorial

a ver que tal esto (he hecho los cálculos a partir del código en latex con lo cual es probable que hayan errores)
$\frac{(3n)!}{(2n)!} = \frac{(3n)(3n-1)(3n-2)(3n-3).....1}{(2n)(2n-1)(2n-2)......1} = (3n)(3n-1)(3n-2)(3n-3).....(2n+1)=2\cdot 3^{n-1} n^n + a n^{n-1} + bn^{n-2}+......+3n=2\cdot 3^{n-1}n^n \left( 1+\frac{a}{2\cdot 3^{n-1}n} + \frac{b}{2\cdot 3^{n-1}n^2} + ....+\frac{3}{2\cdot 3^{n-1}n^{n-1}}\right)$

$<br /> \lim_{n\to\infty}\left( \frac{(3n)!}{n^n (2n)!}\right )^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left( 2\cdot 3^{n-1} \left(1+\frac{a}{2\cdot 3^{n-1}n} + \frac{b}{2\cdot 3^{n-1}n^2} + ....+\frac{3}{2\cdot 3^{n-1}n^{n-1}} \right)\right)^{1/n}$

[elfio]

Re: Factorial

Oju... me siento un poco cortito, pero es que aparte de que mis conocimientos sobre factoriales son bastante reducidos (lo cual estoy intentado remediar...) y que tampoco conozco la aproximación de Stirling ni el criterio de raíz...(aunque trato de seguirlo) veo lo que me dejáis y no se cómo seguirlo.

Con lo que me comento DJ_jara sobre el criterio de raíz, he llegado a otro punto donde me he tenido que parar, porque no se muy bien cómo seguir...

Tengo un producto notable elevado a la n-ésima potencia. Me supongo que se hará con el binomio de Newton pero se quedará con unos <.....> entre los que desarrolle y el último ¿¿no es así?? del tipo:


Aquí es donde empieza este problema:
$\lim_{n\to \infty} \frac{3n(9n^3 - 18n^2 + 11n - 2)}{2 n^{2n} (2n-1)(n-1)^n}$

Mi problema es el $(n-1)^n$

Supongo que será por el Binomio de Newton, que creo que está bien aplicado así:

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> n \\<br /> 0<br /> \end{matrix}<br /> \right) n^n + \left(<br /> \begin{matrix}<br /> n \\<br /> 1 <br /> \end{matrix}<br /> \right) n^ {n-1} + \left(<br /> \begin{matrix}<br /> n \\<br /> 2 <br /> \end{matrix}<br /> \right) n^ {n-2} +.......+1$

Con lo que sería más o menos:

$n^n + n^{n-1} + n^{n-2} +......+1$

¿No es así?

De ser así, si volviese para atrás, el límite era el siguiente, porque incluí un $(n-1)$ en el numerador que venía del $(n-1)^{n-1}$ que DJ_jara incluyó en una de sus respuestas.

El límite por lo tanto sería:

$\lim_{n\to \infty} \frac{3n(n-1)(9n^2 - 9n - 2)}{2 n^{2n} (2n-1)(n-1)^n}$



$\lim_{n\to \infty} \frac{3n(n-1)(9n^2 - 9n - 2)}{2 n^{2n} (2n-1)(n^n + n^{n-1} + n^{n-2} +......+1)}$

Uff que paranoia!!! Por favor ayudenme, que seguro que lo que he puesto aquí es una burrada...

[pod]

Re: Factorial

Pues para saber un poco sobre la aproximación de Stirling, visita la wiki En lo sucesivo obviaré el símbolo de límite por comodidad (o por vagancia ), pero ten en cuenta que esto de aquí solo vale dentro del limite:

$\displaystyle \frac1n \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(2n)!}} = \frac1n \sqrt[n]{ \sqrt{\frac{3n}{2n}} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n} \left(\frac{e}{2n}\right)^{2n} } = \frac1n \left(\frac32\right)^{1/2n}\left(\frac{3n}{e}\right)^{3} \left(\frac{e}{2n}\right)^{2}$

Con esto ya deberías tener fácil acabar

[elfio]

Re: Factorial

Le he echado un vistazo a la Wikipedia, pero no termino de ver el $\sqrt{2\pi}$


¡¡¡Pero por lo demás ya fui capaz de resolver el ejercicio!!!

Muchas gracias a todos por ayudarme.

[pod]

Re: Factorial

Le he echado un vistazo a la Wikipedia, pero no termino de ver el $\sqrt{2\pi}$


¡¡¡Pero por lo demás ya fui capaz de resolver el ejercicio!!!

Muchas gracias a todos por ayudarme.

Es una fórmula más bien complicada de demostrar

[elfio]

Re: Factorial

Yo me refería a que en el ejercicio no veo la raíz de 2pi. Las demostraciones... la verdad, no me gustan nada de nada

[pod]

Re: Factorial

Yo me refería a que en el ejercicio no veo la raíz de 2pi. Las demostraciones... la verdad, no me gustan nada de nada

Ah... el $2\pi$ se cancela, ya que aparece tanto en el numerador como en el denominador.