1r ciclo Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

[alfred_oh]

Buenas a todos!


Tengo la siguiente serie de potencias pero no se como se llega al resultado que me pone 2/9 pues sólo pone puntos suspensivos en vez de la explicación. He intentado hacerla planteandomela como una serie geométrica pero por ese maldito j no me sale =S. Me podrían echar una mano porfa. Gracias =)

[pod]

Re: Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

Por favor, usa el sistema integrado en el foro para introducir ecuaciones, no uses imágenes externas.

Una de las formas típicas de hacerlo es substituir la serie por

$$\frac12 \sum_{j=1} (j-1) a^{j-1} .$$

Obviamente, al final querremos hacer a = 1/4. Ahora, nos damos cuenta de que

$$\frac{\dd}{\dd a} a^{j-1} = (j -1) a^{j - 2} = \frac1 a (j-1) a^{j-1} ,$$

de donde tenemos

$$(j-1) a^{j-1} =a \frac{\dd}{\dd a} a^{j-1} .$$

Ahora, metemos todo esto en el sumatorio, suponiendo que podemos intercambiar el orden del sumatorio y la derivada (esto hay que demostrarlo, para ser estrictos; seguramente habrás estudiado los criterios para poder hacerlo),

$$\frac12 \sum_{j=1} (j-1) a^{j-1} = \frac a 2 \frac{\dd}{\dd a} \sum_{j=1} a^{j-1}.$$

Ahora podemos hacer un cambio de índice, n = j - 1. Para saber los nuevos límites del sumatorio, simplemente miramos que pasa: cuando j = 1, nos da n = 0. Y cuando j es infinito, n también lo es. Por lo tanto,

$$\frac12 \sum_{j=1} (j-1) a^{j-1} = \frac a 2 \frac{\dd}{\dd a} \sum_{n=0} a^{n}.$$

Esa serie es conocida (la serie geométrica). Supongo que a a prtir de aquí no tendrás muchas dificultades para terminar.

[alfred_oh]

Re: Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

Genial Muchas gracias! Ya me sale =) ¿Me podrías decir como se llama ese método de resolución porfa? Gracias!

[pod]

Re: Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

Genial Muchas gracias! Ya me sale =) ¿Me podrías decir como se llama ese método de resolución porfa? Gracias!

Esto.... ¿derivar? ¿Masajear el problema hasta que se parezca a otro que sé hacer?

No sé si tiene nombre propio... sólo es un truquillo que uno tiene que tener en su repetorio. A veces se hace más sencillo derivando, otras integrando, etc.

[alfred_oh]

Re: Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

Ok, gracias

[[Beto]]

Re: Suma de serie de potencias: No entiendo como se llega esta solución

Otra forma, sin recurrir al cálculo diferencial, es la siguiente:

$$E=\frac12 \sum_{j=1} (j-1) \left(\frac{1}{4}\right)^{j-1}=\frac{1}{2}\sum_{j=2}(j-1)\left(\frac{1}{4}\right)^{j-1}=\{j-1=i\}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}i\left(\frac{1}{4}\right)^i$$

una vez que se tiene eso se puede multiplicar a ambos lados por 4, resultando

$$<br /> \begin{aligned}<br /> 4E&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}i\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}\\<br /> &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}(i-1+1)\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}\\<br /> &=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}(i-1)\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}+\sum_{i=1}\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}\right]\\<br /> &=\underbrace{\frac{1}{2}\sum_{i=1}(i-1)\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}}_{E}+\frac{1}{8}\sum_{i=1}\left(\frac{1}{4}\right)^{i-1}\\<br /> 3E&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}~~~~~~~\text{haciendo el cambio }n=i-1\\<br /> \Rightarrow E&=\frac{1}{6}\underbrace{\sum_{n=0}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}_{\dfrac{4}{3}}\\<br /> \Rightarrow E&=\frac{2}{9}<br /> \end{aligned}<br />$$