1r ciclo Encontrar las raíces de un polinomio

[cj2747]

Encontrar las raíces del polinomio: $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{2!}-\frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+ ... +(-1)^n\frac{x(x-1)\cdot\cdot\cdot(x-n+1)}{n!}$

Bueno, pues he tratado de hallar las raíces y me he dado cuenta que son $1, 2, 3,..., n$ pero no hallo cómo demostrarlo de una manera estricta. ¿Alguien me podrá ayudar por favor?

[jinawee]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

¿Inducción?

[teclado]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

¿Seguro que son esas las raíces? ¿Has tenido en cuenta el primer 1? Yo empezaría sacando factores comunes, primero la x y luego (x-1), (x-2), etc. y dejándolo como un producto.

[cj2747]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

No lo creo, puesto que las raíces sólo son $1,2,3,...,n$ pero $n+k$ con $k \in\mathbb{Z}$ mayor o igual que $1$ no es raíz.

- - - Actualizado - - -

Estoy seguro, experimenté factorizando primero $x-1$, luego $x-2$, $x-3$ y pues llegué a la conclusión (claro, sin demostrarlo como tal) que las raíces son $1, 2, 3, ..., n$.

[carroza]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

Hola.

Sale facil de la forma siguiente:

1) Define el polinomio P_i ( de Grado i < n), como la suma de los i+1 primeros términos de tu polinomio

Por ejemplo: P_1 = 1 - x/1; P_2 = 1 - x/1 + x(x-1)/2! .

2) Describe tu polinomio general, de grado n, como P = P_i + Q_i, donde Q_i es el resto de los sumandos. Ahora date cuenta que
Q_i es divisible por (x-i). Por tanto, basta con demostrar que P_i es divisible por x-i.

3) Sustituye el valor x=i en P_i, y ahora recuerda lo que sabes de números combinatorios, y del binomio de Newton.

No te digo más.

Un saludo

[jinawee]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

Por inducción me refería a demostrar que para el polinomio de grado n+1, las soluciones serían 1,2,...,n+1 (supuesto que las raíces del polinomio de grado n son 1,2,...,n).

[cj2747]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

Hola.

Sale facil de la forma siguiente:

1) Define el polinomio P_i ( de Grado i < n), como la suma de los i+1 primeros términos de tu polinomio

Por ejemplo: P_1 = 1 - x/1; P_2 = 1 - x/1 + x(x-1)/2! .

2) Describe tu polinomio general, de grado n, como P = P_i + Q_i, donde Q_i es el resto de los sumandos. Ahora date cuenta que
Q_i es divisible por (x-i). Por tanto, basta con demostrar que P_i es divisible por x-i.

3) Sustituye el valor x=i en P_i, y ahora recuerda lo que sabes de números combinatorios, y del binomio de Newton.

No te digo más.

Un saludo

Gracias carroza, pero pues eso es lo que he estado haciendo hasta ahora, pero sólo podría demostrar directamente que $x-i$ divide a $P_i$ para los primeros términos, pero cómo demostrarlo estrictamente para los demás, por ejemplo, podría demostrar esto directamente para $i=10$ pero para cierto $i$ arbitrario?, espero entiendas a qué me refiero. A menos que viendo el comportamiento de los primeros términos y utilizando eso se considere algo válido en una demostración.

[Weip]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

Gracias carroza, pero pues eso es lo que he estado haciendo hasta ahora, pero sólo podría demostrar directamente que $x-i$ divide a $P_i$ para los primeros términos, pero cómo demostrarlo estrictamente para los demás, por ejemplo, podría demostrar esto directamente para $i=10$ pero para cierto $i$ arbitrario?, espero entiendas a qué me refiero. A menos que viendo el comportamiento de los primeros términos y utilizando eso se considere algo válido en una demostración.

Lo que te dice carroza no son casos concretos, es como se ha de hacer para cualquier $i$. Lo que tienes que hacer es ponerlo todo rigurosamente y acabar la faena.

[cj2747]

Re: Encontrar las raíces de un polinomio

Si vemos el polinomio de la siguiente manera:

$f(x) = (-1)^0\binom{x}{0}+(-1)^1\binom{x}{1}+...+(-1)^n\binom{x}{n} = 0$

Luego, si $x\leqslant n$, tenemos que:

$(-1)^0\binom{x}{0}+(-1)^1\binom{x}{1}+...+(-1)^x\binom{x}{x}=0$

Además, por el Teorema del binomio:

$(1+(-1))^x=(-1)^0\binom{x}{0}+(-1)^1\binom{x}{1}+...+(-1)^x\binom{x}{x}=0$

Pero esto vale para $x=1, 2, 3, ..., n$, entonces hemos encontrado "n" raíces de un polinomio de grado "n", por lo tanto las raíces de $f(x) = 0$ son $1, 2, 3, ..., n$.