Divulgación Extender cálculo de logaritmos y exponenciales al ámbito complejo

[alexpglez]

Hola, esto no lo he visto escrito por ningún lado, me gustaría que si podéis me revisarais si sería así:
Por la fórmula de Euler, podemos escribir un número complejo como:

$$Z=x + i y= Re^{i \theta}=R(\cos \theta + i \sin \theta )$$

$$R=\sqrt{Z^{\ast}Z}=\sqrt{x^2+y^2}$$

$$\theta=\arctan \frac{y}{x}$$

Realizando el logaritmo neperiano:

$$\ln Z= \ln (x+iy)=\ln(Re^{i \theta})=\ln R + i \theta=\ln (\sqrt{x^2+y^2}) + i \arctan \frac{y}{x}$$

Entonces para uno en cualquier base:

$$\log_{a} Z=\frac{\ln Z}{\ln a}= \frac{\ln (x+iy)}{\ln a}=\frac{\ln (\sqrt{x^2+y^2}) + i \arctan \frac{y}{x}}{\ln a}=\log_{a} (\sqrt{x^2+y^2}) + i \frac{\arctan \frac{y}{x}}{\ln a}$$

Es decir:

$$\log_{a} Z=\log_{a} (\vert Z \vert) + i \frac{\arctan \frac{\Im Z}{\Re Z}}{\ln a}$$

$$\ln Z=\ln (\vert Z \vert) + i \arctan \frac{\Im Z}{\Re Z}$$

Pudiéndose sacar:

$$\ln 1=0$$

$$\ln i = i\frac{\pi}{2}$$

$$\ln (-1) = i \pi$$

$$\ln (-i) = i\frac{3 \pi}{2}$$

Y supongo que sobre las exponenciales, cambiando a una base real por:

$$a^b=e^{b \ln a}$$

Así por ejemplo:

$$(-1)^x=e^{i\pi x}$$

$$(-e)^x=e^{x(1+i\pi)}=e^x e^{i\pi x}$$

$$i^x=e^{i\frac{\pi}{2}x}$$

$$i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}$$

Está bien hasta aquí¿?

Y, para coger todas las soluciones en la exponencial¿?
Me refiero, para hacer una raíz n de un número complejo dado en forma polar:

$$\sqrt[n]{Re^{i \theta}}=\sqrt[n]{R}e^{i\frac{\theta + 2 \pi k}{n}} \; \;\;\;\; k=0,1,2,3... n-1$$

Cómo se escribiría esto para una función exponencial cualquiera¿?, $e^x$ por ejemplo:
Es decir: $x=0.5$ la función $e^{0.5}= \pm \sqrt{e}$, o $x=0.25$, $e^{0.25}=\pm \sqrt[4]{e}, \; \pm i \sqrt[4]{e}$, pero para un x general para escribir las distintas soluciones como un parámetro k en la función¿?

Un saludo.

[teclado]

Re: Extender cálculo de logaritmos y exponenciales al ámbito complejo

No se si entiendo tu pregunta, pero el logaritmo también es una función multivaluada.

$\log_az=\log_a|z|+i\frac{\theta+2\pi n}{\ln a}\qquad n=0,1,2,...$

Que alguien me corrija, pero con el arco tangente no lo arreglas, pues aunque también es multivaluada ($\arctan x=\theta+\pi n\qquad n=0,1,2,...$), la tangente se repite cada $\pi$ radianes, no cada $2\pi$ como la exponenciación.

- - - Actualizado - - -

Perdona, acabo de releerte, creo que lo que buscas es algo como esto:

$\dst e^x = e^{x}e^{2\pi kxi},\qquad 0\le k< \frac{1}{x}$

Sin embargo, creo que no es estrictamente cierto que esto sea así. Una cosa es una raíz cuadrada y otra una exponenciación. Aunque son iguales en módulo la primera es multivaluada, la segunda no (no se escribiría $e^{0.5}=\pm\sqrt{e}$, si no en todo caso $\sqrt{e}=\pm e^{0.5}$).

[Weip]

Re: Extender cálculo de logaritmos y exponenciales al ámbito complejo

esto no lo he visto escrito por ningún lado

Aporto link.

Tu procedimiento está bien, te las sabes apañar. Eso sí, cuidado porque a veces generalizar estas cosas puede llegar a ser muy delicado y con estos procedimientos te dejas la mitad de las matemáticas por el camino. Solo unos comentarios:

Cómo se escribiría esto para una función exponencial cualquiera¿?, $e^x$ por ejemplo:
Es decir: $x=0.5$ la función $e^{0.5}= \pm \sqrt{e}$, o $x=0.25$, $e^{0.25}=\pm \sqrt[4]{e}, \; \pm i \sqrt[4]{e}$, pero para un x general para escribir las distintas soluciones como un parámetro k en la función¿?

Un saludo.

Con las potencias hay que ir con cuidado porque a veces hay propiedades de los reales que en los complejos no son ciertas. Este no es el caso porque la base es real, pero te aviso porque todo el mundo falla en esto. Y es normal porque en realidad es rebuscado desde el punto de vista del estudiante.

Finalmente, lo que buscas diría que es esto:

$e^z=e^{z+2 \pi k i}$

Con $z \in \mathbb{C}$ y $k \in \mathbb{Z}$.

Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Extender cálculo de logaritmos y exponenciales al ámbito complejo

$e^z=e^{z+2 \pi k i}$

No sé, no te faltaría el z multiplicando a 2 pi k i¿?
Bueno, mejor investigo y mañana pregunto detenidamente esto último.
Es verdad que no queda bien expresado el ángulo mediante la función arcotangente, mejor la notación de argumento simplemente. Entonces hay varias soluciones posibles¿?

$$ln(-i)=-i\frac{5 \pi}{2}, \; -i\frac{\pi}{2}, \; i\frac{3 \pi}{2}, \; i\frac{7 \pi}{2}$$

Y sobre la propiedad:

$$a^x=e^{x \ln a}$$

Sigue siendo verdad¿? Es que me di cuenta que:

$$(-1)^2=1$$

$$\ln [(-1)^2]=\ln 1=0$$

$$\ln [(-1)^2]=2 \ln (-1)=i2\pi$$

$$i2\pi \neq 0$$

Qué propiedades totalmente válidas para reales no se pueden dar aquí¿? Evidentemente he llegado a una contradicción al final aplicando las normas de logaritmos que sé, i2 \pi no es 0.

Un saludo y gracias otra vez

[Weip]

Re: Extender cálculo de logaritmos y exponenciales al ámbito complejo

No sé, no te faltaría el z multiplicando a 2 pi k i¿?

No. ¿Porqué crees eso? En el link de la wikipedia se afirma lo mismo. Diría que está bien, si mi memoria no falla.

Lo de las propiedades, a esto me refería con que las generalizaciones son delicadas. El problema es que mezclas argumentos principales (los que están entre $-\pi$ y $\pi$, este último incluido) con otros argumentos y luego sacas el logaritmo, con lo que el resultado sale distinto. Usa siempre argumentos principales y no saldrán contradicciones. Tu cíñete a las definiciones y olvídate de los "prejuicios" que tienes de los reales.

En la wikipedia se explica muy bien y te dan un ejemplo parecido al que has puesto, en el apartado "definición del valor principal".