Secundaria ¿Cómo se hace esto?

[Visitante]

¿cómo se hace para racionalizar y simplificar: $\dst\frac{b}{ a-\sqrt[n]{b}}$?

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

No veo que esta expresión se pueda simplificar. La resta del denominador "molesta" mucho. Solo se me ocurren cosas para complicarla más todavía.

Saludos.

[Visitante]

Re: ¿Cómo se hace esto?

¿Y racionalizar? Es que mi profesor no me para de decir que sí se puede.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

¿Y racionalizar? Es que mi profesor no me para de decir que sí se puede.

"racionalizar" es multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador. Eso tiene sentido cuando la raíz es cuadrada, porque suma por diferencia es diferencia de cuadrados y los cuadrados anulan las raíces simplificando la expresión.
Pero en tu caso la raíz es "enésima" no cuadrada, luego no desaparecerá elevando al cuadrado, ni se simplificará, ni nada. Prueba si quieres, solo tienes que multiplicar numerador y denominador por

$a+\sqrt[n]{b}$

pero verás como no se simplifica nada.
Saludos.

[Visitante]

Re: ¿Cómo se hace esto?

"racionalizar" es multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador. Eso tiene sentido cuando la raíz es cuadrada, porque suma por diferencia es diferencia de cuadrados y los cuadrados anulan las raíces simplificando la expresión.
Pero en tu caso la raíz es "enésima" no cuadrada, luego no desaparecerá elevando al cuadrado, ni se simplificará, ni nada. Prueba si quieres, solo tienes que multiplicar numerador y denominador por
$a+\sqrt[n]{b}$


pero verás como no se simplifica nada.
Saludos.

Ya lo he intentado muchas veces y no me sale, por eso pregunto aquí.

Pd: ¿Racionalizar no era eliminar del denominador los radicales?

- - - Actualizado - - -

"racionalizar" es multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador. Eso tiene sentido cuando la raíz es cuadrada, porque suma por diferencia es diferencia de cuadrados y los cuadrados anulan las raíces simplificando la expresión.
Pero en tu caso la raíz es "enésima" no cuadrada, luego no desaparecerá elevando al cuadrado, ni se simplificará, ni nada. Prueba si quieres, solo tienes que multiplicar numerador y denominador por
$a+\sqrt[n]{b}$


pero verás como no se simplifica nada.
Saludos.

Ya lo he intentado muchas veces y no me sale, por eso pregunto aquí.

Pd: ¿Racionalizar no era eliminar del denominador los radicales?

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Ya lo he intentado muchas veces y no me sale, por eso pregunto aquí.

¿Tienes la solución? ¿Qué es lo que no te sale? Pon el desarrollo completo a ver si entre todos lo sacamos.

Pd: ¿Racionalizar no era eliminar del denominador los radicales?

Es exactamente lo que te ha explicado Alriga. Tal como dices normalmente el denominador se simplifica y no queda ninguna raíz (para eso sirve la racionalización), pero en tu caso parece ser que no pasa. ¿Seguro que la raíz es n-ésima? No he hecho los cálculos pero creo que si racionalizas n veces sale. Pruébalo a ver.

Edito:

$\dst\frac{b}{\left( a-\dst\sqrt[n]{b} \right)}\dst\frac{a+\dst\sqrt[n]{b}}{\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}=\dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2}}=<br /> \dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{\left(a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}\dst\frac{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2}\right)}{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Seguramente me haya equivocado en algún sitio pero esta sería la idea para $n$ par (te dejo a ti que la completes y a ver si es buena o no).

Edito: El último paso está mal pero no sé cómo ponerlo jajaja. Ahora creo que ya está, pero repásalo.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Malevolex, a veces preguntas pero después parece que no lees las respuestas con la suficiente calma y reflexión, (recuerdo que ya me dió esa impresión en tus preguntas sobre los infinitésimos, De buen rollo, parece que vayas excesivamente acelerado)
Por ejemplo, ahora aquí preguntas:

Pd: ¿Racionalizar no era eliminar del denominador los radicales?

Y en tu propia pregunta anexas mi comentario que dice:

"racionalizar" es multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador. Eso tiene sentido cuando la raíz es cuadrada, porque suma por diferencia es diferencia de cuadrados y los cuadrados anulan las raíces simplificando la expresión.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Mediante un sencillo cambio de variable se racionaliza fácilmente:

$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$


No me lo digáis, ya lo se, ya lo se, ji, ji, ji

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Mediante un sencillo cambio de variable se racionaliza fácilmente:
$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$

¡Claro! y si haces el cambio de variable $\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=t$ toda la expresión queda reducida a "t", con lo cual es todavía más sencillo,

[IsaacDL]

Re: ¿Cómo se hace esto?

La solución de Jabato me ha dejado perplejo jajaja
Yo he encontrado la siguiente igualdad:

$\dst\frac{1}{ a\sqrt[n]{x} - b\sqrt[n]{y}}$ = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo siento, no soy capaz de hacer el salto de linea, lo de después de la flechita es lo de dentro de sumatorio.
Un saludo.

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se hace esto?

¿Tienes la solución? ¿Qué es lo que no te sale? Pon el desarrollo completo a ver si entre todos lo sacamos.



Es exactamente lo que te ha explicado Alriga. Tal como dices normalmente el denominador se simplifica y no queda ninguna raíz (para eso sirve la racionalización), pero en tu caso parece ser que no pasa. ¿Seguro que la raíz es n-ésima? No he hecho los cálculos pero creo que si racionalizas n veces sale. Pruébalo a ver.

Edito:

$\dst\frac{b}{\left( a-\dst\sqrt[n]{b} \right)}\dst\frac{a+\dst\sqrt[n]{b}}{\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}=\dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2}}=<br /> \dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{\left(a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}\dst\frac{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2}\right)}{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Seguramente me haya equivocado en algún sitio pero esta sería la idea para $n$ par (te dejo a ti que la completes y a ver si es buena o no).

Edito: El último paso está mal pero no sé cómo ponerlo jajaja. Ahora creo que ya está, pero repásalo.

Si te das cuenta las multiplicaciones sucesivas te llevan:

$$b(a+\sqrt[n]{b})(a^2+\sqrt[n]{b^2})(a^4+\sqrt[n]{b^4})(a^8+\sqrt[n]{b^8})... (a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Y creo que esta vez he generalizado bien el último término, en el denominador quedará $a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}}=a^n-b$ Por tanto $2^{k+1}=n \;\;\; k=\log_2 (n) -1$, entonces:

$$\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{b}{a^n - b}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Por este método, no sólo n debe de ser par, si no potencia de 2, y repasar mis cálculos porque, qué se yo.

PD: bueno, éstos serían los cálculos directos, aunque formalmente sería más tedioso de demostrar. Si alguien quiere que se anime.

Aunque me gusta más el método de Jabato

[Richard R Richard]

Re: ¿Cómo se hace esto?

siguiendo la gran jabato

$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$

hago la gran Richard

$x=a - t \qquad\to\qquad\ t=a-x$



entonces $\dst\frac{b}{ a-\sqrt[n]{b}}=\dfrac{(a-x)^n}{x}$

$\forall a\neq\sqrt[n]{b}$

$\forall x\neq 0$

o sea $x= a- \sqrt[n]{b}$

queda bonita... sin llegar a ser solo $t$

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Si te das cuenta las multiplicaciones sucesivas te llevan:

$$b(a+\sqrt[n]{b})(a^2+\sqrt[n]{b^2})(a^4+\sqrt[n]{b^4})(a^8+\sqrt[n]{b^8})... (a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Y creo que esta vez he generalizado bien el último término, en el denominador quedará $a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}}=a^n-b$ Por tanto $2^{k+1}=n \;\;\; k=\log_2 (n) -1$, entonces:

$$\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{b}{a^n - b}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Ahí está, muchas gracias, ya sabes que yo para cálculos mentales como que no. Y sí, en realidad $n$ ha de ser potencia de dos. Lo que no sé es qué hacer si la $n$ no es potencia de dos porque entonces sí que sí quedan raíces en el denominador por mucho que racionalicemos. Malevolex va a primero de bachillerato ¿no? porque lo veo chungo para ese nivel.

PD: bueno, éstos serían los cálculos directos, aunque formalmente sería más tedioso de demostrar. Si alguien quiere que se anime.

Este tipo de enunciados son los que se hacen por inducción, pero no parece fácil. Bueno imagino que a Malevolex no le exigen tanto y a mí me da palo, suerte si alguien lo intenta.

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se hace esto?

La solución de Jabato me ha dejado perplejo jajaja
Yo he encontrado la siguiente igualdad:

$\dst\frac{1}{ a\sqrt[n]{x} - b\sqrt[n]{y}}$ = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo siento, no soy capaz de hacer el salto de linea, lo de después de la flechita es lo de dentro de sumatorio.
Un saludo.

Creo que está mal, pero igual me equivoco, podrías exponerlo¿?
He probado a sustituir esto en mi fórmula:

$$\frac{1}{a\sqrt[n]{x}-b\sqrt[n]{y}}=\frac{1}{a^n x- b^n y}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k} \sqrt[n]{y^{2^k}}+b^{2^k} \sqrt[n]{y^{2^k}})$$

A mi parecer podría generalizarse a un caso más general donde sea $a\sqrt[n]{x}+b\sqrt[q]{y}$ donde n y q sean dos potencias de 2. De todas formas para llegar a la fórmula para este problema, creo que se puede resolver primero para un caso sencillo como el que empezó Weip ya que la fórmula es similar.

Este tipo de enunciados son los que se hacen por inducción, pero no parece fácil. Bueno imagino que a Malevolex no le exigen tanto y a mí me da palo, suerte si alguien lo intenta.

Tú eres el genio aquí de demostraciones por inducción xD, si ayudas lo podemos sacar entre todos. Yo aporto mi granito de arena:
Creo que podemos empezar por la siguiente identidad:

$$(a^{2^k}-\sqrt[n]{b^{2^k}})(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})=(a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}})$$

A mi ahora se me ocurre reescribirlo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y ahora multiplicar otra vez:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Es decir:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Por lo que pensamos que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Que con k=0, y escogiendo p=log_2 n se reduce a la fórmula de racionalización.
Y ahora, voy a aplicar lo que sé de inducción:
Para p=1, nos provoca la identidad de la que partíamos:

$$(a^{2^k}-\sqrt[n]{b^{2^k}})(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})=(a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}})$$

Para p=p es lo que tenemos que demostrar. Para p=p+1:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] En el primer paso por las propiedades del sumatorio y por la identidad primera de la que partíamos, y en el segundo paso dividir a ambos lados. Obtenemos así la fórmula para p=p.
Y este sería el método de inducción.
Ahora arreglamos la fórmula como dije, k=0:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] p=log_2 n:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y ahora para la fórmula general que indicaba:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y ahora falta demostrar que n es una potencia de 2, y q es una potencia de 2 menor, el resultado es un número entero, potencia de 2:

$$\frac{n}{q}=\frac{2^p}{2^{p-l}}=2^l$$

Y creo que ya. ¿?
Sólo falta la condición:

$$\log_2 n, \; \log_2 q \in \mathbb{N} \;\;\;\; q \leqslant n \;\;\;\; n \geqslant 2$$

PD: esto merecía estar en problemas de ingenio

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Para Malevolex: Esto que estamos hablando no lo necesitas para el ejercicio. Dar la fórmula que te he explicado más arriba (con los cambios en el último término que ha dicho alexpglez) basta.

Para alexpglez: Has de mejorar las explicaciones. La lectura se dificulta mucho si pones un tocho de cálculos. Antes de todo has de escribir el enunciado que quieres demostrar, que se vea bien cuáles son las hipótesis y cuáles las conclusiones. También antes de empezar has de indicar a qué conjunto pertenecen $n$, $p$, $k$... con tanto índice no se entienden por el contexto.

Para p=p es lo que tenemos que demostrar. Para p=p+1:

No, para $p$ lo supones demostrado y has de demostrar el enunciado para $p+1$. Por cierto cuidado con esas igualdades. Si quieres cambia de letra, pero cosas como $p=p$ y $p=p+1$ aunque se entienden, son incorrectas en este contexto. A partir de aquí lo has hecho al revés, pero bueno, se corrige fácilmente. Dejando esto aparte la demostración está bien. Al final no me has dejado nada xD.

Y ahora falta demostrar que n es una potencia de 2, y q es una potencia de 2 menor, el resultado es un número entero, potencia de 2:

Son hipótesis, así que ya está. Sino el enunciado carecería de sentido.