¿Cómo se hace esto?

[arivasm]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Me gustaría saber cuál es ese álgebra tan superior que menciona, pues yo también pensé el ejercicio y llegué a lo mismo que llegaron aquí para el caso de potencias de 2. Si es tan tan superior, no solo no entiendo como lo puso en un examen, sino que no entiendo cómo no fue ni tan siquiera capaz de explicaros cómo se resolvía.

Seré malo: la explicación del comportamiento del colega quizá sea más sencilla y se llama "sostenella y no enmendalla". Seguramente se equivocó y lo que quería poner era una simple raíz cuadrada, o peor aún, se equivocó simplemente por no darse cuenta de que si no es una raíz cuadrada la cosa no es tan simple y sólo es resoluble si el radical es par, etc. Lo que pasa es que al ser en un examen es jorobado decir eso de "lo siento mucho, no volverá a suceder" (algo que, por cierto, en realidad hace grande al profesor, pero no todos lo comprenden...). Al ser preguntado por nuestro amigo Malevolex le cuesta aún más reconocer la metedura de pata y entonces se inventa eso de "es algo que yo me sé pero que vosotros no seríais capaces de comprender".

Tengo una curiosidad (malsana): ¿es un centro público o privado? Lo digo por dos razones: me llama la atención lo "elevado" del nivel (vender prestigio) y la tozudez en reconocer un "metí la pata" (conserva prestigio).

[angel relativamente]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Perdón por no responder antes, estaba liado con exámenes.

La solución, me dijo el profe, que se obtiene con ákgebra muy muy superior y que se pasó al ponerlo en el examen.

Me gustaría saber cuál es ese álgebra tan superior que menciona, pues yo también pensé el ejercicio y llegué a lo mismo que llegaron aquí para el caso de potencias de 2. Si es tan tan superior, no solo no entiendo como lo puso en un examen, sino que no entiendo cómo no fue ni tan siquiera capaz de explicaros cómo se resolvía.

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

La solución, me dijo el profe, que se obtiene con ákgebra muy muy superior y que se pasó al ponerlo en el examen.

Ostras pues que te salga esto en un examen es mucho. No sé cómo tu profesor no sé dio cuenta antes de que el ejercicio era demasiado complicado. Bueno, al menos quédate con la idea de que si racionalizas $n$ veces (siendo $n$ potencia de dos), sale. Así si ves algo parecido con una raíz cuadrada o cuarta, ya sabrás qué hacer (que eso sí es del nivel adecuado).

Re: ¿Cómo se hace esto?

Perdón por no responder antes, estaba liado con exámenes.

La solución, me dijo el profe, que se obtiene con ákgebra muy muy superior y que se pasó al ponerlo en el examen.

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

debería ponerlo oculto (no sé si hay alguna opción o sólo es en problemas de ingenio).

Hay que ponerlo a mano porque no hay icono: [ solucion][/solucion] (sin el espacio).

Y no sé, creí que era equivalente partir de p+1 para p que de p para p+1

Es un error muy común. Si quieres invertir la implicación hay que usar la negación: la propiedad no se cumple para p+1 -> la propiedad no se cumple para p. Simbólicamente $(A \Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$, es decir, A implica B es equivalente a decir que no B implica no A. Este "cambio" en la afirmación (en realidad es equivalente al anterior enunciado) da lugar a las demostraciones por contrarecíproco. En todo caso A implica B es diferente a B implica A.

Yo no encuentro expresión para poder racionalizar cuando no se cumplen esas condiciones

Yo tampoco, habrá que dejarlo así. Me entra curiosidad de saber cómo lo resolverá el profesor de Malevolex.

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Para alexpglez: Has de mejorar las explicaciones. La lectura se dificulta mucho si pones un tocho de cálculos. Antes de todo has de escribir el enunciado que quieres demostrar, que se vea bien cuáles son las hipótesis y cuáles las conclusiones. Para el lector no está claro. También antes de empezar has de indicar a qué conjunto pertenecen $n$, $p$, $k$...


No, para $p$ lo supones demostrado y has de demostrar el enunciado para $p+1$. Por cierto cuidado con esas igualdades. Si quieres cambia de letra, pero cosas como $p=p$ y $p=p+1$ aunque se entienden, son incorrectas en este contexto. A partir de aquí lo has hecho al revés, pero bueno, se corrige fácilmente. Buena demostración. Al final no me has dejado nada xD.

Lo siento, es que pensaba que no lo iba a poder terminar, y me olvidé, debería ponerlo oculto (no sé si hay alguna opción o sólo es en problemas de ingenio).
Sobre p=p o p=p+1, lo hice deprisa y debería haber escrito p -> p +1, o simplemente para p+1.
Y no sé, creí que era equivalente partir de p+1 para p que de p para p+1, también empecé por ahí porque me resultó más sencillo, supongo que debo estudiar lógica formal en relación con las matemáticas para ver una demostración clara del método de inducción, lo más parecido que vimos en filosofía era suponer que algo es verdadero y llegar a una contradicción para demostrar que es falso...
Si cierto, pero quise exponer primero los cálculos que me llevaban a sospechar de la fórmula, inducir la fórmula, y llegar de la fórmula a la expresión para la racionalización de Malevolex y la otra más general. No supe simplificar más.. xD

Son hipótesis, así que ya está. Sino el enunciado carecería de sentido.

Yo no encuentro expresión para poder racionalizar cuando no se cumplen esas condiciones (bueno, si q es mayor que n, simplemente se "invierte" la resta y ya), aún así me expresé mal, quería escribir "siendo n potencia de 2..." la división es ésta y no quedan raíces en el denominador.

Creo que no puede existir fórmula de racionalización si no se dan esas condiciones..
Por tanto, la fórmula final es la que puse en mi anterior mensaje, o sea la de Weip corrigiendo el último término.

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Para Malevolex: Esto que estamos hablando no lo necesitas para el ejercicio. Dar la fórmula que te he explicado más arriba (con los cambios en el último término que ha dicho alexpglez) basta.

Para alexpglez: Has de mejorar las explicaciones. La lectura se dificulta mucho si pones un tocho de cálculos. Antes de todo has de escribir el enunciado que quieres demostrar, que se vea bien cuáles son las hipótesis y cuáles las conclusiones. También antes de empezar has de indicar a qué conjunto pertenecen $n$, $p$, $k$... con tanto índice no se entienden por el contexto.

Para p=p es lo que tenemos que demostrar. Para p=p+1:

No, para $p$ lo supones demostrado y has de demostrar el enunciado para $p+1$. Por cierto cuidado con esas igualdades. Si quieres cambia de letra, pero cosas como $p=p$ y $p=p+1$ aunque se entienden, son incorrectas en este contexto. A partir de aquí lo has hecho al revés, pero bueno, se corrige fácilmente. Dejando esto aparte la demostración está bien. Al final no me has dejado nada xD.

Y ahora falta demostrar que n es una potencia de 2, y q es una potencia de 2 menor, el resultado es un número entero, potencia de 2:

Son hipótesis, así que ya está. Sino el enunciado carecería de sentido.

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se hace esto?

La solución de Jabato me ha dejado perplejo jajaja
Yo he encontrado la siguiente igualdad:

$\dst\frac{1}{ a\sqrt[n]{x} - b\sqrt[n]{y}}$ = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo siento, no soy capaz de hacer el salto de linea, lo de después de la flechita es lo de dentro de sumatorio.
Un saludo.

Creo que está mal, pero igual me equivoco, podrías exponerlo¿?
He probado a sustituir esto en mi fórmula:

$$\frac{1}{a\sqrt[n]{x}-b\sqrt[n]{y}}=\frac{1}{a^n x- b^n y}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k} \sqrt[n]{y^{2^k}}+b^{2^k} \sqrt[n]{y^{2^k}})$$

A mi parecer podría generalizarse a un caso más general donde sea $a\sqrt[n]{x}+b\sqrt[q]{y}$ donde n y q sean dos potencias de 2. De todas formas para llegar a la fórmula para este problema, creo que se puede resolver primero para un caso sencillo como el que empezó Weip ya que la fórmula es similar.

Este tipo de enunciados son los que se hacen por inducción, pero no parece fácil. Bueno imagino que a Malevolex no le exigen tanto y a mí me da palo, suerte si alguien lo intenta.

Tú eres el genio aquí de demostraciones por inducción xD, si ayudas lo podemos sacar entre todos. Yo aporto mi granito de arena:
Creo que podemos empezar por la siguiente identidad:

$$(a^{2^k}-\sqrt[n]{b^{2^k}})(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})=(a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}})$$

A mi ahora se me ocurre reescribirlo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y ahora multiplicar otra vez:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Es decir:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Por lo que pensamos que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Que con k=0, y escogiendo p=log_2 n se reduce a la fórmula de racionalización.
Y ahora, voy a aplicar lo que sé de inducción:
Para p=1, nos provoca la identidad de la que partíamos:

$$(a^{2^k}-\sqrt[n]{b^{2^k}})(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})=(a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}})$$

Para p=p es lo que tenemos que demostrar. Para p=p+1:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] En el primer paso por las propiedades del sumatorio y por la identidad primera de la que partíamos, y en el segundo paso dividir a ambos lados. Obtenemos así la fórmula para p=p.
Y este sería el método de inducción.
Ahora arreglamos la fórmula como dije, k=0:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] p=log_2 n:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y ahora para la fórmula general que indicaba:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y ahora falta demostrar que n es una potencia de 2, y q es una potencia de 2 menor, el resultado es un número entero, potencia de 2:

$$\frac{n}{q}=\frac{2^p}{2^{p-l}}=2^l$$

Y creo que ya. ¿?
Sólo falta la condición:

$$\log_2 n, \; \log_2 q \in \mathbb{N} \;\;\;\; q \leqslant n \;\;\;\; n \geqslant 2$$

PD: esto merecía estar en problemas de ingenio

[Weip]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Si te das cuenta las multiplicaciones sucesivas te llevan:

$$b(a+\sqrt[n]{b})(a^2+\sqrt[n]{b^2})(a^4+\sqrt[n]{b^4})(a^8+\sqrt[n]{b^8})... (a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Y creo que esta vez he generalizado bien el último término, en el denominador quedará $a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}}=a^n-b$ Por tanto $2^{k+1}=n \;\;\; k=\log_2 (n) -1$, entonces:

$$\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{b}{a^n - b}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Ahí está, muchas gracias, ya sabes que yo para cálculos mentales como que no. Y sí, en realidad $n$ ha de ser potencia de dos. Lo que no sé es qué hacer si la $n$ no es potencia de dos porque entonces sí que sí quedan raíces en el denominador por mucho que racionalicemos. Malevolex va a primero de bachillerato ¿no? porque lo veo chungo para ese nivel.

PD: bueno, éstos serían los cálculos directos, aunque formalmente sería más tedioso de demostrar. Si alguien quiere que se anime.

Este tipo de enunciados son los que se hacen por inducción, pero no parece fácil. Bueno imagino que a Malevolex no le exigen tanto y a mí me da palo, suerte si alguien lo intenta.

[Richard R Richard]

Re: ¿Cómo se hace esto?

siguiendo la gran jabato

$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$

hago la gran Richard

$x=a - t \qquad\to\qquad\ t=a-x$



entonces $\dst\frac{b}{ a-\sqrt[n]{b}}=\dfrac{(a-x)^n}{x}$

$\forall a\neq\sqrt[n]{b}$

$\forall x\neq 0$

o sea $x= a- \sqrt[n]{b}$

queda bonita... sin llegar a ser solo $t$

[alexpglez]

Re: ¿Cómo se hace esto?

¿Tienes la solución? ¿Qué es lo que no te sale? Pon el desarrollo completo a ver si entre todos lo sacamos.



Es exactamente lo que te ha explicado Alriga. Tal como dices normalmente el denominador se simplifica y no queda ninguna raíz (para eso sirve la racionalización), pero en tu caso parece ser que no pasa. ¿Seguro que la raíz es n-ésima? No he hecho los cálculos pero creo que si racionalizas n veces sale. Pruébalo a ver.

Edito:

$\dst\frac{b}{\left( a-\dst\sqrt[n]{b} \right)}\dst\frac{a+\dst\sqrt[n]{b}}{\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}=\dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2}}=<br /> \dst\frac{b\left( a+\dst\sqrt[n]{b} \right)}{\left(a^2 -\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}\dst\frac{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2}\right)}{\left(a^2+\dst\sqrt[n]{b^2} \right)}$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Seguramente me haya equivocado en algún sitio pero esta sería la idea para $n$ par (te dejo a ti que la completes y a ver si es buena o no).

Edito: El último paso está mal pero no sé cómo ponerlo jajaja. Ahora creo que ya está, pero repásalo.

Si te das cuenta las multiplicaciones sucesivas te llevan:

$$b(a+\sqrt[n]{b})(a^2+\sqrt[n]{b^2})(a^4+\sqrt[n]{b^4})(a^8+\sqrt[n]{b^8})... (a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Y creo que esta vez he generalizado bien el último término, en el denominador quedará $a^{2^{k+1}}-\sqrt[n]{b^{2^{k+1}}}=a^n-b$ Por tanto $2^{k+1}=n \;\;\; k=\log_2 (n) -1$, entonces:

$$\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{b}{a^n - b}\prod_{k=0}^{\log_2 (n) -1}(a^{2^k}+\sqrt[n]{b^{2^k}})$$

Por este método, no sólo n debe de ser par, si no potencia de 2, y repasar mis cálculos porque, qué se yo.

PD: bueno, éstos serían los cálculos directos, aunque formalmente sería más tedioso de demostrar. Si alguien quiere que se anime.

Aunque me gusta más el método de Jabato

[IsaacDL]

Re: ¿Cómo se hace esto?

La solución de Jabato me ha dejado perplejo jajaja
Yo he encontrado la siguiente igualdad:

$\dst\frac{1}{ a\sqrt[n]{x} - b\sqrt[n]{y}}$ = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo siento, no soy capaz de hacer el salto de linea, lo de después de la flechita es lo de dentro de sumatorio.
Un saludo.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Mediante un sencillo cambio de variable se racionaliza fácilmente:
$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$

¡Claro! y si haces el cambio de variable $\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=t$ toda la expresión queda reducida a "t", con lo cual es todavía más sencillo,

Re: ¿Cómo se hace esto?

Mediante un sencillo cambio de variable se racionaliza fácilmente:

$b=t^n\qquad\to\qquad\displaystyle\frac{b}{a-\sqrt[n]{b}}=\frac{t^n}{a-t}$


No me lo digáis, ya lo se, ya lo se, ji, ji, ji

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: ¿Cómo se hace esto?

Malevolex, a veces preguntas pero después parece que no lees las respuestas con la suficiente calma y reflexión, (recuerdo que ya me dió esa impresión en tus preguntas sobre los infinitésimos, De buen rollo, parece que vayas excesivamente acelerado)
Por ejemplo, ahora aquí preguntas:

Pd: ¿Racionalizar no era eliminar del denominador los radicales?

Y en tu propia pregunta anexas mi comentario que dice:

"racionalizar" es multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador. Eso tiene sentido cuando la raíz es cuadrada, porque suma por diferencia es diferencia de cuadrados y los cuadrados anulan las raíces simplificando la expresión.

Saludos.