Otras carreras ¿Números reales como vectores?

[alexpglez]

Hola, estuve pensando, a raíz del problema de ingenio http://forum.lawebdefisica.com/threa...s-de-Bronowski, un número decimal positivo (en la base decimal) se puede escribir como un vector de componentes:

$$a=(a_{\infty}, ... a_0, ... a_{-\infty}) \;\;\; 0 \leq a_i <10 \;\;\; a_i \in \mathbb{N}$$

En una base:

$$e_i=10^i$$

Por lo tanto un número real quedaría escrito como:

$$a=\sum_{i=-\infty}^{\infty} a_i 10^i$$

Por ejemplo el número 21,3 sería $a_1=2 \;\;\; a_0=1 \;\;\; a_{-1}=3$

Ahora bien, mis dudas vendrían al definir las operaciones básicas. Primero tendría que encontrar una fórmula que me testee si el vector está en la base decimal, y por tanto cumpla que a_i esté entre 0 y 10 y sea entero, y en caso contrario que me lo transforme, por ejemplo:

$$a_2=2,3 \;\;\; a_1=2 \;\;\; a_0=3,4 -------->>>>> a_2=2 \;\;\; a_1=5 \;\;\; a_0=3 \;\;\; a_{-1}=4$$

Ya que:

$$2,3*10^2+2*10+3,4= 253,4 \;\;\;\;\;\; 2*10^2+5*10+3+4*10^{-1}=253,4$$

Tampoco sé si esto lleva a algún sitio.

Saludos

[angel relativamente]

Re: ¿Números reales como vectores?

También estaría bien que dijeses el espacio vectorial donde está definido. Por ejemplo, según eso 21,3 podría ser un vector de un espacio vectorial (en caso de que sepas definirlo) isomorfo a $\mathbb{R}^3$. Mi pregunta es, ¿dónde está definido, por ejemplo, $\pi$?

[arivasm]

Re: ¿Números reales como vectores?

Si no me equivoco no constituye un espacio vectorial. La idea sería en que un mismo número real admitiría infinitas representaciones, así por ejemplo 12 = (1,2), pero también 12=(0,12). En consecuencia, dado un elemento, como por ejemplo -12, no tendría opuesto (dependiendo de cómo lo representes) o no sería único.

Si restringes que las componentes deban ser números enteros del conjunto 0, 1,..., 9 entonces no es un cuerpo (hay elementos que no tienen inverso muliplicativo). Y me temo que sucederá lo mismo aunque se establezca un álgebra módulo-10 para el mismo.

[angel relativamente]

Re: ¿Números reales como vectores?

alexpglez, tu idea de construir $\mathbb{R}$ a partir de vectores la veo desafortunada por lo que ya hemos comentado. De primeras como he dicho porque estás aceptando bases infinitas, y luego ni tan siquiera quedan bien definida las propiedades. No obstante defines unos elementos $a_i$ que a uno le puede dar la idea de construir $\mathbb{R}$ a partir de sucesiones. Si bien no es muy parecido a lo que planteas, te invito a que ojees (no te metas mucho ya que es complicado) la construcción de Cantor de los reales. Basicamente define los reales como los límites de determinadas sucesiones racionales, lo cual es muy interesante y da mucho juego en el análisis.
Saludos,

[Weip]

Re: ¿Números reales como vectores?

La construcción de los reales que dice angel relativamente viene explicada divulgativamente en este enlace. Si te pica curiosidad aquí tienes la construcción de verdad, entre las páginas 215 y 220. El nivel te queda lejos pero te lo enseño para que veas que este tipo de construcciones son difíciles y que no puedes hacer afirmaciones como las que has hecho en el primer mensaje de hilo con tanta facilidad.