Otras carreras Demostración unicidad conjunto vacío

[alexpglez]

$$\wedge xy (\wedge u(u\in x \leftrightarrow u \in y) \rightarrow x=y$$

$$\vee x \wedge u u \not \in x$$

Dados estos dos axiomas cómo se demuestra¿?

$$\vee^1 x \wedge u u \not \in x$$

Estoy intentando hacerlo pero no me sale, creo que tendría que demostrar que dados dos conjuntos que cumplan el axioma de vacío se deduce por el axioma de extensionabilidad que son el mismo, pero no veo como demostrar dados x e y que cumplan 2: $u \in x \leftrightarrow u\in y$

[Weip]

Re: Demostración existencia elemento vacío

No me queda claro si quieres demostrar la existencia del conjunto vacío (como pone en el título) o si quieres demostrar que es único (como parece que das a entender). Si es la primera opción, aplica el axioma de separación a $\left\{y\in x |y \in y \wedge y \notin y \right\}$. Otra forma sería aplicar el axioma de infinitud. Si es la segunda opción, supón que existiera más de un conjunto vacío y aplica el axioma de extensionalidad, sale directamente.

[alexpglez]

Re: Demostración existencia elemento vacío

"Analicemos ahora el segundo axioma de B. Afirma que existe un conjunto que no tiene elementos. Combinando esto con el axioma de extensionalidad podemos concluir (razonando en B, por supuesto) que: $\vee^1 x \wedge u u \not \in x$.
En efecto, la existencia nos la da el axioma del conjunto vacı́o, y la unicidad se V debe a que si x y y son dos conjuntos sin elementos, entonces trivialmente u(u ∈ x ↔ u ∈ y) (si suponemos que u ∈ x tenemos una contradicción, por lo que podemos concluir que u ∈ y, y viceversa). El axioma de extensionalidad nos da entonces que x = y. En suma, existe un único conjunto vacı́o."

Lo que no entiendo es lo que subrayo.

No me queda claro si quieres demostrar la existencia del conjunto vacío (como pone en el título) o si quieres demostrar que es único (como parece que das a entender).

PD: y si, es lo segundo, la unicidad del conjunto vacío, no la existencia. La existencia la tomo como axioma. Corrijo el título pues...

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La fuente que estoy utilizando para aprender y de donde viene el texto entrecomillado es el libro de Carlos Ivorra, Lógica Matemática página 112-84

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Ya sé, si hago una contradicción. Por la regla $\alpha, \neg \alpha \vdash \beta$, o sea $\neg \alpha \vdash \alpha \rightarrow \beta$ y viceversa $\neg \beta \vdash \beta \rightarrow \alpha$, o sea $\neg \alpha, \neg \beta \vdash (\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha) \equiv \alpha \leftrightarrow \beta$.
Ahora con $\alpha \equiv u \in \varnothing_1 , \beta \equiv u \in \varnothing_2$ y $\neg u \in x\equiv u \not\in x$:

$$u \not\in \varnothing_1, u \not\in \varnothing_2 \vdash u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2$$

[Weip]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Lo subrayado es la justificación de que $\wedge u(u\in x \leftrightarrow u\in y)$. Si miras la tabla de verdad del bicondicional, si $u\in x$ y $u\in y$ con ciertos entonces $u\in x \leftrightarrow u\in y$ es cierto y si $u\in x$ y $u\in y$ son falsos entonces $u\in x \leftrightarrow u\in y$ es cierto.

Edito: Mientras escribía te has autocontestado. Efectivamente, es eso.

[alexpglez]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Lo subrayado es la justificación de que $\wedge u(u\in x \leftrightarrow u\in y)$. Si miras la tabla de verdad del bicondicional, si $u\in x$ y $u\in y$ con ciertos entonces $u\in x \leftrightarrow u\in y$ es cierto y si $u\in x$ y $u\in y$ son falsos entonces $u\in x \leftrightarrow u\in y$ es cierto.

Edito: Mientras escribía te has autocontestado. Efectivamente, es eso.

Gracias, si, eso entendía, lo que quería hacer es demostrarlo, ya que no lo entendía.
Ahora me falta acabar la demostración, luego la escribo, ya que quiero asegurarme de que sea correcta (no he escrito ninguna demostración con el existencial único)

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$$\bigvee x \bigwedge u u \not\in x$$

$$\neg u \in \varnothing_1$$

$$\neg u \in \varnothing_2$$

$$u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2$$

$$\bigwedge u (u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2)$$

$$\bigwedge xy (\bigwedge u (u \in x \leftrightarrow u \in y) \rightarrow x=y)$$

$$\bigwedge u (u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2) \rightarrow \varnothing_1=\varnothing_2$$

$$\varnothing_1=\varnothing_2$$

Pero no sé como casarlos con el teorema:

$$\bigvee^1 x \alpha \leftrightarrow \bigvee x \alpha \wedge \bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

Una forma que se me ha ocurrido ha sido juntar $\alpha(\varnothing_1) \wedge \alpha(\varnothing_2) \rightarrow \varnothing_1=\varnothing_2$. Pero ya que estos términos vienen de la eliminación del particularizador, no puedo añadir generalizadores así como así.
Pero mientras escribía se me ha ocurrido por reducción al absurdo abrevio $\alpha\equiv \bigvee x \bigwedge u u \not\in x$:

$$\bigvee^1 x \alpha \leftrightarrow \bigvee x \alpha \wedge \bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

$$\neg \bigvee^1 x \alpha$$

$$\neg [\bigvee x \alpha \wedge \bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)]$$

$$\neg \bigvee x \alpha \vee \neg \bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

$$\neg \bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

$$\bigvee xy \neg (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

$$\neg (\alpha(\varnothing_1) \wedge \alpha(\varnothing_2) \rightarrow \varnothing_1=\varnothing_2)$$

$$\alpha(\varnothing_1) \wedge \alpha(\varnothing_2) \rightarrow \varnothing_1=\varnothing_2$$

$$\bigvee^1 x \alpha \equiv \bigvee^1 x \bigwedge u u \not\in x$$

Esto implica que podemos llamar un elemento $\varnothing$.

$$\bigvee^1 x \bigwedge u u \not\in x$$

$$\bigvee^1 x \alpha(x) \rightarrow \alpha(x|\alpha)$$

Llamemos $x | \bigwedge u u \not\in x\equiv \varnothing$, cumpliéndose que:

$$\bigwedge u u \not\in \varnothing$$

Es correcto¿?

Gracias.

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Además creo que he demostrado otra cosa curiosa, dada una proposición $\bigvee x \alpha(x)$, suponiendo dos valores que lo cumplen $\alpha(x_1) \wedge \alpha(x_2)$ y ver que $x_1=x_2$ implica que $\bigvee^1 x \alpha(x)$. Es decir:

$$\bigvee x \alpha(x) , \alpha(x_1) \wedge \alpha(x_2), x_1=x_2 \vdash \bigvee^1 x \alpha(x)$$

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Tengo algunas dudas en el paso 15.

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Si, la demostración está mal en la línea 15, no puedo eliminar el particularizador y señalar los mismos elementos que ya he utilizado, es ilógico. Por otra parte:

Una forma que se me ha ocurrido ha sido juntar . Pero ya que estos términos vienen de la eliminación del particularizador, no puedo añadir generalizadores así como así

Estoy dudando en esto, la definición de eliminación del particularizador dice que debo tomar como constantes los elementos que aparecen después de eliminarlo, lo que no sé es si después de dar la fórmula de implicación, se puede generalizar. Quiero decir: si yo puedo hacer $\bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y )$

[Weip]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

$$\bigvee x \bigwedge u u \not\in x$$

$$\neg u \in \varnothing_1$$

$$\neg u \in \varnothing_2$$

$$u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2$$

$$\bigwedge u (u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2)$$

$$\bigwedge xy (\bigwedge u (u \in x \leftrightarrow u \in y) \rightarrow x=y)$$

$$\bigwedge u (u \in \varnothing_1 \leftrightarrow u \in \varnothing_2) \rightarrow \varnothing_1=\varnothing_2$$

$$\varnothing_1=\varnothing_2$$

Está bien. También lo puedes escribir con palabras que es más rápido.

Luego das muchas vueltas para llegar al mismo sitio, dejando a parte de pasos dudosos como la línea 15 que tú mismo indicas. Así que no lo comento.

Quiero decir: si yo puedo hacer $\bigwedge xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y )$

En general no puedes, dependerá de $\alpha$. Por ejemplo todos los conjuntos tienen como subconjunto el conjunto vacío, pero no por ello son iguales.

Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Está bien. También lo puedes escribir con palabras que es más rápido.

Luego das muchas vueltas para llegar al mismo sitio, dejando a parte de pasos dudosos como la línea 15 que tú mismo indicas. Así que no lo comento.


En general no puedes, dependerá de $\alpha$. Por ejemplo todos los conjuntos tienen como subconjunto el conjunto vacío, pero no por ello son iguales.

Espero haberte ayudado.

No entiendo, entonces, ¿cómo se demostraría?
No veo como generalizar.
Creo que se trata entonces de formular la hipótesis, donde u, x e y son variables:

$$\forall u u \not\in x \wedge \forall u u \not\in y$$

$$\forall u (u \in x \leftrightarrow u \in y)$$

$$x=y$$

$$\forall xy ((\forall u u \not\in x \wedge \forall u u \not\in y) \rightarrow x=y )$$

$$\exists x \forall u u \not\in x$$

$$\exists x \forall u u \not\in x \wedge \forall xy ((\forall u u \not\in x \wedge \forall u u \not\in y) \rightarrow x=y )$$

$$\exists ! x \alpha(x) \leftrightarrow \exists x \alpha(x) \wedge \forall xy (\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y)$$

$$\exists ! x \forall u u \not\in x$$

Que es lo que queríamos demostrar.
Ahora sí estaría bien¿?

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Entonces tendría que corregir la fórmula anterior que escribí:

$$\exists x \alpha(x) , \forall xy(\alpha(x) \wedge \alpha(y) \rightarrow x=y) \vdash \exists ! x \alpha(x)$$

[Weip]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Te complicas mucho. Solo tienes que decir que si $x$, $y$ son dos conjuntos vacíos entonces para todo $u$, $u\in x \leftrightarrow u\in y$ y por el axioma de extensionalidad $x=y$.

[alexpglez]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Si si ya, el caso es que quiero verlo todo bien demostrado lógicamente, ya que, estarás de acuerdo conmigo que cualquier argumento explicado con palabras puede ser dudoso, incluso uno puede equivocarse. Es por ello que quería aprender lógica, para fundamentar bien lo que son conjuntos, elementos, etc. porque, las cosas explicadas con palabras yo al menos hay cosas que se me escapan y las demostraciones sobre conjuntos así mucho peor las veo.
No sé si me explico, quiero explorar lógicamente todo para entenderlo bien, además de entender los fundamentos últimos de las matemáticas. (Que luego sirva para algo, pues casi que no, pero personalmente mola)

Gracias y Saludos!

[Weip]

Re: Demostración unicidad conjunto vacío

Si si ya, el caso es que quiero verlo todo bien demostrado lógicamente

Lo que he escrito ya es una demostración lógica. En todo caso supongo que te refieres a hacerlo así:

$\exists x\forall u u\notin x$
$\exists y\forall u u \notin y$

$\forall u(u\in x \leftrightarrow u\in y)$

$x=y$

Las dos primeras líneas son el axioma del vacío, la tercera ya está demostrada y la cuarta por el Axioma de Extensionalidad. Pero bueno, esto ya lo habías hecho tú mensajes más arriba. Ya te dije que lo tenías bien.

Si si ya, el caso es que quiero verlo todo bien demostrado lógicamente, ya que, estarás de acuerdo conmigo que cualquier argumento explicado con palabras puede ser dudoso, incluso uno puede equivocarse.

Pues... no estoy de acuerdo. Los argumento con palabras y los argumentos con axiomas y reglas de inferencia son igual de rigurosos. Solo estás expresando el argumento de dos formas distintas. De la misma forma, las matemáticas escritas en castellano son igual de precisas y correctas que las matemáticas escritas en inglés, francés o élfico. Además el "soporte" con el que expreses las matemáticas no afecta a la veracidad o falsedades de las proposiciones. Así que no te puedes equivocar porque escribas con palabras. Te puedes equivocar porque el argumento no es correcto, pero no por cómo lo expreses. Esto lo recalca mucho el documento que estás siguiendo. Es más, uno de los objetivos de la lógica es asegurar que el razonamiento del matemático "no lógico" es igual de válido que el razonamiento que usa explícitamente el cálculo deductivo. Fíjate que una vez se fundamenta el cálculo deductivo, ya la propia lógica tira millas con argumentos de palabra, como cualquier otra rama de las matemáticas.

Otra historia es que los idiomas sean contradictorios, pero eso no afecta en nada. Si el argumento es dudoso pero correcto, escrito o no con palabras, es que faltan más aclaraciones.

Es por ello que quería aprender lógica, para fundamentar bien lo que son conjuntos, elementos, etc. porque, las cosas explicadas con palabras yo al menos hay cosas que se me escapan y las demostraciones sobre conjuntos así mucho peor las veo.

Al principio cuesta pero bueno, te tienes que enfrentar a las demostraciones y acostumbrarte. La lógica te asegura que están bien fundamentadas. Esto ya es entrar en filosofía pero creo que mucha gente acepta que las matemáticas son algo más que garabatos en un papel que manipulamos independientemente de su significado: sobretodo se compone de ideas.