Secundaria ¿Clases? Clases y conjuntos

[alexpglez]

Hola. He estado leyendo sobre las clases y conjuntos, textos introductorios como los de wikipedia divulgativos y otros introductorios sobre la axiomática de conjuntos y clases. Me quedan algunas dudas:

1) ¿El por qué del concepto y la axiomática de clases?
Tengo entendido que el concepto de conjuntos sirve para "agrupar" elementos que cumplen ciertas condiciones entre las que se encuentran los axiomas ZF. Sé que es más complicado que ésto, definir los conceptos es algo difuso, como cualquier otro concepto (definir "ser igual" por ejemplo), lo único que podemos decir es que cumplen ciertas propiedades y se forman a partir de ciertas operaciones definidas en ciertos axiomas (si sólo fuesen agrupaciones de elementos es decir, de otros conjuntos, se podrían formar paradojas como la de Russel).

A partir de aquí tengo entendido que las clases vienen a describir estos "conjuntos" informales (que además no son conjuntos). Es decir, a priori a mi juicio lo único que esto aporta son intuiciones básicas y elementales sobre como pensar a los conjuntos, conceptos básicos y elementales como la clase de todos los conjuntos o el complementario de un conjunto, que además en libros básicos sobre conjuntos vienen erróneamente descritos: el conjunto universal, el conjunto complementario, cuando no son conjuntos sino clases.

No sé si el concepto y la axiomática de clases será importante en otras ramas de la matemática, pero a priori no le veo utilidad salvo confundir a los principiantes los conceptos clases y conjuntos.

2) Si yo defino un elemento (ya sea un conjunto, una clases u otro tipo de variable) como

$$A=\{0,A,B,A\cup B,678,"hola"\}$$

como puedo saber si se trata de un conjunto, una clase, o no se trata de ninguna de las dos cosas¿?

Gracias, Saludos

[Weip]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

Hola. Las clases se definen solo en algunas teorias de conjuntos y podriamos decir que sirven para distinguir las "colecciones" que son conjuntos y de las que no. A estas ultimas se les llama clases propias (la clase de Russel y la clase universal son ejemplos).

Para ver si una determinada colección es un conjunto pues hay que demostrarlo. En NBG (porque en ZFC solo hay conjuntos) para demostrar que una coleccion es un conjunto puedes usar la definicion de conjunto: una clase que está dentro de otra clase (por fijar cosas recuerda que en ZFC el conjunto es una noción primitiva). Para demostrar que cierta colección no es un conjunto lo normal es intentar reducción al absurso y usar que la clase universal es propia.

Por saber si lo has entendido puedes demostrar que la colección de todos los grupos no es un conjunto.

Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

Hola. Las clases se definen solo en algunas teorias de conjuntos y podriamos decir que sirven para distinguir las "colecciones" que son conjuntos y de las que no. A estas ultimas se les llama clases propias (la clase de Russel y la clase universal son ejemplos).

Para ver si una determinada colección es un conjunto pues hay que demostrarlo. En NBG (porque en ZFC solo hay conjuntos) para demostrar que una coleccion es un conjunto puedes usar la definicion de conjunto: una clase que está dentro de otra clase (por fijar cosas recuerda que en ZFC el conjunto es una noción primitiva). Para demostrar que cierta colección no es un conjunto lo normal es intentar reducción al absurso y usar que la clase universal es propia.

Por saber si lo has entendido puedes demostrar que la colección de todos los grupos no es un conjunto.

Espero haberte ayudado.

Si, si, eso tengo entendido. ¿A qué te refieres con grupos? Si te refieres a la clase universal, esta no es un conjunto ya que contendría la paradoja de Russel.

Lo que no sé es ¿qué ayuda da el concepto de clases?

Y por cierto, como distingo de colecciones de objetos que son conjuntos y las que no¿? Por ejemplo el objeto que definí antes.
El caso es que sólo he visto la formación de conjuntos y clases por $a=\{u\in x | \alpha(u)\}$ y $A=\{u|\alpha(u)\}$ respectivamente. El objeto que definí antes no se corresponde con nada de ello, a no ser que defina la formación anterior como:

$$A=\{u| u=0 \vee u=a \vee u=b \vee u= a\cup b \vee u=678 \vee u="hola"\}$$

Siendo más útil utilizar la abreviatura:

$$A=\{0,a,b,a\cup b,678,"hola"\}$$

Tal clase se podría demostrar que es o no un conjunto¿?


Yo lo que digo, es que no entiendo que nuevo trae NBG con respecto a ZFC para encarar problemas. Creo que más o menos entiendo pero voy a poner un ejemplo:
Imaginemos un problema real en que necesitemos definir cierta colección de objetos para tenerlos más ordenados. Por los aciomas de la teoría de conjuntos, podría no ser exactamente un conjunto, pero nada nos impide llamarlo clase. Es decir, sería un concepto rudimentario para no preocuparnos si lo que definimos es axiomáticamente un conjunto o no¿?

[Weip]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

Los grupos son un tipo de estructura algebraica. Entonces da igual aunque no te puedo dar ejemplos sencillos para que practiques. En todo caso en septiembre ya te daran la definición.

Lo de distinguir las clases entre propias y conjuntos no hay ninguna forma estandar mas alla de lo que te he explicado. Cada caso necesitara su razonamiento.

Lo del ejemplo del primer mensaje es que estoy en movil y supongo que por eso no lo veo. Hay partes que si y partes que no veo. Explicamelo con palabras a ver y si no tendrás que esperar a otro usuario.

Sobre la parte final, NBG no aporta nada nuevo a lo que has visto de ZFC. Perfectamente podrias cambiar una por otra y (casi) todas las matemáticas quedarían igual.

[alexpglez]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

El ejemplo es, tengo una clase definida como una colección de varios conjuntos, que definiéndolo a partir de los esquemas de formación de clases se traduciría en la clase en la que todo conjunto que pertenece a esta es igual a alguno de los conjuntos indicados. Como demuestro que esta clase es una clase propia o un conjunto.

Con la diferencia, yo lo veo como un ejemplo práctico, tipo: la clase de todos los seres vivos del planeta Tierra, podemos definir operadores entre esta clase sin tener que preocuparnos de si es un conjunto o una clase propia. En cambio en ZFC definir el conjunto de todos los sere vivos del planeta Tierra, necesitaría la demostración previa de si respeta los axiomas de conjuntos y por tanto la demostración de que es un conjunto.

[Weip]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

Mmmm... según lo entiendo la clase es finita y es igual a la clase formada por los conjuntos que indicas. Entonces lo demuestras por definicion: puedes meter esa clase en otra clase? La respuesta es que sí (es evidente pero escríbetelo a ver si encuentras dificultades) y por tanto es un conjunto. Otra forma seria biyectar la clase con un subconjunto de los naturales usando el axioma de reemplazo.

En el segundo párrafo pues lo dices bien. Aunque ten en cuenta que la mayoria de clases "normales" que se te piedan ocurrir serán conjuntos. Para encontrar clases propia tendrás que imaginar clases "grandes" como por ejemplo la clase de todos los grupos, la clase de todos los espacios vectoriales y cosas de estas.

[alexpglez]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

Sigo sin entender, ¿como puedo meter esa clase en otra clase?
Lo de biyectar lo entiendo, que es posible biyectar elementos de esas dos clases que nombras. Aún así debería seguir leyendo, estoy con la introducción y no me han definido bien lo que significa biyectar xD. (Entiendo el significado semántico únicamente)

[Weip]

Re: ¿Clases? Clases y conjuntos

¿En el colegio no te hablaron de las funciones inyectivas, exhausivas y biyectivas? Bueno si es que no te explico la idea. Se trata de emparejar los elementos de dos conjuntos/clases uno a uno mediante una función. Por ejemplo {a,b,c} se puede biyectar con {1,2,3} mediante la funcion definida por f(1)=a, f(2)=b y f(3)=c. Fíjate que existen otras biyecciones a parte de la que he dicho. De forma más técnica unafunción biyectiva es una función inyectiva y exhaustiva. En la universidad te explicarán detalladamente cómo demostrar que una función es biyectiva. Lo que te he dicho más o menos lo que uno entiende por biyectar. Verdaderamente a veces esta interpretación es dudosa con conjuntos infinitos. Por ejemplo son famosas algunas biyecciones: numeros pares con naturales, enteros, racionales... a pesar se que la intuición nos dice que hay más naturales que pares o más enteros que naturales. Volviendo a nuestro problema la cosa es numerar tu clase con naturales (biyectar) y usar el axioma de reemplazo.

Respecto a tu pregunta si A={1,2,3} es tu clase (por poner conjuntos concretos he puesto numeros) entonces {0, A} es una clase y por tanro A es un conjunto. En este caso es facil porque el conjunto es finito pero en otros casos esto no es para nada evidente.