Secundaria Eigenfunctions and eigenvalues problemas

[Visitante]

Buenas,

Ahora mismo tengo cierta dificultad en resolver los siguientes problemas, recién acabo de aprender lo que es un operator, eigenfunction y eigenvalue. Os digo los problemas para ver si me podéis ayudar un poco:

1.-Write down the eigenfunctions and their associated eigenvalues for the operator $-\dst \frac{{d}^{2 }}{ d{x}^{ 2}}$.

2.-Show that the operator $\hat{H}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x } + x$ has eigenfunctions of the form $y=exp(ax-\dst\frac{{x}^{2 }}{ 2})$. What are the associated eigenvalues?

Pues no entiendo muy bien lo que hay que hacer, o por dónde empezar. Y otra duda ¿A qué se refiere con y=exp()? ¿La potencia de un número?

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

¿A qué se refiere con y=exp()?

Es otra manera común de expresar la función exponencial de base el numero e=2.718281828459...

$e^x=\exp (x)$

Por lo tanto $\dst y=\exp \left (a \cdot x-\dfrac{{x}^{2 }}{ 2} \right )=\dst e^{(a \cdot x-\frac{x^2}{2})}$

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Hola Malevolex. En efecto exp como dice Alriga es la exponencial. A partir de ahora acostúmbrate a que exponenciales solo hay una, al igual que logaritmos ($\ln$), todos los demás solo son simples cambios de base.
Para el ejercicio 1, no es más que resolver una ecuación diferencial. Básicamente se traduce en qué función $y(x)$ verifica que $-y''(x)=ky(x)$, siendo k los eigenvalores (en castellano les decimos también autovalores o valores propios).
Para el 2 es más sencillo todavía, solo tienes que hacer $\hat H y$ y ver que da algo de la forma $ky$ para probar que $y$ es eigenfunción. Después explicitar los eigenvalores es dar los $k$.

Inténtalo y pregunta si aun así andas perdido

Saludos

[Visitante]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Tengo mis dudas respecto al primero, es decir, tenemos que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Todavía no sé resolver con facilidad ecuaciones diferenciales, por lo que tengo entendido para resolver ecuaciones diferenciales sencillas basta integrar en ambos miembros:
$\dst\frac{-{d}^{ 2}y(x)}{d{x}^{2 } }=ky(x)$
Integrando dos veces tenemos
$-\frac{1}{k }y(x)=\int \int y(x) \dd x \dd x$
Y que yo sepa las soluciones a esto es ${e}^{-cx }$, por lo que esta sería una eigenfunction y $k={c}^{2 }$, que es un eigenvalue. Ahora no sé si hay más soluciones.
Estoy haciendo el 2

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

La solución de la ecuación diferencial $-y''(x)=k \cdot y(x)$ es

$y(x)=A \sin(\sqrt k \ x)+B \cos(\sqrt k \ x)$

Deriva $y(x)$ dos veces y compruébalo

En cambio si derivas 2 veces $y(x)={e}^{-c \ x}$ verás que no se cumple la ecuación diferencial.

Saludos.

[Visitante]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

La solución de la ecuación diferencial $-y''(x)=k \cdot y(x)$ es

$y(x)=A \sin(\sqrt k \ x)+B \cos(\sqrt k \ x)$

Deriva $y(x)$ dos veces y compruébalo

En cambio si derivas 2 veces $y(x)={e}^{-c \ x}$ verás que no se cumple la ecuación diferencial.

Saludos.

Hola,
Si derivo dos veces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces me queda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y creo que se cumple la ecuación diferencial...
¿Cómo se resolvería la ecuación diferencial paso a paso? Repito, nunca me ha enseñado a resolver ecuaciones diferenciales...
Acabo de hacer la parte 2, me da:
$\hat{H}y(x)=ky(x)$
$\frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}+xy(x)=ky(x)$
$\frac{\mathrm{d}y(x) }{\mathrm{d} x}=(k-x)y(x)$
Sustituyendo y(x), tenemos que
$\frac{\mathrm{d} {e}^{ax-\frac{{x}^{ 2}}{ 2} }}{\mathrm{d}x }=(k-x){e}^{ax-\frac{{x}^{ 2}}{ 2} }$
$(a-x){e}^{ax-\frac{{x}^{ 2}}{ 2} }=(k-x){e}^{ax-\frac{{x}^{ 2}}{ 2} }$
$a-x=k-x$
Por tanto
$a=k$ que es el eigenvalue
¿Es correcto?

Ahora mis dudas respecto a la teoría, en mecánica cuántica ¿Para qué sirven los operators, eigenfunctions, eigenvalues..? ¿Cuáles son sus aplicaciones?

[Mossy]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Hola,
¿Cómo se resolvería la ecuación diferencial paso a paso? Repito, nunca me ha enseñado a resolver ecuaciones diferenciales...

Prueba con una solución del tipo $y=e^{mx}$. Sustituye en la ED y cancelas las exponenciales (sin miedo, nunca se anulan). Te queda una ecuación de segundo grado en $m$. Tiene dos raíces, por lo que habrá dos soluciones (una exponencial con una raíz y otra con la otra). Como es una ecuación diferencial lineal, se aplica el principio de superposición: combinaciones lineales de soluciones es solución. Por lo tanto, la solución más general es una combinación lineal de estas dos soluciones (y de hecho así se llama: solución general). Como las raíces son imaginarias, por la identidad de Euler transformas las exponenciales en senos y cosenos, y así es como llegas a la solución que te ha dado Alriga. Haciendo un poco de álgebra con las constantes, senos y cosenos podrás llegar a la forma $y= C \cos{ (\sqrt{k} x + \phi)}$, donde ahora las constantes indeterminadas son $C$ y $\phi$. Seguro que así te suena más.

Puedes buscar más sobre esto en internet; se trata de la ecuación del oscilador armónico.

Saludos

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Si derivo dos veces $y(x)={e}^{-\sqrt{k} \ x}$, entonces me queda $y``(x)=k{e}^{-\sqrt{k} \ x}$ Y creo que se cumple la ecuación diferencial...

No, no cumple la ecuación diferencial $-y''(x)=k \cdot y(x)$ en el cuerpo de los Reales, puesto que k es positivo, (si fuese negativo $\sqrt k$ no existiría).

La función Real $y(x)={e}^{-\sqrt{k} \ x}$ cumple la ecuación diferencial $y''(x)=k \cdot y(x)$ pero no la $-y''(x)=k \cdot y(x)$

Ésta última solo la cumplen soluciones del tipo $y(x)=A \sin(\sqrt k \ x)+B \cos(\sqrt k \ x)$ que como te dice Mossy, también se puede expresar de forma equivalente en las formas:

$y(x)= C \cos{ (\sqrt{k} \ x + \phi)}$

O también $y(x)= D \sin{ (\sqrt{k} \ x + \psi)}$

Saludos.

[Weip]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Tengo mis dudas respecto al primero, es decir, tenemos que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Todavía no sé resolver con facilidad ecuaciones diferenciales, por lo que tengo entendido para resolver ecuaciones diferenciales sencillas basta integrar en ambos miembros:
$\dst\frac{-{d}^{ 2}y(x)}{d{x}^{2 } }=ky(x)$
Integrando dos veces tenemos
$-\frac{1}{k }y(x)=\int \int y(x) \dd x \dd x$
Y que yo sepa las soluciones a esto es ${e}^{-cx }$, por lo que esta sería una eigenfunction y $k={c}^{2 }$, que es un eigenvalue. Ahora no sé si hay más soluciones.
Estoy haciendo el 2

Me recuerdas a mí mismo hace pocos años. También intenté resolver una ecuación diferencial haciendo esto. Creo que fue arivasm quien me dijo que el tema era más complicado que integrar dos veces. Bueno, el caso, antes de ver estos temas te recomiendo ver algo de ecuaciones diferenciales en el contexto de la mecánica clásica para no encallarte tanto. La ecuación por la que preguntas es muy habitual en física. De hecho en segundo de bachillerato seguramente te hablen un poco de ella aunque no la resolveréis. Sobre la importancia de los valores propios y todo este tema igual convendría mirar algo de matrices para introducirlos. Buscando "diagonalización pdf" encontraras mucha información. Es que ir directamente con los operadores igual es más difícil. Espero haberte ayudado.

[angel relativamente]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Hola. El 2 has calculado bien los eigenvalues. El problema es que lo has hecho suponiendo que y es eigenfunction. Como a priori no lo sabes, lo que tienes que hacer es primero hacer $\hat H y$. Observa que obtienes $ay$, con lo que demuestras que y es eigenfunción, que es lo que te pedían. Y por tanto los eigenvalores son los a tal como decías.
Para el 1, la forma de resolverlo es como te indica Mossy. Se prueba una solución exponencial y se encuentra el parámetro m. No te costará sacar (se podía ver a ojo) que $m=\pm \sqrt{-k}=\pm i\sqrt{k}$, que es parecido a lo que habías sacado tú. Cualquier combinación lineal de estas exponenciales complejas es solución de la ec diferencial. No obstante, puedes buscar la relación de estas exponenciales complejas con el seno y coseno y verás que es equivalente.
Saludos,

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

... ¿Cómo se resolvería la ecuación diferencial paso a paso? Repito, nunca me ha enseñado a resolver ecuaciones diferenciales ...

La ecuación diferencial $-y''(x)=k \cdot y(x)$

Se escribe habitualmente así $y''(x)+k \cdot y(x)=0$

Y ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de 2º orden con coeficientes constantes. Se resuelve como te ha explicado Mossy, puedes ver los detalles en la página 2 de Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Saludos.

[Visitante]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Hola,
¿Y no existe alguna forma para resolver ecuaciones diferenciales de manera general?

[Weip]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Hola,
¿Y no existe alguna forma para resolver ecuaciones diferenciales de manera general?

No, de la misma manera que no hay una forma general de resolver ecuaciones "normales". Por eso hay distintos tipos de ecuaciones y por eso tienen nombres distintos.

[Alriga]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

... ¿Y no existe alguna forma para resolver ecuaciones diferenciales de manera general?

No, de la misma manera que no existe un método general de resolver integrales.
Las E.D.O. se clasifican por tipos, y para cada tipo hay un método de resolución diferente. Hay muchos tipos, algunos que recuerdo, (pero hay más):

* Lineales
* Exactas
* Reducibles
* De Lagrange
* De Clairaut
* De Bernoulli
* De Riccati
* De Euler
* De Bessel
* De Legendre
* ..........

Saludos.

Me he superpuesto respondiendo con Weip, saludos Weip

[Visitante]

Re: Eigenfunctions and eingenvalues problemas

Me recuerdas a mí mismo hace pocos años. También intenté resolver una ecuación diferencial haciendo esto. Creo que fue arivasm quien me dijo que el tema era más complicado que integrar dos veces

Sé que hago unas preguntas un poco tontas pero estoy aprendiendo, quería preguntarlo antes ¿Por qué es más complicado que integrar dos veces?