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Consulta sobre Curvatura y Torsión en Geometría Diferencial

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  • Consulta sobre Curvatura y Torsión en Geometría Diferencial

    Hola a todos,

    Estoy revisando la sección §1.5 de un libro de geometría diferencial que trata sobre curvas, superficies y su relación con la relatividad. En particular, estoy tratando de entender la deducción de ciertas fórmulas relacionadas con la curvatura y la torsión de curvas en un espacio tridimensional.
    En la sección sobre curvas espaciales y curvatura, se define el vector unitario binormal a través de la ecuación:



    donde es la torsión, es el vector normal unitario y es el vector tangente unitario. Con esta definición se puede ver que y .
    La pirmera ecuación con la que tengo duda es la siguiente.



    Donde . No consigo entender como es que llega a dicha relacion para B.
    Por otro lado, luego el libro deja para demostración del lector la siguiente relacion.



    ¿Podrían explicarme cómo se derivan estas ecuaciones a partir de la definición y propiedades de los vectores , y ? ¿Qué pasos matemáticos o consideraciones geométricas se utilizan para llegar a estas fórmulas?
    Agradezco de antemano cualquier orientación o explicación detallada que puedan ofrecer. Estoy interesado en comprender los detalles de estas derivaciones y su significado geométrico.

    ¡Gracias!

  • #2
    Hola Valeeen.
    Escrito por Valeeen Ver mensaje
    donde es la torsión, es el vector normal unitario y es el vector tangente unitario. Con esta definición se puede ver que y .
    La pirmera ecuación con la que tengo duda es la siguiente.



    Donde . No consigo entender como es que llega a dicha relacion para B.
    Fíjate que y , es decir, el vector binormal es ortogonal al vector tangente y al vector normal. Por tanto, el vector binormal es el producto vectorial del tangente por el normal. En notación de vectores escribirías , justamente en notación tensorial se escribe . Por tanto no hay ningún cálculo de por medio, es una implicación directa (si eres perpendicular a dos vectores en 3D, eres el producto vectorial entre estos vectores).

    Escrito por Valeeen Ver mensaje
    Por otro lado, luego el libro deja para demostración del lector la siguiente relacion.



    ¿Podrían explicarme cómo se derivan estas ecuaciones a partir de la definición y propiedades de los vectores , y ? ¿Qué pasos matemáticos o consideraciones geométricas se utilizan para llegar a estas fórmulas?
    Esa es la tercera fórmula de Frenet-Serret, se obtiene derivando el producto vectorial que define . Su derivación es clásica y la encontrarás en todos los libros de geometría diferencial, en todo caso transcribo en notación vectorial:


    Fíjate que es despejado en la ecuación que pusistes arriba en términos de y . En notación tensorial la derivación es idéntica, con el tensor de Levi-Civita por enmedio. En todo caso si tienes dudas puedo pasarlo a notación tensorial también.

    Espero haberte ayudado.
    Última edición por Weip; 26/06/2024, 21:55:36.

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