Consulta sobre Curvatura y Torsión en Geometría Diferencial

[Valeeen]

Hola a todos,

Estoy revisando la sección §1.5 de un libro de geometría diferencial que trata sobre curvas, superficies y su relación con la relatividad. En particular, estoy tratando de entender la deducción de ciertas fórmulas relacionadas con la curvatura y la torsión de curvas en un espacio tridimensional.
En la sección sobre curvas espaciales y curvatura, se define el vector unitario binormal $B^{i}$ a través de la ecuación:

$B^{i}=\frac{1}{\tau} \left( \frac{\delta N^{i}}{\delta s}+\kappa T^{i} \right)$

donde $\tau$ es la torsión, $N^{i}$ es el vector normal unitario y $T^{i}$ es el vector tangente unitario. Con esta definición se puede ver que $g_{ij} B^{i} T^{j}=0$ y $g_{ij}B^{i}N^{j}=0$.
La pirmera ecuación con la que tengo duda es la siguiente.

$B^{i}=\epsilon ^{ijk} T_{k} N_{j}$

Donde $\epsilon ^{ijk}=\frac{1}{\sqrt{g}} e_{ijk}$. No consigo entender como es que llega a dicha relacion para B.
Por otro lado, luego el libro deja para demostración del lector la siguiente relacion.

$\frac{\delta B^{i}}{\delta s} = -\tau N^{i}$

¿Podrían explicarme cómo se derivan estas ecuaciones a partir de la definición y propiedades de los vectores $T^{i}$, $N^{i}$ y $B^{i}$? ¿Qué pasos matemáticos o consideraciones geométricas se utilizan para llegar a estas fórmulas?
Agradezco de antemano cualquier orientación o explicación detallada que puedan ofrecer. Estoy interesado en comprender los detalles de estas derivaciones y su significado geométrico.

¡Gracias!

[Weip]

Hola Valeeen.

donde $\tau$ es la torsión, $N^{i}$ es el vector normal unitario y $T^{i}$ es el vector tangente unitario. Con esta definición se puede ver que $g_{ij} B^{i} T^{j}=0$ y $g_{ij}B^{i}N^{j}=0$.
La pirmera ecuación con la que tengo duda es la siguiente.

$B^{i}=\epsilon ^{ijk} T_{k} N_{j}$

Donde $\epsilon ^{ijk}=\frac{1}{\sqrt{g}} e_{ijk}$. No consigo entender como es que llega a dicha relacion para B.

Fíjate que $g_{ij} B^{i} T^{j}=0$ y $g_{ij}B^{i}N^{j}=0$, es decir, el vector binormal es ortogonal al vector tangente y al vector normal. Por tanto, el vector binormal es el producto vectorial del tangente por el normal. En notación de vectores escribirías $\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$, justamente en notación tensorial se escribe $B^{i}=\epsilon ^{ijk} T_{k} N_{j}$. Por tanto no hay ningún cálculo de por medio, es una implicación directa (si eres perpendicular a dos vectores en 3D, eres el producto vectorial entre estos vectores).

Por otro lado, luego el libro deja para demostración del lector la siguiente relacion.

$\frac{\delta B^{i}}{\delta s} = -\tau N^{i}$

¿Podrían explicarme cómo se derivan estas ecuaciones a partir de la definición y propiedades de los vectores $T^{i}$, $N^{i}$ y $B^{i}$? ¿Qué pasos matemáticos o consideraciones geométricas se utilizan para llegar a estas fórmulas?

Esa es la tercera fórmula de Frenet-Serret, se obtiene derivando el producto vectorial que define $B^i$. Su derivación es clásica y la encontrarás en todos los libros de geometría diferencial, en todo caso transcribo en notación vectorial:

$\dst\frac{d\vec{B}}{ds}=\frac{d}{ds}\vec{T}\times \vec{N}=\frac{d\vec{T}}{ds}\times \vec{N}+\vec{T}\times \frac{d\vec{N}}{ds}=\kappa \vec{N}\times\vec{N}+\vec{T}\times(-\kappa \vec{T}+\tau\vec{B})=\tau \vec{T}\times\vec{B}=-\tau \vec{N}$

Fíjate que $d\vec{N}/ds$ es despejado en la ecuación que pusistes arriba en términos de $\vec{T}$ y $\vec{B}$. En notación tensorial la derivación es idéntica, con el tensor de Levi-Civita por enmedio. En todo caso si tienes dudas puedo pasarlo a notación tensorial también.

Espero haberte ayudado.