Otras carreras Infimo y supremo

[cristianoceli]

Hola estoy comenzando a ver infimo y supremo y estoy complicado con calcular el infimo y supremo (puede que no exista) de este conjunto

$\{ n/(3n+1) \quad t.q. \quad n\in{\mathbb{N}} \}$

Saludos

[Alriga]

Re: Infimo y supremo

El supremo de un conjunto numérico es la menor de sus cotas superiores. El ínfimo es la mayor de sus cotas inferiores. En este caso:

-El ínfimo es claramente 0
-El supremo es el límite de la expresión para $n \rightarrow \infty$ , por lo tanto $\dfrac 1 3$
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Infimo y supremo

-El ínfimo es claramente 0

Los naturales empiezan en el 1. No sería el ínfimo $\dfrac {1}{1\cdot3+1}=\dfrac 14$ entonces?

[Alriga]

Re: Infimo y supremo

Yo he pensado en $\mathbb N$ como $\mathbb N$=0, 1, 2, ...
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Infimo y supremo

Los naturales empiezan en el 1. No sería el ínfimo $\dfrac {1}{1\cdot3+1}=\dfrac 14$ entonces?

Según mi profesor de Análisis matemático I, eso depende del autor. Hay matemáticos que incluyen el 0; otros no.


De todas formas, lo que estamos diciendo del supremo sólo tiene sentido si es una sucesión de números reales, algo que cristianoceli debería haber incluido.

[Richard R Richard]

Re: Infimo y supremo

Pensé que era algo saldado no de convenio...

El cero y los números naturales

El cero, por ser un concepto numérico especial, no se incluía en el conjunto de los números naturales ℕ, por convenio. Y se representaba como ℕ0, al conjunto de los números naturales cuando incluye al cero, por ello es posible encontrar muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. De hecho, aún no hay consenso al respecto.

A algunos matemáticos les resulta conveniente tratarlo como a los otros números naturales, por eso la discrepancia. Desde un punto de vista histórico el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlo natural.

Entonces el resultado depende del convenio usado para definir $\mathbb N$ . La justificación para no incluirl el 0 deja bastante que desear si fuese el único motivo.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Cero

[Alriga]

Re: Infimo y supremo

Según mi profesor de Análisis matemático I, eso depende del autor. Hay matemáticos que incluyen el 0; otros no.

Es lo que decía mi profesor de COU hace 40 años,... gracias por recordármelo. En mi subconsciente el cero es número natural, pero $\mathbb R^3$ tiene razón en que puede no serlo según el convenio. Sobre este tema hay encendidos debates: Encuesta: ¿es el cero un número natural?

Si miras la Wkipedia en español, dice que hay 2 versiones de los Axiomas de Peano, según sea el cero o el uno el primer natural: Axiomas de Peano

En cambio en la Wikipedia en inglés, francés y alemán de la misma entrada, no presentan esta dicotomía y directamente escriben como primer axioma de Peano que "Cero es un número natural" ¡Vaya debate ... !

Saludos.

[carroza]

Re: Infimo y supremo

El supremo de un conjunto numérico es la menor de sus cotas superiores. El ínfimo es la mayor de sus cotas inferiores. En este caso:

-El ínfimo es claramente 0
-El supremo es el límite de la expresión para $n \rightarrow \infty$ , por lo tanto $\dfrac 1 3$

Hola. Imagino que a Cristianoceli, como buen matemático, no le valdrá como prueba algo del tipo "al infimo es claramente cero" o "el supremo es el límite ...".

Quizás el busca algo de tipo:
"Supongamos que el supremo no es 1/3, sino que es inferior. Entonces debe haber un número real $\delta>0$ tal que $1/3 - \delta > a_n$, para todo n ...."

Saludos

[angel relativamente]

Re: Infimo y supremo

Hola.
Ver el límite en el infinito no necesariamente te da un supremo, pues la sucesión podría tener un máximo local para algún n y luego decrecer hacia el infinito. Primeramente tendría que ver que la sucesión es creciente, y si lo fuese entonces sí es cierto que el supremo es igual al límite en el infinito que es $1/3$. Para ver que es creciente basta darse cuenta que como $a_n = \dfrac{n}{3n+1}$ y $a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3n+4}$ se tiene que $a_{n+1}-a_n = \dfrac{1}{9n^n + 15 n + 4 }>0, \; \forall n\in \mathbb{N}$.

Saludos,

[cristianoceli]

Re: Infimo y supremo

Hola, gracias a todos por responder y por su interes en el tema. Me gusto mucho este debate hay muchas cosas que rescato además de reforzar muchos is conocimientos.


SALUDOS

[Samir M.]

Re: Infimo y supremo

Hola.

Como ya te comenté por otro lado, ten en cuenta que $\dfrac{m}{n+m} = 1 - \dfrac{n}{n+m}$. Claramente, el supremo es 1. Por otro lado, si fijas $m=1$ y tomas $n\to\infty$ claramente el ínfimo es 0, independientemente del convenio que adoptes sobre la pertenencia de éste a $\mathbb{N}$. Puedes demostrarlo suponiendo que es cota superior pero no supremo y llegar a una contradicción. Análogamente para el ínfimo.

Saludos.

[Fortuna]

Re: Infimo y supremo

Hola.

Como ya te comenté por otro lado, ten en cuenta que $\dfrac{m}{n+m} = 1 - \dfrac{n}{n+m}$. Claramente, el supremo es 1. Por otro lado, si fijas $m=1$ y tomas $n\to\infty$ claramente el ínfimo es 0, independientemente del convenio que adoptes sobre la pertenencia de éste a $\mathbb{N}$. Puedes demostrarlo suponiendo que es cota superior pero no supremo y llegar a una contradicción. Análogamente para el ínfimo.

Saludos.

Perdón, pero $\dfrac{m}{n+m} \ne \dfrac{n}{3n+1}$

[Richard R Richard]

Re: Infimo y supremo

Hola.

Como ya te comenté por otro lado, ten en cuenta que $\dfrac{m}{n+m} = 1 - \dfrac{n}{n+m}$. Claramente, el supremo es 1.
Saludos.

Creo que no como dice fortuna

$f=\dfrac{n}{3n+1}=1-\dfrac{3n+1}{3n+1}+\dfrac{n}{3n+1}=1-\dfrac{2n+1}{3n+1}=1-\dfrac{2+\frac 1n}{3+\frac 1n}$

claramente crecientes y monotonas

no puedo usar 0 ese es el motivo de mi primer mensaje.

si

$n\to 1\quad \to\quad f\to \dfrac 14$

$n\to \infty\quad \to\quad f\to \dfrac 13$

Saludos

[Alriga]

Re: Infimo y supremo

no puedo usar 0 ese es el motivo de mi primer mensaje.

Es que si se admite que cero es número natural, no puedes escribir $1-\dfrac{2+\frac 1n}{3+\frac 1n}$ para n=0

Sí puedes usar 0 aquí: $\dfrac{n}{3n+1}$

Si se admite 0 como primer natural, el conjunto en el que hay que buscar el supremo y el ínfimo es el formado por la columna de la derecha:

n	n/(3n+1)
0	0,00000000
1	0,25000000
2	0,28571429
3	0,30000000
…	…
10	0,32258065
11	0,32352941
12	0,32432432
…	…
100	0,33222591
101	0,33223684
…	…
1.000	0,33322226
1.001	0,33322237
…	…
1.000.000	0,33333322
…	…
infinito	1/3

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Infimo y supremo

Si claro alriga, totalmente de acuerdo con tigo intencionalmente lleve la fracción a esa forma... P El dolor de cabeza matematico viene cuando cualquier conjunto que dependa de $n^{-1}$ adolecerá de lo mismo. Así si el conjunto de los naturales incluye al 0 para asignar valor a n, la fracción $\frac 1n$ no debe usarse para calcular miembros del conjunto imagen.