1r ciclo ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

[inakigarber]

Buenas noches;

Me gustaría saber si alguien de vosotros pudiera indicarme donde poder conseguir información para para conocer (y entender) con detalle el desarrollo de las series de Fourier. Tendría que empezar desde un nivel básico para poder ir entendiendo el tema prácticamente desde cero.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

La operativa de como calcular el desarrollo en Serie de Fourier de una función periódica cualquiera esta bien explicado aquí:

Series de Fourier

Y también en la Wikipedia: Serie de Fourier

Saludos.

[inakigarber]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Gracias,

Me he bajado los enlaces que me has propuesto, me llevará un tiempo digerirlos. A ver si con un poco de suerte consigo aclarar ideas y desatascar algún asunto de la mecánica cuántica que me tiene atascado.

Saludos y gracias.

[Julián]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Señales y Sistemas, 2da Edicion - Alan V. Oppenheim & Alan S. Willsky

Contenidos:
[FONT=&amp]1 Señales y sistemas.[/FONT]
[FONT=&amp]2 Sistemas lineales invariantes en el tiempo.[/FONT]
[FONT=&amp]3 Representación por series de Fourier de señales periódicas.[/FONT]
[FONT=&amp]4 La transformada de Fourier en tiempo continuo.[/FONT]
[FONT=&amp]5 La transformada de Fourier en tiempo discreto.[/FONT]
[FONT=&amp]6 Análisis de tiempo y frecuencia de señales y sistemas.[/FONT]
[FONT=&amp]7 Muestreo.[/FONT]
[FONT=&amp]8 Sistemas de comunicación.[/FONT]
[FONT=&amp]9 La transformada de Laplance.[/FONT]
[FONT=&amp]10 La transformada z.[/FONT]
[FONT=&amp]11 Sistemas lineales retroalimentados.[/FONT]

[inakigarber]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Para practicar un poco e ir familiarizándome con el tema, he tratado de resolver la serie para el caso de una onda de "dientes de sierra" que variara entre $-T/2 \ y \ T/2$. El resultado me ha resultado más complicado de lo que había previsto inicialmente, por lo que solo voy a poner los resultados que he obtenido, en este caso los coeficientes me salen;

$a_0=0$,
$a_n=\dfrac{T[(\pi n)Sen(\pi n)+Cos(\pi n)-1]}{(\pi n)^2}$
$b_n=\dfrac{T[(-(\pi n)Cos(\pi n)+Sen(\pi n)]}{(\pi n)^2}$

¿Os suena que esto pueda ser correcto?
Saludos y gracias.

[Lorentz]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Creo que la solución que buscas está en esta página web, en la parte de sawtooth wave:

http://lpsa.swarthmore.edu/Fourier/Series/ExFS.html

Si es una función impar solamente quedarán distintos de 0 los coeficientes que vayan con el seno, es decir:

$\dst b_n=-\frac{2A}{\pi n} \left(-1\right)^n$

Donde $A$ es la amplitud de la onda.

[inakigarber]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Gracias por la respuesta.

El resultado $b_n$, para una amplitud A=1 sí me coincide, tendré que revisar nuevamente el otro resultado.

[Lorentz]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

El otro resultado es muy fácil de obtener, míralo de este modo, una función impar solamente puede ser combinación de funciones impares, y del mismo modo con funciones pares.

Así, para funciones pares la serie de Fourier que habría que emplear sería:

$\dst \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{2 \pi n}{T} t\right)$

Mientras que para funciones impares:

$\dst \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{2 \pi n}{T} t\right)$

Si la función no es ni impar ni par se emplea la expresión general:

$\dst \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{2 \pi n}{T} t\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{2 \pi n}{T} t\right)$

Un saludo

PD:

En relación al problema que tienes en el hilo de la relación de Born, creo recordar que te lo mencioné en los posts #12 y #15, pero dado que tiene que ver con el tema te lo comento de nuevo.

Otra forma de escribir el desarrollo general de las series de Fourier es:

$\dst \sum_{n=-\infty}^{\infty}$ $\dst c_n e^{i \hspace{0,05 cm} 2 \pi n \nu \hspace{0,05 cm} t}$

Donde $\nu$ es la frecuencia $\dst \nu=\frac{1}{T}$

En las expresiones que hay en el blog http://la-mecanica-cuantica.blogspot...-mecanica.html parece que les falta el término $n$.

[inakigarber]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Siguiendo los apuntes, he tratado de resolver los coeficientes de Fourier para $1+cos(3t)$ y periodo $T=\frac{2\pi}{3}$, pero he debido perderme;

Es una fonción par, por tanto $b_n=0$
Me salen $a_0=\dfrac{2}{T}[T+\dfrac{Sen(3T)}{3}]$, y $a_n=\dfrac{2}{T}[\dfrac{Sen(3nt}{3n}+\dfrac{n Cos(3t)Sen(3nt)-Sen(3t)Cos(3nt)}{3(n^2-1)}]$.

Esto último supongo que está mal.

[Alriga]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

... he tratado de resolver los coeficientes de Fourier para $1+cos(3t)$ ...

Iñaki, observa que el desarrollo en Serie de Fourier de la función:

$f(t)=1+\cos(3t)$

debería necesariamente darte ...

$1+\cos(3t)$

Todo lo que no te de eso, significa que te equivocas en las operaciones. Saludos.

[Lorentz]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Exactamente, tal y como te dice Alriga, la propia función es su serie de Fourier. Esto es porque de lo que se trata al usar series de Fourier es de descomponer funciones complejas en funciones más manejables como las trigonométricas, y en la función que presentas eso ya se da inicialmente.
Lo que te ocurre en este caso es similar a cuando realizas una serie de Taylor a un polinomio, ya que obtienes el mismo polinomio.

Un saludo.

[Alriga]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

... Lo que te ocurre en este caso es similar a cuando realizas una serie de Taylor a un polinomio, ya que obtienes el mismo polinomio ...

Buen ejemplo Lorentz. Otro ejemplo que se me ocurre: es como si te piden que calcules cuál es la fracción equivalente irreducible de $\dfrac 1 3$

he tratado de resolver los coeficientes de Fourier para $1+\cos(3t)$ y periodo $T=\dfrac{2\pi}{3}$ ...

En este caso, por ser la función par de período $T=\dfrac{2 \pi}3$ hay que aplicar:

$S(t)=\dst \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(3 n t \right)$

Vamos a calcular $a_0$ para que veas que nos dará 2, para que así salga $\dfrac{a_0}2=1$ El valor de $a_0$ se calcula mediante:

$\dst a_0 = \dfrac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t) dt$

$\dst a_0 = \dfrac{3}{\pi} \int_{-\pi/3}^{\pi/3}(1+\cos 3 t) \ dt=\dfrac{3}{\pi}\Big[t+\dfrac 1 3\sin 3t\Big]_{-\pi/3}^{\pi/3}$

$a_0=\dfrac 3{\pi}\left [ \Big (\dfrac{\pi}3-\dfrac{-\pi}3\Big)+\dfrac 1 3\left ( \sin \left (3\dfrac{\pi}3 \right ) - \sin \left (3\dfrac{-\pi}3 \right ) \right) \right]$

$a_0=\dfrac 3{\pi}\Big [\dfrac{2\pi}3+0\Big]=2$ como debe ser.

A partir de aquí, mira si puedes continuar. Al hacer las integrales debe salirte que $a_1=1$ y que $a_n=0 \ \forall n>1$ . Por lo tanto:

$S(t)=\dfrac 2 2+1 \cdot \cos (3\cdot 1 \cdot t)+0+0+ \dots = 1+\cos 3t$

Saludos.

[inakigarber]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

Buenas noches;
El coeficiente $a_0$ si me sale, pero me pierdo a la hora de calcular los coeficientes $a_n \ y \ b_n$.

[Alriga]

Re: ¿Hay algún lugar donde pueda recibir información sobre desarrollo de series de Fourier?

$\dst a_n=\dfrac 3{\pi}\Big [ \int_{-\pi/3}^{\pi/3}(1+\cos 3t)(\cos 3nt) dt \Big]$

$\dst a_n=\dfrac 3{\pi}\Big [ \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos 3nt \ dt+\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos 3t \ \cos 3nt \ dt \Big]$

$a_n=\dfrac 3{\pi}\ \dfrac{2\sin n\pi}{3n}+\dfrac 3{\pi}\ \dfrac{2n\sin n\pi}{3-3n^2}$

$a_n=0+\dfrac 3{\pi}\ \dfrac{2n\sin n\pi}{3-3n^2}$

$a_n=0 \ \forall n >1$

Para n=1 aplico l'Hopital para hacer el límite, que es del tipo $\dfrac 0 0$

$\dst a_1=\lim_{n\rightarrow 1}\dfrac 3{\pi}\ \dfrac{2n\sin n\pi}{3-3n^2}=1$

$a_1=1$

Saludos.