Divulgación Transformación de Möbius

[The Higgs Particle]

Hola, he estado leyendo sobre latransformación de Möbius y la verdad es que me he hecho un poco de lío porque vienen en general textos con un nivel matemático muy alto (por ejemplo, me empiezan a hablar de grupos de Lie) y me pierdo mucho de lo que dicen. Sea una transformación de Möbius:

$f(z) = \dst \frac{az + b}{cz + d}$

Ésta aparece múltiples veces en mis ejercicios de variable compleja. Sin embargo, lo único que sé de ella es que se puede expresar como una composición de transformaciones holomorfas (traslaciones, giros, etc), de modo que es una función analítica y que preserva los ángulos. Además, que transforma, digámoslo así, todo lo que pilla en círculos/circunferencias.

Sin embargo, ¿por qué es tan importante esta función? ¿Tiene, además, alguna aplicación concreta en la física?

Y otra cosa es que, efectivamente, es capaz de "crear" círculos en regiones donde no se encontraba el dominio que ha transformado. Y he leído algo como que iterando este proceso se consiguen fractales. ¿Esto es así? ¿Cuál es su relación concreta con los fractales?

[Weip]

Re: Transformación de Möbius

Hola, he estado leyendo sobre latransformación de Möbius y la verdad es que me he hecho un poco de lío porque vienen en general textos con un nivel matemático muy alto (por ejemplo, me empiezan a hablar de grupos de Lie) y me pierdo mucho de lo que dicen. Sea una transformación de Möbius:

$f(z) = \dst \frac{az + b}{cz + d}$

Ésta aparece múltiples veces en mis ejercicios de variable compleja. Sin embargo, lo único que sé de ella es que se puede expresar como una composición de transformaciones holomorfas (traslaciones, giros, etc), de modo que es una función analítica y que preserva los ángulos. Además, que transforma, digámoslo así, todo lo que pilla en círculos/circunferencias.

Sin embargo, ¿por qué es tan importante esta función? ¿Tiene, además, alguna aplicación concreta en la física?

Y otra cosa es que, efectivamente, es capaz de "crear" círculos en regiones donde no se encontraba el dominio que ha transformado. Y he leído algo como que iterando este proceso se consiguen fractales. ¿Esto es así? ¿Cuál es su relación concreta con los fractales?

Buenas. Ciertamente las transformaciones de Möbius surgen en contextos más avanzados. Aparecen en numerosas ramas de las matemáticas: análisis complejo, geometría proyectiva, geometría diferencial, teoría de números... Yo no domino ni mucho menos todo lo que tienen que ver con ellas así que este mensaje tómatelo como un resumen mientras esperas a otro usuario que sepa más.

El plano complejo no es el sitio más adecuado para tratar con funciones racionales porque tienen polos. El lugar más natural para hablar de estas funciones en el contexto del análisis complejo puede ser construido añadiendo un punto del infinito que permite compactificar el plano complejo en la llamada esfera de Riemann $\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty\right\}$. Las transformaciones de Möbius son holomorfas en la esfera de Riemann y en particular son transformaciones conformes, es decir, preservan los ángulos. Lo que te han hecho demostrar en clase puede utilizarse para probar que las transformaciones de Möbius forman un grupo llamado grupo proyectivo lineal especial $\text{PSL}_2(\mathbb{C})$. El nombre del grupo puede parecer un poco extraño en este contexto. Realmente ver las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann es equivalente a verlas como proyectividades de la recta proyectiva compleja $\mathbb{CP}^1$, que es la esfera de Riemann desde el punto de vista de la geometría proyectiva, de ahí el nombre (queda raro llamar recta a una esfera pero en realidad tiene sentido visto desde esta geometría). Si se cambia el cuerpo base por el anillo de los enteros entonces al grupo proyectivo lineal especial se le llama grupo modular porque puede ser usado para definir las formas modulares, cuya relación con las curvas elípticas dejaron paso a la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat. El grupo modular es subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico, por tanto las transformaciones de Möbius preservan la distancia hiperbólica.

Aplicaciones a la física no conozco. Sé que estas transformaciones tienen relación con los grupos de Lorentz y de Poincaré (dejan invariante la forma cuadrática de Minkowski entre otras cosas) y también las he visto ojeando libros de cuerdas en el capítulo de teoría conforme de campos (supongo que tiene sentido pues las transformaciones de Möbius son conformes), pero de estos temas no tengo ni idea.

Espero haberte ayudado.