Avanzado Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

[Visitante]

Sabemos que los números de siempre, los de contar, son infinitos.

Para deducirlo basta con imaginar la secuencia 1,2,3,…,n donde para cada “n” encontrado se puede pensar en un “n+1” que le siga. Concluyendo así que son incontables e infinitos..

También se sabe, o cree saberse, que el gap entre números primos puede ser tan grande como se desee, tenemos un gap de 1 entre los números “2 y 3”, luego tenemos un gap de 2 entre los números primos gemelos, por ejemplo, “3 y 5” ó “5 y 7”, y luego sabemos que para cualquier gap de la forma “2n” podemos encontrar un gap “2n+2” que sea superior…

Esto nos puede hacer suponer que existirá un gap entre primos Infinito, siguiendo por analogía el razonamiento que tuvimos para con los números de siempre, si n+1 me hace concluir que son infinitos, 2n+2 también me debería llevar a esa conclusión

Pero, y aquí está mi duda, también está demostrado que los números primos son infinitos, no importa hasta que numero primo se encuentre, se sabe que habrá un número primo superior a ese, siguiendo el razonamiento mostrado por Euclides.

Y esto es lo que me lleva a contradicción, si siempre habrá un número primo superior, entonces no podrá nunca haber un gap entre primos infinito. Y si no puedo concluir que 2n+2 me lleva hasta el infinito, ¿cómo es que si puedo concluir que n+1 si lo hace?

Alguien que me pueda dar luces sobre este asunto, o tal vez elaborar la pregunta de una forma matemáticamente más rigurosa.

Saludos.

[Weip]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Maq77. Realmente no hay contradicción y es más una cuestión de lenguaje que otra cosa.

Esto nos puede hacer suponer que existirá un gap entre primos Infinito, siguiendo por analogía el razonamiento que tuvimos para con los números de siempre, si n+1 me hace concluir que son infinitos, 2n+2 también me debería llevar a esa conclusión

Cuidado: un gap entre primos es imposible que sea infinito pues el gap es la distancia que hay entre dos primos sucesivos. Creo que lo que quieres decir es que el conjunto de gaps es infinito, es decir, que hay infinitos gaps.

Pero, y aquí está mi duda, también está demostrado que los números primos son infinitos, no importa hasta que numero primo se encuentre, se sabe que habrá un número primo superior a ese, siguiendo el razonamiento mostrado por Euclides.

De nuevo permíteme la corrección porque es importante: los números primos no son infinitos. Lo que demostró Euclides es que el conjunto de números primos es infinito, es decir, existen infinitos números primos.

Y esto es lo que me lleva a contradicción, si siempre habrá un número primo superior, entonces no podrá nunca haber un gap entre primos infinito. Y si no puedo concluir que 2n+2 me lleva hasta el infinito, ¿cómo es que si puedo concluir que n+1 si lo hace?

Teniendo en cuenta estas aclaraciones fíjate que no hay contradicción alguna pues la conclusión es que si hay infinitos primos entonces hay infinitos gaps, cosa que tiene todo el sentido del mundo. Al final todo se debe a que no es lo mismo "gap infinito" que "infinitos gaps" al igual que "primo infinito" no es lo mismo que "infinitos primos". Las segundas opciones son las que cuadran en tu texto y llevan a afirmaciones ciertas.

Espero haberte ayudado.

Edito: Releyendo tu mensaje, déjame ser titismiquis:

[FONT=Verdana]Para deducirlo basta con imaginar la secuencia 1,2,3,…,n donde para cada “n” encontrado se puede pensar en un “n+1” que le siga. Concluyendo así que son incontables e infinitos..[/FONT]

[FONT=Verdana]
Los números naturales $1, 2, 3, ...$ sí son contables. Demostración empírica: puedes contar con los dedos de una mano. En cambio no puedes contar con los dedos números que pertenezcan a conjuntos incontables. Por ejemplo, no puedes contar los números reales. De forma más técnica, un conjunto es contable si existe una biyección con los naturales. Los naturales es evidente que están en biyección consigo mismos. En cambio los reales no están en biyección con los naturales (demostrado por Cantor, igual has oído hablar de esta prueba, es famosa). Fíjate que esto sugiere que el número de reales es más grande que el número de naturales: existen infinitos más grandes que otros. Al tamaño de los reales se le llama cardinal del contínuo $\mathfrak{c}$ mientras que al tamaño de los naturales se le llama $\aleph_0$ (alef zero).
[/FONT]

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Maq77,
Quería aprovechar para decir que se cumpla una propiedad para unos números no es condición necesaria para que sea verdad, requiere de una demostración.

También me gustaría preguntar una cosa, en el plano real es cierto que el conjunto de los primos es infinito como demostró Euclides, sin embargo, en el plano complejo ¿Sigue siendo infinito? ¿Y acaso existen? Es que el otro día leí un twitter que, por ejemplo, el número 2 no es primo en el plano complejo pues 2=(1+i)(1-i)

[Weip]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

También me gustaría preguntar una cosa, en el plano real es cierto que el conjunto de los primos es infinito como demostró Euclides, sin embargo, en el plano complejo ¿Sigue siendo infinito? ¿Y acaso existen? Es que el otro día leí un twitter que, por ejemplo, el número 2 no es primo en el plano complejo pues 2=(1+i)(1-i)

Efectivamente la teoría de números que has aprendido en primero puede generalizarse mucho y es posible hablar de números primos en contextos muy variados. De hecho, a eso se dedica la teoría de anillos, así que en alguna asignatura de estructuras algebraicas o parecido lo verás. La pregunta clave es ¿en qué anillos es cierto el teorema fundamental de la aritmética? No en todos los anillos se cumple, pero hay algunos en los que bajo ciertas condiciones sí se sumple. Estos son los llamados dominios de factorización única. Tampoco debería sonarte tan raro: llevas años trabajando con polinomios irreducibles, que no son nada más y nada menos que la generalización de los números primos para polinomios.

Sobre lo que has dicho, un detalle: en la recta real no hay primos. Te dejo pensar el motivo, porque es el mismo por el cual no hay primos en los complejos. Eso sí, existen subanillos de los complejos que sí tienen primos. Por ejemplo tienes los enteros gaussianos, que son números complejos cuya parte real e imaginaria son enteros. Este enlace sobre primos gaussianos te puede resultar interesante.

[Jaime Rudas]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola, Maq77:
Lo que voy a plantear no es del todo riguroso, pero creo puede ayudarte a ver dónde falla tu argumento:

Sabemos que los números de siempre, los de contar, son infinitos.

Para deducirlo basta con imaginar la secuencia 1,2,3,…,n donde para cada “n” encontrado se puede pensar en un “n+1” que le siga. Concluyendo así que son incontables e infinitos..

También se sabe, o cree saberse, que el gap entre números primos puede ser tan grande como se desee, tenemos un gap de 1 entre los números “2 y 3”, luego tenemos un gap de 2 entre los números primos gemelos, por ejemplo, “3 y 5” ó “5 y 7”, y luego sabemos que para cualquier gap de la forma “2n” podemos encontrar un gap “2n+2” que sea superior…

Esto nos puede hacer suponer que existirá un gap entre primos Infinito, siguiendo por analogía el razonamiento que tuvimos para con los números de siempre, [...]

Esto se podría traducir así:

Los números de contar son infinitos porque, para cada número de contar n, resulta que n+1 también es un número de contar. Por analogía, un gap sería infinito si para cada m del gap resultara que m+1 también pertenece al gap. Sin embargo, cada gap tiene un número S que es el superior y, por tanto, S+1 no pertenecerá al gap, por lo que, para ese número, no se cumplirá la condición de infinitud que establecimos y, en consecuencia, no puede haber un gap infinito.

Saludos.

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Maq77.
Cuidado: un gap entre primos es imposible que sea infinito pues el gap es la distancia que hay entre dos primos sucesivos. Creo que lo que quieres decir es que el conjunto de gaps es infinito, es decir, que hay infinitos gaps.

Pero si hay infinitos gaps y cada gap en particular debe ser un intervalo superior entre dos números primos, y son dos funciones que crecen conjuntamente, ¿Como es que el conjunto de todos los Gaps puede seguir hasta el infinito sin hacer que el intervalo de un Gap en particular lo haga?

Si ya registre los gaps 1,2,4,6,8 ya tengo 5 gaps registrados, para contabilizar uno nuevo tendria que ser de un intervalo de al menos 10 numeros entre dos primos, entonces el 6to gap tiene la propiedad de ser mayor en longitud que los 5 anteriores. Como esta relación o propiedad se mantendrá así siempre, podría inferir que el intervalo entre dos numeros primos sucesivos también crecerá indefinidamente, pero aqui es donde la palabra "indefinidamente" no puede entrar, no cabe, porque tal como aclara Weip Euclides demostró que el conjunto de los números primos es infinito y por tanto siempre se podrá contar con un número primo "superior" que cierre a cualquier Gap en particular.

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Teniendo en cuenta estas aclaraciones fíjate que no hay contradicción alguna pues la conclusión es que si hay infinitos primos entonces hay infinitos gaps, cosa que tiene todo el sentido del mundo. Al final todo se debe a que no es lo mismo "gap infinito" que "infinitos gaps" al igual que "primo infinito" no es lo mismo que "infinitos primos". Las segundas opciones son las que cuadran en tu texto y llevan a afirmaciones ciertas.

Espero haberte ayudado.

Claro que me ayudas, es por eso que siempre recurro a hacer mis preguntas y plantear mis dudas en este foro.

Estamos de acuerdo en que no es lo mismo "gap infinito" que "infinitos gaps", la preguta que se me ocurre acá es:

¿Cómo pueden haber Infinitos Gaps, sin considerar la existencia de un "Gap Infinito", si sabemos que cada nuevo Gap en particular registrado debe ser superior al anterior?

[sater]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Buenas, creo que te refieres a que si $a_n$ son numeros primos, la diferencia $a_{n+1}-a_n$ tiende a crecer, pero en un vistazo rápido a una lista de números primos eso no parece ocurrir: http://www.wikiprimes.com/lista-de-numeros-primos/

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Los números de contar son infinitos porque, para cada número de contar n, resulta que n+1 también es un número de contar. Por analogía, un gap sería infinito si para cada m del gap resultara que m+1 también pertenece al gap. Sin embargo, cada gap tiene un número S que es el superior y, por tanto, S+1 no pertenecerá al gap, por lo que, para ese número, no se cumplirá la condición de infinitud que establecimos y, en consecuencia, no puede haber un gap infinito.

Saludos.

Saludos Jaime,

Mi razonamiento, un poco infantil y falto de rigurosidad fue:

Si me dices un número cualquiera, yo te puedo decir un número superior, para lo cual solo tengo que sumar "1" al que me acabas de dar...

Si me dices cualquier gap en particular, yo te puedo localizar un gap superior, para lo cual solo tengo que sumar "2" a tu intervalo y buscar entre el infinito conjunto de los números primos dos consecutivos que esten a esa "distancia"...

Lo que me molesta un poco mentalmente es que para el primer caso acepte inmediatamente que puedo seguir indefinidamente pensando en una especie de "Inducción Completa", pero en el segundo caso estoy seguro que no es aplicable ese mismo razonamiento...

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Buenas, creo que te refieres a que si $a_n$ son numeros primos, la diferencia $a_{n+1}-a_n$ tiende a crecer, pero en un vistazo rápido a una lista de números primos eso no parece ocurrir: http://www.wikiprimes.com/lista-de-numeros-primos/

Gracias Sater, pero no entiendo que quieres decir... Si pudieras expandir más tu argumento te lo agradecería..

Si te refieres a que no son linealmente dependientes tienes razón, siempre seguiré encontrando por ejemplo un par de primos gemelos, pero a la larga, tal como lo explicó Weip podré encontrar un nuevo gap no registrado con anterioridad y que sea superior a los anteriores, si no fuera este el caso, entonces no prodría tener "Infinitos Gaps"

Aprovecho para aclarar que para mi, una vez que encuentro un gap de 2 entre dos numeros primos gemelos, ya no los vuelvo a contabiliazar, ya encontre al 2gap, mi conteo entones se refiere a:

1gap, 2gap, 4gap, 6gap,..., indefinidamente...

Y lo que intento reconciliar con este pensamiento es que cada gap es mayor que los anteriores

1gap < 2gap < 4gap < 6gap también indefinidamente ????????????

Saludos.

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Hola Maq77,
Quería aprovechar para decir que se cumpla una propiedad para unos números no es condición necesaria para que sea verdad, requiere de una demostración.

Exactamente Malevolex, es por está razón que recurro al foro, no tengo una demostración rigurosa y quería saber si alguien se había planteado este asunto de forma más concreta.

Sobre el plano de los números complejos y los números primos no tengo mucho conocimiento, asi que me leeré el enlace que nos proporciona Weip

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Los números naturales $1, 2, 3, ...$ sí son contables. Demostración empírica: puedes contar con los dedos de una mano. En cambio no puedes contar con los dedos números que pertenezcan a conjuntos incontables. Por ejemplo, no puedes contar los números reales. De forma más técnica, un conjunto es contable si existe una biyección con los naturales. Los naturales es evidente que están en biyección consigo mismos. En cambio los reales no están en biyección con los naturales (demostrado por Cantor, igual has oído hablar de esta prueba, es famosa). Fíjate que esto sugiere que el número de reales es más grande que el número de naturales: existen infinitos más grandes que otros. Al tamaño de los reales se le llama cardinal del contínuo $\mathfrak{c}$ mientras que al tamaño de los naturales se le llama $\aleph_0$ (alef zero).
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Gracias Weip, si estoy familiarizado con los trabajos de Georg Cantor sobre "el infinito" o "los infinitos" más apropiamente hablando, y también se que cada vez que se menciona la palabra "INFINITO" en un foro se llega a debates acalorados porque cada quien lo interpreta a su manera muy particular.

Yo particularmente acepto que los numeros contables son infinitos y que pertenecen a un conjunto de infinito más pequeño que los números reales, que ya no son contables y tengo conocimiento de infitos aun más grandes que esos, pero no queria liar el tema, aunque si consideras que para aclarar el asunto debas utilizar conceptos más profundos espero te sientas en total libertad de hacerlo, que trataré de seguirte el paso.

[Jaime Rudas]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Si me dices un número cualquiera, yo te puedo decir un número superior, para lo cual solo tengo que sumar "1" al que me acabas de dar...

Si me dices cualquier gap en particular, yo te puedo localizar un gap superior, para lo cual solo tengo que sumar "2" a tu intervalo y buscar entre el infinito conjunto de los números primos dos consecutivos que esten a esa "distancia"...

Lo que me molesta un poco mentalmente es que para el primer caso acepte inmediatamente que puedo seguir indefinidamente pensando en una especie de "Inducción Completa", pero en el segundo caso estoy seguro que no es aplicable ese mismo razonamiento...

Sí se puede aplicar, pero hay que aplicarlo en forma correcta, como ya lo explicó Weip.

Si me dices un número cualquiera, yo te puedo decir un número superior, para lo cual solo tengo que sumar "1" al que me acabas de dar...

De esto podrías deducir (sin mucho rigor) que hay infinitos números de contar, pero de esto no puedes deducir que hay un número de contar que sea infinito.

Si me dices cualquier gap en particular, yo te puedo localizar un gap superior, para lo cual solo tengo que sumar "2" a tu intervalo y buscar entre el infinito conjunto de los números primos dos consecutivos que esten a esa "distancia"...

De esto podrías deducir que hay infinitos gaps, pero de esto no puedes deducir que hay un gap que sea infinito.

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

La verdad es que llevo tiempo trabajando en esto, y como ando algo bloqueado o atorado quería saber otras opiniones para ver por donde seguir

minuto 10 en adelante si no tienen tiempo o ganas para verlo completo

o más recientemente...

El objetivo es estudiar en una circunferencia la distribución y frecuencia de los números primos, los Gaps, Primos Gemelos, etc...

Creo que en los videos se muestran algo mejor mis inquietudes y dudas así como también el enfoque que le estoy intentando dar al estudio, bastante empírico por cierto, sobre el asunto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Y esto es lo que me lleva a contradicción, si siempre habrá un número primo superior, entonces no podrá nunca haber un gap entre primos infinito.

permiteme una vision un tanto diferente, creo que como te han explicado hay diferentes infinitos, unos mas grandes que otros...

no se si habras leido este hilo

http://forum.lawebdefisica.com/threa...C3%A1tico-2018

alli se eligio un gap de 2018 entre numeros primos consecutivos.... la deducción que arme para demostrar los números primos mínimos que presentan ese gap es valida para un gap arbitrario. Y mientras se conozcan todos los números primos inferiores al número del gap que buscas, entonces podrás afirmar que es posible hallar dicho el gap que llamare $x$...

Como dije primero debes suponer que tienes la lista de todos los números primos hasta el valor del gap mas uno (x+1 )y contarlos llamando al valor $n$

luego el número $y=\prod\limits^{n}_{i=1} p_i$

donde $p_i$ son todos los primos inferiores al gap , entonces $y$ es compuesto ya que $\exists z\in \mathbb N$ tal que $\, z=\dfrac{y}{p_i}$ con $i \in [1,n]$

entonces

$w=1+y$ verás que $y$ puede ser o no ser un número primo, como demostró allí Alriga, de la mano de Euclides, en ese caso allí abrimos la cuenta en 0

luego

$w=2+y$ verás que no es un número primo(es divisible por 2), pertenece al gap la cuenta en 1 pues si $\exists z\in \mathbb N$ tal que $z=\dfrac{y}{p_i}$ con $i \in [1,n]\,\to\, w=(z+1)p_i$ cuando $p_i=2$

así

$w=3+y$ verás que no es un número primo(es divisible por 3), pertenece al gap la cuenta en 2 pues $\exists z$ tal que $, w=(z+1)p_i$ cuando $p_i=3$

y sucesivamente llegamos a

$w=x+1+y$ verás que no es un número primo, pertenece al gap la cuenta en x pues $\exists z$ tal que $w=(z+1)p_i$ cuando $p_i=x$ por eso aunque x sea primo debo conocerlo y pertenecer a la lista de primos.

ahora bien como $x$ es arbitrario puede ser infinito por lo tanto puedes tener un rango gap infinito.

A la vez debes ser cuidadoso porque nadie te puede asegurar que el gap sea ese número $x$ exacto lo que si puedes asegurar es que mínimamente habrá una diferencia $x$ entre dos números primos consecutivos.

Es decir si cuentas con todos los primos hasta los infinitamente grandes puede obtener un gap lo infinitamente grande como quieras...

como moraleja

Me fascinó, es muy chocante que los primos sean infinitos y que al mismo tiempo puedas conseguir que sean tan escasos como tú quieras.

[Carlos Bethencourt]

Totalmente de acuerdo...No he encontrado el teorema de esto. Pero yo he llegado a la misma conclusión.

[Richard R Richard]

No es un teorema, pero puedes convertirlo en uno!!!, redáctalo y demuéstralo, pues es una deducción lógica y por lo tanto demostrable.

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Es decir si cuentas contas con todos los primos hasta los infinitamente grandes puede obtener un gap lo infinitamente grande como quieras...

como moraleja

Gracias Richard por participar,

Mi idea de visualizar los numeros primos dentro de una circunferencia surgió principalmente para demostrar que los primos eran cada vez más escasos, pero me encontré con lo opuesto, representados así no había forma de quitarmelos de encima.

Lo que hace el programa es representar una cierta cantidad de puntos sobre una circunferencia, haciendo que los puntos queden equidistantes entre si, yo creia que al representar un numero cada vez mayor iba a encontrarme con que todos los números primos se iban a encerrar en el primer cuadrante hasta que por fin me saliera el siguiente primo.

Pero me lleve la sorpresa de que esto nunca ocurre, o al menos nunca me ocurrió hasta el número 50.000.000.000 que logré representar, cosa que sé no es una demostración, tal como indica Malevolex.

Eso lo mostré en el siguiente Video:

Cada vez que barria de la circunferencia una cierta cantidad de números primos, estos eran sustituidos por una cantidad aún mayor de estos.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

El asunto es que yo tengo dos representaciones para el GAP entre primos:


a.- Si represento a los números en una sola circunferencia el GAP entre primos queda determinado por el ángulo que forman ambos primos, este ángulo para los primeros números es alto, cuando estoy representado pocos números, pero luego se va haciendo cada vez más pequeño. Ningún ángulo así representado va a ser mayor de 360 grados por lo que fue una manera de acotar el tamaño del gap, o al menos del ángulo del gap.




b.- Si represento a los números en órbitas concéntricas, donde cada salto de órbita representa a un GAP superior, entonces necesito que sean infinitas órbitas, o al menos eso me sugiere el programa. A medida que voy colocando más puntos a representar voy encontrando puntos en órbitas más distantes del centro.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

a.- Si represento a los números en una sola circunferencia el GAP entre primos queda determinado por el ángulo que forman ambos primos, este ángulo para los primeros números es alto, cuando estoy representado pocos números, pero luego se va haciendo cada vez más pequeño. Ningún ángulo así representado va a ser mayor de 360 grados por lo que fue una manera de acotar el tamaño del gap, o al menos del ángulo del gap.

En definitiva lo que estas representando es

$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$


siempre te va a dar más denso la parte superior que la inferior, por lo que la densidad simpre va disminuyendo,(en rigor diverge) . siempre es más difícil encontrar el siguiente primo, por dos motivos cada vez hay más primos inferiores al buscado, y a que hay posibilidades de gaps más grandes dentro del conjunto a medida que te acercas a los 360°.

b.- Si represento a los números en órbitas concéntricas, donde cada salto de órbita representa a un GAP superior, entonces necesito que sean infinitas órbitas, o al menos eso me sugiere el programa. A medida que voy colocando más puntos a representar voy encontrando puntos en órbitas más distantes del centro.

Exacto ,de eso hablaba mi post anterior, siempre puedes encontrar un gap más grande al que ya has dibujado, lo único necesario para hallarlo es disponer de los números primos inferiores al gap buscado más una unidad.

[sater]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Vale, creo que ya entiendo lo que decías. Sobre este tema tengo poca (ninguna) idea, así que dejo un link a la página de wikipedia donde lo tratan por si es de utilidad: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

[Visitante]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

La duda está esclarecida, ya veo que no hay contradicción

El conjunto {1,2,3,4,5… } es infinito, pero ninguno de los dígitos o valores particulares pertenecientes al conjunto es infinito.

Del mismo modo el conjunto {1gap, 2gap, 4gap, 6gap, …} es infinito, pero ninguno de sus valores particulares es infinito.

Gracias a Weip, Malevolex, Sater, Jaime y a Richard lo entendí por fin.

También me doy cuenta que mi error proviene del mal uso que le doy al lenguaje de las matemáticas y que el acercamiento que hago de los temas de la teoría de números es muy empírico.

La herramienta que diseñe no intenta ser una “demostración” de nada, solo es una especie de “Criba” de números primos automatizada, y una manera tal vez más versátil y dinámica de mostrar a los números primos, en lugar de verlos en una rígida tabla a una cantidad determinada de columnas, o en una hoja acomodados siguiendo una espiral.

Gracias a todos por su tiempo, paciencia y explicaciones de verdad que me son de mucha utilidad.

Saludos.