Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

[Richard R Richard]

Comprendo lo que me quieres explicar. Pero entiendo como cota otra cosa, haciendo referencia a lo que se hablaba en otros hilos ,fijate que mi debate siempre fue hacia

..... hace que sea imposible la existencia de un "gap" infinito entre dos primos. Pero además existe un teorema matemático, que se llama Teorema de Bertrand–Chebyshev, (inicialmete conjeturado por Bertrand y posteriormente demostrado por Chebyshev), que proporciona el resultado específico que acota superiormente el “gap” entre dos números primos consecutivos:

El teorema dice sencillamente, que el “gap” entre un número primo “n” y el siguiente número primo, es siempre menor que “n”

Teorema de Bertrand–Chebyshev

Si como base admites, que siempre hallarás un primo superior, la diferencia entre este y el anterior estará acotada y menor al valor del primo, lógico, claro y sencillo , pero cuál es la cota del primo .... no tiene, entonces el gap tampoco...

No creo haya excepción a la regla si $n$ crece el gap mínimo crece, si $n$ es infinito entonces el gap también lo será.

Cuando digan que encontraron el número z=123456.... o el que sea, con todas las cifras que se le puedan poner y me digan que no hay un gap superior a ese z, juro que me pongo a calcular uno más grande que la cota...

Esa es mi definicion de cota, z,


Haber si puedo explicarme...
Supongamos que tenemos el método para ir hallando uno a a uno los números primos, hasta el mas grande que queramos...

empezamos

$P={2,3,5,7,11,13,17,19....}$

a su vez

$G_i=P_{i+1}-P_{i}$

$G={1,2,,2,4,2,4,2.....}$

pero conocidos esos números primos

$\prod\limits_1^8 p_i-1=53\cdot197\cdot929$
$\prod\limits_1^8 p_i=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19$
$\prod\limits_1^8 p_i+1=347\cdot27953$

los números primos superior e inferior para ese gap son 9699667 y 9699713 con un gap de tamaño de 46 , para el contable 8 de los primos, ese numero es mayor que cualquiera de los primos del primorial, luego sirve de ejemplo que exista un gap mayor, que cualquiera de los primos que componen el primorial compuesto hasta cualquier contable N y como mínimo hay dos subgrupos con gap de tamaño $p_N-1$ mínimo... como no puedes limitar el valor de $P_N$ tampoco el valor $P_N-1$ es decir no puedes limitar el valor de los Gap, si puedes saber es que para un $P_N$ dado se cumple que $P_{N-1} \geq \frac{P_N} 2$ es decir que el gap hasta ese primo restado su anterior si tiene cota, pero a medida que sube N esa cota aumenta , y no hay tope del mismo modo que no lo hay para los primos...

Estamos hablando de dos conceptos de cota diferente

Si no pones limite al valor que puede tomar un primo, como podría tener limite la diferencia entre el y su anterior, ya se que siempre voy a tener un Primo superior ,sino ya no habría gap, y el conjunto de los primos sería finito.
Por la misma razón que siempre hay un primo entre n y 2n , sin limite para n la maxima diferencia entre primos es $n=2n-n$ y si n no tiene límites entonces el gap no tiene límites...

Aver si voy por el absurdo, fijo la cota en 123456...... o z es lo mismo, empezamos a buscar primos que entre primo y primo su diferencia sea mayor que 123456.... o que z arbitrario, es lógico pensar que vamos a encontrar ese par, por supuesto si hay infinitos primos, luego no puedes poner cota numérica a los gaps, siempre habrá un par de primos que la superen, he propuesto que solo tienes que hallar el gap luego o antes del primorial de todos los primos hasta superar el contable z.

Es decir puede haber cota relativa para $n$ o , $p_n$ dados es decir $g_n<kp_n$ con $k<1 \forall n\in \mathbb N$, que dice el teorema,. da un a cota relativa pero no es lo mismo decir

$g_n <M \in \mathbb N\quad \forall n\in \mathbb N$ que es lo que apunto, una cota absoluta .

si por reducción al absurdo decimos que el conjunto de los primos es es acotado a $n$ valores

$p=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+1$ luego $p$ es primo y se convierte en $p_{n+1}$ por lo que la acotación es falsa, del mismo modo

$x_1=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+2$ no es primo
$x_2=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+3$ no es primo
.....
$x_{p_n}=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+p_n$ no es primo

tenemos $x_{p_n}-x_1=p_n-1$ números naturales pertenecientes a un mismo gap como $p_n-1>n$ y $n$ no esta acotado por la reducción al absurdo, luego el gap no tiene cota absoluta, y nada podemos decir de $x_{p_n+1}=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+p_n+1$ por lo que la cota relativa máxima para ese n es $p_n$ como ya han dicho... si hallamos siempre un $p_{n+1}$ existirá un gap de tamaño $p_{n+1}-1$ como mínimo. Lo dejo aquí para no ser reiterativo.

Saludos Maq77 , como tu diría que ocurre acá ...., estas de algún modo diciendo que se los gaps son finitos, y no digo que " esa cota inferior que encontraste es el "último número primo" que existe" sino que la distancia entre ese primo y el siguiente tiene la misma dimensión que el contable de primos que contiene el conjunto de todos los primos en ese momento.... y si ya está demostrado que la cantidad de números primos es infinita, entonces ese gap tiene longitud infinita....

Lo que estoy diciendo es que Hay una Infinita cantidad de Gaps entre primos y que cada uno de esos Gaps es Superior al anterior sin que por ello exista un GAP en particular que sea el "GAP Infinito".

Exactamente igual a como ocurre con los número contables---

Hay una infinita cantidad de números contables y cada uno de ellos es superior al anterior, sin que por ello exista un número en Particular al que pueda llamar "El Número Infinito". Ese número no existe.

Un Abrazo.

[Richard R Richard]

Lo que ocurre acá es que si dices que existe un número primo que pueda servir como cota inferior de otro número primo que no podrá ser encontrado nunca hasta el infinito, estas de algún modo diciendo que se acabaron los números primos, y que esa cota inferior que encontraste es el "último número primo" que existe. Y creo que ya está demostrado que no puede ser así. porque en ese caso la cantidad de números primos no podría ser infinita.

Saludos Maq77 , como tu diría que ocurre acá ...., estas de algún modo diciendo que se los gaps son finitos, y no digo que " esa cota inferior que encontraste es el "último número primo" que existe" sino que la distancia entre ese primo y el siguiente tiene la misma dimensión que el contable de primos que contiene el conjunto de todos los primos en ese momento.... y si ya está demostrado que la cantidad de números primos es infinita, entonces ese gap tiene longitud infinita....

acaso no es cierto que $N+\infty=\infty$ pero claro tu dices que el lado derecho de la igualdad no puede pertenecer al conjunto, En realidad no se si hay alguna teoría que diga que el número de elementos que posee el conjunto no puede pertenecer al conjunto.???
ejemplo {1,2} tiene 2 elementos y el 2 pertenece al conjunto, la distancia a un posible siguiente elemento es 1 el conjunto {1,2,3} tiene 3 elementos la distancia es fija así puedes tener un conjunto de N elementos , cabe preguntarnos si $N \to \infty$ el $\infty$ porque no va pertenecer al conjunto? que ha pasado en medio... donde falla la lógica.

con los primos pasa lo mismo entre el {1,2,3,5,7....N} con una cantidad n de elementos y el siguiente elemento del conjunto lo defino como uno que cumple que $M\geq N+n$ y si tu dices que n esta probado es $\infty$ con lo que he expuesto puedo calcular $M = N+\prod\limits_1^n p_i$

ningún elemento en estos grupos $\left[\prod\limits_1^n p_i-n\,,\,\prod\limits_1^n p_i-2\right]$ y $\left[\prod\limits_1^n p_i+2\,,\,\prod\limits_1^n p_i+n\right]$ puede contener primos , son dos grupos de $n-1$ elementos como mínimo, con $n$ tan grande como quiera , incluso infinito pues n segun euclides puede serlo.

Es cierto que llevo la cota de lo primos mas arriba de lo que se la había calculado, pero de eso se trata, de que si los primos no tienen límite es decir pueden ser tan grandes como yo quiera, la diferencia entre dos de ellos también puede ser tan grande como yo quiera...

El Producto de una cierta cantidad de primos consecutivos + 1, no tiene por que necesariamente ser un número primo en sí mismo,

Cierto pero desde "El Producto de una cierta cantidad de primos consecutivos + 2" hasta "El Producto de una cierta cantidad de primos consecutivos + el contable del conjunto de todos los primos " como mínimo, no son primos y pertenecen a un mismo gap... si calculas la longitud mínima del gap....es ...

Es correcto...Pienso igual.

De hecho la demostración de Euclides de que hay infinitos números primos se basa en eso...

- Imaginemos que existe un conjunto finito de numeros primos.
- El productorio de esos números +1 es coprimo a todos ellos. Luego, es un primo que no habíamos contado entre ese conjunto de primos o sea, menor que el primo de mayor valor, o es un primo nuevo...Luego el grupo no está cerrado.
- Si esto lo hacemos ad infinitum, nunca podemos tener ese conjunto finito..

Esto es la demostración de Euclides.

Saludos Carlos,

La demostración de Euclides no es exactamente así,

El Producto de una cierta cantidad de primos consecutivos + 1, no tiene por que necesariamente ser un número primo en sí mismo, lo que si es un CO-primo de todos los de la lista del conjunto anterior.

Así los posibles resultos son: Que el nuevo numero sea en si mismo un número primo, o bien, que exista algún numero primo inferior a ese número y que a su vez no está comtetemplado en el conjunto inicial.

De manera que cualquiera sea el caso el conjunto inicial de todos los primos estaba incompleto, lo que a su vez demuestra que hay Infinita cantidad de números primos.

Y recalco lo de "infinita cantidad de números primos", muy diferente a decir que existe un número primo que se le pueda atribuir la cualidad de infinito.

Saludos.

La propia definición de gap indica que es la separación entre dos primos uno inferior y otros superior , por lo tanto acotado, pero si la cota superior es infinito , pues el gap tiene ese tamaño...

Lo que ocurre acá es que si dices que existe un número primo que pueda servir como cota inferior de otro número primo que no podrá ser encontrado nunca hasta el infinito, estas de algún modo diciendo que se acabaron los números primos, y que esa cota inferior que encontraste es el "último número primo" que existe. Y creo que ya está demostrado que no puede ser así. porque en ese caso la cantidad de números primos no podria ser infinita.

Saludos.

[Richard R Richard]

Me han explicado aquí en este hilo que el numero infinito no puede pertenecer a los primos, pero que si contamos el número de elementos del conjunto de los primos habrá infinitos e ellos, lo que yo he mostrado es que con la multiplicación de todos ellos, creo un gap que tiene la longitud igual a los contables del conjunto de los primos, entonces la longitud de ese gap es infinita, como no soy matemático, imagino que podría estar pasando de largo algo fundamental que ahora mismo no veo.

[Carlos Bethencourt]

Como de algún modo han resucitado el hilo, vuelvo al ruedo , diciendo
"una definición de infinito es que es un numero tan grande como se desee"
Bajo esa definición veo que han demostrado que
"Existirá un primo tan grande como se quiera" ergo habrá infinitos primos...
Dada la lista de esos primos, puedo hallar un gap "tan grande como yo quiera" .. ¿Cual es el motivo que refuta, que ese gap no es infinito?
si la razón es que existe un primo mas grande por encima del gap...si escribes la lista de los primos hasta ese, encontrare un gap de ese tamaño...y así elvhuevo y la gallina.
La propia definición de gap indica que es la separación entre dos primos uno inferior y otros superior , por lo tanto acotado, pero si la cota superior es infinito , pues el gap tiene ese tamaño...

Es correcto...Pienso igual.

De hecho la demostración de Euclides de que hay infinitos números primos se basa en eso...

- Imaginemos que existe un conjunto finito de numeros primos.
- El productorio de esos números +1 es coprimo a todos ellos. Luego, es un primo que no habíamos contado entre ese conjunto de primos o sea, menor que el primo de mayor valor, o es un primo nuevo...Luego el grupo no está cerrado.
- Si esto lo hacemos ad infinitum, nunca podemos tener ese conjunto finito..

Esto es la demostración de Euclides.

Ahora bien, lo que yo digo, y he llegado a la misma conclussión que Richard R Richard, pero mi razonamiento es distinto, es que hay asociado, a cada primo, un gap de longitud equiparable...Luego, es CIERTO...Que hay GAPs de longitud sin cota superior...Y por ende, infinito.

La cualidad de infinitos más pequeños, ciertamente, pudiera tener fundamento. Ahí está el trabajo de Georg Cantor....Y esto no lo dudo...Pero es que buscando por la red, he encontrado trabajos que hablan de gaps acotados académicamente oficiales, que me desconciertan...Y la única proposición cercana a mi conclusión en las primeras paginas de Google ha sido la de este foro con el compañero Richaard.


A ver como abordamos este tema, compañeros.


Un saludo afectuoso, amigos.

[Richard R Richard]

Como de algún modo han resucitado el hilo, vuelvo al ruedo , diciendo
"una definición de infinito es que es un numero tan grande como se desee"
Bajo esa definición veo que han demostrado que
"Existirá un primo tan grande como se quiera" ergo habrá infinitos primos...
Dada la lista de esos primos, puedo hallar un gap "tan grande como yo quiera" .. ¿Cual es el motivo que refuta, que ese gap no es infinito?
si la razón es que existe un primo mas grande por encima del gap...si escribes la lista de los primos hasta ese, encontrare un gap de ese tamaño...y así elvhuevo y la gallina.
La propia definición de gap indica que es la separación entre dos primos uno inferior y otros superior , por lo tanto acotado, pero si la cota superior es infinito , pues el gap tiene ese tamaño...

[Richard R Richard]

No es un teorema, pero puedes convertirlo en uno!!!, redáctalo y demuéstralo, pues es una deducción lógica y por lo tanto demostrable.

[Carlos Bethencourt]

Totalmente de acuerdo...No he encontrado el teorema de esto. Pero yo he llegado a la misma conclusión.

[Richard R Richard]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Se ve en el video como el porcentaje de los números primos por debajo de la circunferencia va aumentando paulatinamente, imagino yo sin nunca poder llegar ni mucho menos superar al 50%, pero de nuevo contradiciendo un poco esa sensación de que "cada vez son más escasos los números primos".

Si el porcentaje fuera decreciendo o es exactamente igual, a la larga llegaría a hacerse nula la cantidad de primos por ser ese doble infinitamente mas grande que su mitad, es decir $\dfrac{P_A}{N_A}\dfrac{(1+\alpha)^K}{2^K}$ se hace nulo con infinitas repeticiones, mucho mas rápido si $\alpha$ decrece , por lo que si los primos son infinitos ese porcentaje asciende asintóticamente al 100% ( ahora no se como.... pues el 50% son pares un 16% adicional divisibles por 3 ,etc) para 330M la cantidad de no primos sobre el total de naturales es el 0.971290999 y sigue ascendiendo.....

fracción de no primos

$a_{p_i}=\dfrac{1}{p_i}+a_{p_{i-1}}\left(\dfrac{p_i-1}{p_i}\right)$

en teoría esta serie tiene que tender a 0 en el primo infinito pero yo la veo ascender siempre cada vez mas cerca a 1...

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Estos son los cálculos que estoy utilizando para realizar el Pronóstico de cuantos nuevos primos deben aparecer al momento de duplicar el valor N del intervalo

De manera que debajo de N = 1.073.741.824 deben haber aproximadamente : 113.047.416 números primos

Que repartidos en una circunferencia quedarían:

Semicircunferencia Superior.: 58.717.153 ---> 51,94%

Semicircunferencia Inferior..: 54.330.263 ---> 48,06%


Todavía estoy intentando perfeccionar el método.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Por acá la representación gráfica de la secuencia en la distribución de los números primos en la circunferencia para las primeras treinta potencias del dos.

Se creó un gráfico circular cada vez que se duplicaba la cantidad de números representados en la circunferencia y se compara en porcentajes las apariciones de los primos.

Se ve en el video como el porcentaje de los números primos por debajo de la circunferencia va aumentando paulatinamente, imagino yo sin nunca poder llegar ni mucho menos superar al 50%, pero de nuevo contradiciendo un poco esa sensación de que "cada vez son más escasos los números primos".

Con este método no solo intento predecir -cuántos números primos hay debajo de cierto valor-, sino que también estoy intentando ver o determinar -dónde están quedando todos esos números primos-.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

¿esto ya se ha estudiado de alguna otra manera? ¿existen fórmulas o ecuaciones que pueda revisar que muestren este comportamiento?

No se si habra algun estudio serio del tema, yo lo he intentado en Prediccion de la cantidad de Numeros Primos

Y entonces encontrar un Gap de 220 recorriendo solo 100.000.000 números no parece ser tan malo ni tan lejano, siendo que para garantizar la existencia de ese Gap 220 habría que mirar hasta el 220! para obtener el intervalo

{ (220! + 2), (220! + 3), (220! + 4), ... , (220! + 220) } en dónde si es seguro poder encontrarlo

Utilice mi programa para calcular el lugar donde se da el gap de longitud al menos 220 con la productoria de primos hasta supera el 220

$\dst\prod \limits_{i=1}^{48} P_i=$367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212930

luego en el intervalo

desde 367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212932
hasta 367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667213152

seguro que son todos divisibles por los 48 primeros primos que puse en el post anterior....era un poquito nada mas grande que 100000000

según tu método en el gap en el factorial de 220 empezaria dos unidades luego de

228386033591464145739726586511533372704297307154622870177363471612602769260302484587777654979192110294570655819607477957500955052322419704995617697230 205658766722616606097632340497755473254301355713314682574755379945084952337706589453102105527251633427846687561490492136580783384585342855715518008495 78848226429898670032945513859929938621783523490272646966918544936140800000000000000000000000000000000000000000000000000000


Si la relación de primos entre N y 2N contra la de 1 y N es fija $\alpha$

la cantidad de primos en cada duplicación asciende a $N_A(1+\alpha)^K$ siendo k el número de veces que se va duplicando

y el valor del intervalo de naturales crece con $N_A2^K$

de donde ves que $\dfrac{P_K}{N_K}=\dfrac{P_A}{N_A}\dfrac{(1+\alpha)^K}{2^K}<\dfrac{P_A}{N_A}$

además sabemos que tendiendo a infinito$\dfrac{P_\to\infty}{N_\to\infty}=\dfrac{\dfrac{N}{\ln N}}{N}=\dfrac{1}{\ln N}$

lo que habría que probar es que para cualquier combinación inicial de ${P_A}$ y ${N_A}$hace que la relación $\dfrac{P_A}{N_A}\dfrac{(1+\alpha)^K}{2^K}>\dfrac{1}{\ln N}$ cuando $K\to \infty$ y $N\to \infty$ $\forall 0<\alpha<1$

$\alpha>2\sqrt[K]{\dfrac{N_A}{P_A\ln N}}-1$

por lo que intuyo que no es posible acotar la cantidad de primos que apareceran en la siguiente duplicación de N ..

No quisiera que el hilo se convierta en una conversación que solo satisfaga nuestros intereses personales , que opina el resto???

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

El tamaño de la circunferencia representa el total de los números naturales y lo que sabemos es que al duplicar esos números la cantidad de primos que aparecen en la segunda mitad es menor que la primera
$NC=2NB=4NA$ solo puedes saber que $PA>PB$ y que $2PA>PC$
Además $\dfrac{PA}{NA}>\dfrac{PB}{NB}>\dfrac{PC}{NC}$

También se lo puede ver de esa forma, y la pregunta sería entonces ¿Qué pasa cuando Vuelves a Duplicar, y luego vuelves a duplicar y así sucesivamente?, sería el mismo método pero a la inversa, lo que digo es que hay allí una propiedad que se va transmitiendo a lo largo de toda la circunferencia, y que no puede ser esquivada ni evadida, y que al final termina ayudando a determinar cómo se tienen que ir distribuyendo los números primos a lo largo de la circunferencia y por analogía a lo largo de cualquier intervalo de números naturales.

- - - Actualizado - - -

Hablando de la Distribución al parecer se sigue una regla como está, del 100% de números primos representados en la circunferencia se deben repartir más o menos así:

Y la cuestión es que si quitamos el pedazo de torta que se corresponde con el 48%, o sea, representamos a un n = 134.217.728, automáticamente el del 25% pasa a ocupar su lugar, y el del 13% pasa a ocupar el lugar del 25%, y así sucesivamente, manteniéndose la relación:

48,03 % - 24,91 % - 12,94 % - 6,73 % - 3,51 % - 1,83 % - Cerca del 1 % - Por debajo del 1 % - etc.

¿esto ya se ha estudiado de alguna otra manera? ¿existen fórmulas o ecuaciones que pueda revisar que muestren este comportamiento?

Saludos.

- - - Actualizado - - -


Para un N = 536.870.912

El programa encontró un total de 28.192.750 números primos, Con un GAP máximo de 282

El pronóstico de primos para este valor utilizando el método de 1/Ln(N) sería de 26.708.310 primos

Con el método de los porcentajes el valor pronosticado era de 28.201.425,20 números primos

[Richard R Richard]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

En realidad el problema que aborda angel del cual hago referencia se podía resolver usando factoriales, pero resulta de que existen números muchos más pequeños en la cercanía de la productoria de los números primos hasta el primer valor mas grande que el gap , que asegura el existencia de ese gap.

Para 220 es la productoria de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223

Seguro es mayor que 100000000 pero menor que la productoria de los números naturales hasta el 220 o sea el factorial

[

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El tamaño de la circunferencia representa el total de los números naturales y lo que sabemos es que al duplicar esos números la cantidad de primos que aparecen en la segunda mitad es menor que la primera
$NC=2NB=4NA$ solo puedes saber que $PA>PB$ y que $2PA>PC$
Además $\dfrac{PA}{NA}>\dfrac{PB}{NB}>\dfrac{PC}{NC}$