Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

alli se eligio un gap de 2018 entre numeros primos consecutivos.... la deducción que arme para demostrar los números primos mínimos que presentan ese gap es valida para un gap arbitrario. Y mientras se conozcan todos los números primos inferiores al número del gap que buscas, entonces podrás afirmar que es posible hallar dicho el gap que llamare $x$...

También te hubiera servido trabajar con el Factorial, de forma que si quieres un Gap seguro de 2018 elementos solo tienes que tomar el intervalo:

{ (2018! + 2), (2018! + 3), (2018! + 4), ... , (2018! + 2018) } Claro está que acá si hay que tratar con números realmente grandes.

Y entonces encontrar un Gap de 220 recorriendo solo 100.000.000 números no parece ser tan malo ni tan lejano, siendo que para garantizar la existencia de ese Gap 220 habría que mirar hasta el 220! para obtener el intervalo

{ (220! + 2), (220! + 3), (220! + 4), ... , (220! + 220) } en dónde si es seguro poder encontrarlo

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Existen funciones que nos dan de forma más o menos precisa la cantidad de números primos que existen hasta un valor determinado “N”. Pero no nos habla de la forma en la que esos números primos se distribuirán a lo largo de ese recorrido.

Estudiando y buscando una manera de hacer esto se me ocurrió que se podría conseguir una forma Iterativa y Descendente para lograr obtener la Distribución Normal más aproximada posible.

Para lo cual se podría proceder de la siguiente manera:

.- Repartidos los N números en una circunferencia nos quedarían N/2 en la parte superior y N/2 en la parte inferior, y sabemos que en la parte Superior deben haber más números primos que en la parte Inferior (A mayor que B).

.- Si dividimos la parte superior en dos, también sabemos que en la parte inferior de la circunferencia deben haber MÁS números primos que en la mitad izquierda de la semicircunferencia superior (B mayor que C).

.- Me falta por ver si hay alguna relación entre la parte inferior y la mitad derecha de la semicircunferencia superior. (B y D no se si tienen una relación constante)

.- Ahora trasladando toda la semicircunferencia superior a una nueva circunferencia, se puede repetir de nuevo exactamente el mismo análisis, para repartir a los números primos que allí se encuentren. La cantidad de números primos en "D" debe ser mayor que en "C" y a su vez la cantidad de números primos en "C" debe ser mayor que en "E"

.- Repetir el ciclo iterativo descendente las veces que hagan falta hasta llegar a la unidad, para finalmente hacer una distribución aproximada de todos los primos que se encuentren desde 1 hasta N.

Acepto sugerencias y cualquier ayuda que tengan a bien facilitarme para completar o mejorar este intento de distribución de los números primos.

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Una curiosidad, ¿conocías previamente la constante de Euler-Mascheroni? ¿O la descubriste tras la broma?:

Jejejeje.. Ya la conocia, pero si de hacer bromas se trata, alli está el video...

La constante Euler Mascheroni se explica un poco mejor en la Wikipedia, y lo que si es cierto es que se asoma por muchos lados, guarda relación con la función Zeta de Riemann, con la función Gamma, con las series infinitas, etc. Y aun no se sabe si es irracional o racional, ni tampoco si es trascendente o algebraica.

Con una serie infinita pueden pasar tres cosas: o diverge, o converge o se mantiene oscilando acotada entre dos valores. Si la serie diverge se puede ir al “más infinito” o al “menos infinito”.

Cuando nos planteamos problemas con funciones podemos utilizar artilugios para saber el resultado de algún límite al infinito, si involucra funciones exponenciales, polinomicas y logarítmicas, podemos determinar cuál de las funciones predominará y dar una respuesta al ejercicio, y más que todo sirve para comparar los Ordenes de Magnitud de los infinitos involucrados.

Si la constante de Euler-Mascheroni se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural y sé que ambos tienden al infinito, pero al restarlos consigo un valor finito determinado puedo concluir que son infinitos de la misma clase, del mismo orden, iguales.

¿Se podría utilizar un criterio parecido para comparar la magnitud de los supuestos (no comprobados) infinitos Gaps que encontramos entre los números primos?.

[Alriga]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

La constante de Euler-Mascheroni

El número más misterioso del mundo (Gamma)

Saludos.

Ja, Ja, ... gracias Maq77 por la buena intención, pero el vídeo es flojito, flojito,... (no quiero ser cruel con el pobre autor y llegar a decir que es malo de solemnidad). Y el título,... patético: "El número más misterioso del mundo"

Una curiosidad, ¿conocías previamente la constante de Euler-Mascheroni? ¿O la descubriste tras la broma?:

... un valor “k” que seguro que tendría nombre famoso, del tipo “Constante de Ouler-Nascheroni” o algo así, ...

Por cierto, la constante de Euler-Mascheroni la utilicé hace tiempo para resolver un problema de límites aquí: Problema de límite con serie armónica. Constante de Euler-Mascheroni

Saludos.

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Pero aquí en este hilo estamos hablando de gaps , y si he podido crear un archivo con la cantidad de gaps de cada longitud hasta 100000000 ... el gap mas grande hasta alli es ....solo 220

Lo raro es que como uno puede creer a priori,sería que los gaps más cortos son los abundantes, pero no es una relación siempre decreciente...

Si esa fue también mi sorpresa al representarlos en una circunferencia y esperar algún ángulo muy grande libre de números primos

con una simple regla de tres pude comprobar que:

Si 100.000.000 es 360 grados

entonces 220 es x grados

x = ( 220 * 360 ) / 100.000.000

x = 0,000792 grados

Sale un nuevo número primo prácticamente a cada instante.


Y con respecto a la cantidad y frecuencia para cada uno de los Gaps se podría pensar que el 100.000.000 es insignificante comparado con el Infinito, si suponemos que encontraramos infinitos ejemplos al final nos debería quedar algo como:

-------------------
Gap      Cantidad
-------------------
1        Uno
2        Infinitos
4        Infinitos
6        Infinitos
.
.
2n       Infinitos

Y el trabajo probablemente sería el de comprobar si cada uno de esos infinitos son o no del mismo Orden de Magnitud o si allí hay algunos Infinitos más grandes que otros.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Por Ejemplo acá estaba intentando comparar el Gap 2 con el Gap 4 y ver si existía alguna manera de estar seguro que uno de ellos siempre sería superior al otro.

Ambos gaps están circunscribiendo con sus líneas unas circunferencias interiores, se va a crear un círculo con líneas verdes claras (Gap2) y otro círculo con líneas verdes oscuras (Gap4).

La pregunta es: ¿Hay manera de determinar cual de las circunferencias estará siempre mejor delimitada?

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Como he observado que parece haber bastante interés en los números primos, me atrevo a explicar cómo un par de teoremas relacionados con ellos me gustaron mucho cuando tuve conocimiento de ellos. Si ya los conocéis, disculpadme y perdonad el rollo.

Por cierto, sobre la infinitud de los números primos, ya hablamos una vez aquí: La demostración más bella de las matemáticas

...

Como casi siempre, reponder a tus post es algo más complicado, pero lo intentaré.

La relación que existe entre los Números Primos y las Series Infinitas es bastante evidente, así como también la relación que existe entre las Series Infinitas y el Número PI.

Pero el hecho de conocer estas relaciones no significa que entendamos bien de que se trata o del por qué ocurren, mi intención era la de pasar a una relación de los Números Primos y el Número Pi directamente, y de allí surgió la idea de representar a los Números Primos en una Circunferencia y la dejar a las Series Infinitas como un derivado de dar Infinitas vueltas.

Mis primeros intentos pasaron por agarrar a todas las series infinitas que terminaban por ejemplo en Pi al cuadrado entre 6 y transformarlas a que todas terminaran en 2*PI, y aunque esos cuaderdos se me quedaron en Venezuela, terminé con una larga lista de Series Infinitas que terminaban representando un círculo o circunferencia, todas equivalentes pero que no me decian nada.

Al menos a mi, se me hace más fácil entender algo cuando puedo verlo y jugar con el, de allí la creación de la herramienta computacional, además no creo tener el nivel matemático para atacar directamente el problema desde el punto algebráico de las series infinitas.

Lo que espero es que con el uso de la herramienta, o con la lectura de este foro, o con la visualización de alguna de las imagenes publicadas, algún matemático mucho más calificado que yo vea el problema desde este punto de vista, para ver si es de alguna utilidad.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola con mi programa he llegado a los primos pasado el 100.000.000 .......o 1e8 o.... $\notcien{1}{8}$ como había prometido compartirlos, me ha surgido un problema, el peso del archivo, en texto plano 54 MB ....comprimido 5 MB pero aun así está muy por arriba de lo que el foro admite, y aquí no se pueden poner direcciones volátiles, así que hasta que no pueda colgarlo en un lugar fijo, no podré compartirlo.

Pero aquí en este hilo estamos hablando de gaps , y si he podido crear un archivo con la cantidad de gaps de cada longitud hasta 100000000 ... el gap mas grande hasta alli es ....solo 220

Lo raro es que como uno puede creer a priori,sería que los gaps más cortos son los abundantes, pero no es una relación siempre decreciente...

Mi sorpresa vino cuando grafique el logaritmo natural de las cantidades de gaps presentes versus el tamaño del gap.... es un serrucho decreciente con una pendiente negativa muy recta, a que se deberá?



dejo tambien el archivo de datos gaps.txt

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

La constante de Euler-Mascheroni

El número más misterioso del mundo (Gamma)

Saludos.

[Alriga]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Como he observado que parece haber bastante interés en los números primos, me atrevo a explicar cómo un par de teoremas relacionados con ellos me gustaron mucho cuando tuve conocimiento de ellos. Si ya los conocéis, disculpadme y perdonad el rollo.

Por cierto, sobre la infinitud de los números primos, ya hablamos una vez aquí: La demostración más bella de las matemáticas

1) Hay sucesiones que son divergentes, por ejemplo:

Los naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….

Los cuadrados de los naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Podemos preguntarnos si las series formadas por los inversos de esas sucesiones convergen o son divergentes:

La serie armónica:

$\dst \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} =\lim_{n \to \infty}\left ( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right) = \infty$

Sabemos que es divergente, mientras que la serie de los inversos de los cuadrados

$\dst \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} =\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac{\pi ^2}{6}$

Es convergente como demostró Euler en 1735.

La sucesión de los números primos es divergente, puesto que sabemos que hay infinitos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … La serie de sus inversos es:

$\dst\bold{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{17}+ \dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{23}+\cdots}$

¿Esta serie es convergente o divergente?, me preguntaron hace años

1er pensamiento fugaz: comparada con la serie armónica, con el tremendo bocado que le da a ella al arrancarle los inversos de todos los números compuestos, supongo que el mordisco será lo suficientemente grande para conseguir que la serie de los inversos de los primos sea convergente.

2º pensamiento reflexivo: Uumm,… si fuese convergente tendría un valor “k” que seguro que tendría nombre famoso, del tipo “Constante de Ouler-Nascheroni” o algo así, de la que seguramente ya hubiese oído hablar. Como no me suena para nada,... voy a apostar a que es divergente.

Y efectivamente, aunque pueda ser poco intuitivo, la serie de los inversos de los primos es divergente como demostró Euler en 1737. Que sea divergente es además otra prueba de que los números primos son infinitos, la serie no podría ser divergente si hubiese un número finito de primos.

2) Es bien conocida la Conjetura de los Primos Gemelos que dice “Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo” Como bien sabéis, esta conjetura todavía a día de hoy no ha podido ser ni demostrada ni refutada.

La sucesión de primos gemelos es: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), …

Vamos a formar la serie de sus inversos:

$\dst \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

IDEA: Si pudiese demostrar que esta serie es divergente, ello sería automáticamente una demostración de que hay infinitas parejas de primos gemelos, lo que constituiría una demostración de la Conjetura de los primos gemelos.

En el siglo pasado el matemático noruego Viggo Brun se puso manos a la obra, ... pero lo que consiguió demostrar en 1919 es que la serie es convergente, lo cual ni prueba ni refuta la Conjetura de los Primos Gemelos. En su honor, al valor del límite de la serie de los inversos de los primos gemelos se le llama Constante de Brun $B_2$ y su valor es:

$\dst B_2=\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

Constante de Brun $B_2=1.902160583104 \cdots$

Saludos.

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Algo parecido a las espirales de Ulam y a los triángulos de Klauber era lo que estaba tratando de hacer al estudiar a los primos en la circunferencia cambiando el ángulo de visualización.

Al cambiar el ángulo los números primos y compuestos se agrupan y desagrupan formando patrones que pueden seguirse fácilmente, por ejemplo, para el caso de los primos gemelos utilice los ángulos 10.0001 y 12.001 para obtener estas imagenes.

Ángulo = 10.0001

Ángulo = 12.0001

Lo que no encuentro es la manera de obtener fórmulas a partir de acá, imagino que dividiendo el valor de un número cualquiera entre 360 y luego entre el ángulo de trabajo, se podría obtener la posición que debera ocupar el número dentro de la circunferencia, y luego comparando con los ángulos en los que se sabe vendrán los números primos gemelos se tendría una aproximación, pero una fórmula o ecuación en concreto no logro hallar.

Y sospecho que "lluevo sobre mojado", y que esto ya se estudió de una manera más rigurosa.

[carroza]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola. He encontrado un trabajo muy asequible sobre las distribuciones de primos que os puede interesar.

http://math.uni.lu/eml/projects/repo...stribution.pdf

Introduce las espirales de Ulam y los triángulos de Klauber, y los compara con distribuciones aleatorias.

Saludos

[u_maligno]

Re: Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Visto así sí parece que hay cierta similitud, al menos en lo de que los gaps más pequeños aparecen más frecuentemente, pero la forma en que aparecen, en especial los gaps más grandes, me sigue pareciendo mucho más aleatoria (o al menos, algo que depende de muchas más variables).

Sobre lo de que no sea algo completamente aleatorio estoy de acuerdo si consideramos todos los números naturales, ya que sabemos por ejemplo que nunca aparecerá un primo par (a excepción del 2), o acabado en 5 (a excepción del 5 xD), o cualquier múltiplo de un primo si nos ponemos. Pero como cada vez hay más primos y cada vez son más grandes cada vez resulta más difícil encontrar un patrón que esté de acuerdo con todo eso.

Lo de que el número compuesto intermedio entre dos primos gemelos (mayores que 4) tenga que ser divisible por 6, por ejemplo, tiene una explicación sencilla. Los primos gemelos tienen que estar necesariamente antecedidos y precedidos por impares múltiplos de tres, por eso, a excepción de 3,5,7, no puede haber tres primos consecutivos. Pero esto es parecido a decir que no puede haber primos acabados en 5 (todos son múltiplos de 5) y no algo que sirva para hallar una fórmula que dé siempre primos, sino más bien para descartar algunos compuestos (no se puede esperar encontrar primos gemelos al rededor de pares que no sean múltiplos de 6, como no se puede esperar encontrar primos gemelos entre pares acabados en 4 o 6).

Pero más que un patrón sobre los primos yo diría que todo eso son patrones de los compuestos (de algunos en concreto, ya que si se encontrara uno que los englobara a todos entonces sí que sería también de los primos, por descarte xD).


Salu2

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Una manera de ver la serie es:

Cualquier número al que llegue justo antes de poner un nuevo "2" habrá aparecido una sola vez, el anterior dos veces y el anterior tres veces, y asi sucesivamente hasta llegar al número "2" que habrá aparecido (el número al que llegaste / 2) veces.

Y aunque no es exactamente como ocurre con los gap entre los primos, si creo que puede tener ciertas similitudes, por ejemplo los gaps mas bajos aparacen un mayor número de veces que los más altos sin importar hasta cual cifra se estudie, cosa que también ocurre con gaps entre los números primos.

La aparición de los nuevos gaps, y de hecho la aparición de los números primos es inesperada, pero no completamente aleatoria, eso queda demostrado con los dibujos de Ulam, una distribución de puntos aleatoria no da líneas tan marcadas, solo ruído indecifrable, en cambio en los diagramas se ve la aparición de patrones, líneas, sobre la que se espera haya una mayor probabilidad de encontrar a un número primo. Y en cuanto a los primos gemelos, el número compuesto intermedio entre dos primos gemelos mayores a 3-5, tiene obligatoriamente que ser divisible exactamente entre 6, entre otras muchas fórmulas o maneras de encontrar primos, por supuesto no exactas ni determinantes, pero que dejan claro que estan fuera del azar.

Y eso que parece una ventaja, que no sean al azar, creo que es en realidad lo que complica la cosa, porque si fueran al azar tal vez se podría encontrar una formulación probabilística que nos dijera con mucha precisión cuando esperar a un nuevo gap en particular o a un nuevo número primo para cantidades muy grandes. Pero como no es aleatoria nos vemos obligados a encontrar una "Razón o Ritmo" para la serie y al parecer no la tiene.

[u_maligno]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Sí, parece que la separación entre primos gemelos crece de forma más lenta que en sucesiones de ese tipo (que crecen al ritmo de n(n+1)/2 o por ahí), pero sobretodo de forma más aleatoria xD Así que es difícil sacar conclusiones sobre cotas, etc.. pero bueno me alegro de que te pareciera original jaja aunque me temo que no tiene mucha utilidad (igual si se pudiera hacer más aleatoria..) más allá de simplicar un poco el tema este de los gaps, infinitos y demás

Salu2

- - - Actualizado - - -

cuando se llega al Gap 20

No había leído bien esto, no sé por qué pensé que te referías a después de x Gaps (tanto para una serie como para la otra), ya que si una llega a x número mucho antes que la otra (como de hecho pasa) estás comparando el número de primos gemelos de forma un poco injusta jeje .. Aunque como decía parece que también es así después de x Gaps, yo no tengo programas para calcular muy allá pero así "a mano" me salen, para los 36 primeros intervalos 12 primos gemelos para la sucesión real y 8 para la serie que puse. No sé si para números más grandes seguirá siendo así, pero diría que sí.. El caso de los Gaps más grandes me parece más raro aún, en la serie que puse van aumentando de forma proporcional, pero en la de los primos reales pasan cosas bastante extrañas, como que aparezca el 14 antes que el 12 o incluso el 10, y que luego se tire una "eternidad" en volver a aparecer. En fin, que por eso decía que es bastante difícil sacar conclusiones, en base a series sencillas al menos, porque los primos parecen medio chalaos jaja

Salu2

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hablando de frecuencia de aparición de los Gap, por ejemplo, cuando en la serie de los números primos se llega al GAP-20 se hace con el número primo 907 el cual aparece precedido por números compuestos desde el primo anterior 887, para ese momento ya se han encontrado 35 números primos gemelos, es decir el “Gap-2” ha sido tocado 35 veces. Como puede verse en la imágen:

En su serie 2,2,4,2,4,6,2,4,6,8,… cuando se llega al Gap 20 se puede calcular que se ha pasado por el Gap 2 solo 10 veces, de manera que creo que en la serie propuesta la frecuencia de repetición de los gap estaría siempre por debajo de lo encontrado en la realidad de los números primos gemelos.

Sin embargo me parece una serie “muy original” y digna de estudio, de hecho la cargué en la página web:

http://oeis.org

Que se encargan de estudiar todo tipo de series numéricas y no la tienen registrada, de allí que me parezca original, habría que dedicarle algún tiempo para ver que tipo de propiedades tendrá la serie que propone.

Saludos.

[u_maligno]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Muy interesante el tema. A mi se me ocurre una forma un poco cutre, pero bastante más simple (en comparación a como están distribuidos realmente los primos) de entender algunas de estas cosas. Con una sucesión simple tipo : 2,2,4,2,4,6,2,4,6,8,2,4,6,8,10.. tendríamos por un lado gaps cada vez mayores (sin que ninguno llegara nunca a ser infinito, ya que siempre habría un 2 antes de cierta cota) e infinitos primos gemelos. Obviamente los primos no están distribuidos de forma tan sencilla (y es bastante más complicada la cosa ) pero creo que la idea básica sería la misma, que cada vez pueda haber gaps mayores no implica ni que alguno pueda llegar a ser infinito, ni que los primos gemelos tiendan a desaparecer..

Salu2