Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Maq77,
Quería aprovechar para decir que se cumpla una propiedad para unos números no es condición necesaria para que sea verdad, requiere de una demostración.

También me gustaría preguntar una cosa, en el plano real es cierto que el conjunto de los primos es infinito como demostró Euclides, sin embargo, en el plano complejo ¿Sigue siendo infinito? ¿Y acaso existen? Es que el otro día leí un twitter que, por ejemplo, el número 2 no es primo en el plano complejo pues 2=(1+i)(1-i)

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Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Maq77. Realmente no hay contradicción y es más una cuestión de lenguaje que otra cosa.

Esto nos puede hacer suponer que existirá un gap entre primos Infinito, siguiendo por analogía el razonamiento que tuvimos para con los números de siempre, si n+1 me hace concluir que son infinitos, 2n+2 también me debería llevar a esa conclusión

Cuidado: un gap entre primos es imposible que sea infinito pues el gap es la distancia que hay entre dos primos sucesivos. Creo que lo que quieres decir es que el conjunto de gaps es infinito, es decir, que hay infinitos gaps.

Pero, y aquí está mi duda, también está demostrado que los números primos son infinitos, no importa hasta que numero primo se encuentre, se sabe que habrá un número primo superior a ese, siguiendo el razonamiento mostrado por Euclides.

De nuevo permíteme la corrección porque es importante: los números primos no son infinitos. Lo que demostró Euclides es que el conjunto de números primos es infinito, es decir, existen infinitos números primos.

Y esto es lo que me lleva a contradicción, si siempre habrá un número primo superior, entonces no podrá nunca haber un gap entre primos infinito. Y si no puedo concluir que 2n+2 me lleva hasta el infinito, ¿cómo es que si puedo concluir que n+1 si lo hace?

Teniendo en cuenta estas aclaraciones fíjate que no hay contradicción alguna pues la conclusión es que si hay infinitos primos entonces hay infinitos gaps, cosa que tiene todo el sentido del mundo. Al final todo se debe a que no es lo mismo "gap infinito" que "infinitos gaps" al igual que "primo infinito" no es lo mismo que "infinitos primos". Las segundas opciones son las que cuadran en tu texto y llevan a afirmaciones ciertas.

Espero haberte ayudado.

Edito: Releyendo tu mensaje, déjame ser titismiquis:

[FONT=Verdana]Para deducirlo basta con imaginar la secuencia 1,2,3,…,n donde para cada “n” encontrado se puede pensar en un “n+1” que le siga. Concluyendo así que son incontables e infinitos..[/FONT]

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Los números naturales $1, 2, 3, ...$ sí son contables. Demostración empírica: puedes contar con los dedos de una mano. En cambio no puedes contar con los dedos números que pertenezcan a conjuntos incontables. Por ejemplo, no puedes contar los números reales. De forma más técnica, un conjunto es contable si existe una biyección con los naturales. Los naturales es evidente que están en biyección consigo mismos. En cambio los reales no están en biyección con los naturales (demostrado por Cantor, igual has oído hablar de esta prueba, es famosa). Fíjate que esto sugiere que el número de reales es más grande que el número de naturales: existen infinitos más grandes que otros. Al tamaño de los reales se le llama cardinal del contínuo $\mathfrak{c}$ mientras que al tamaño de los naturales se le llama $\aleph_0$ (alef zero).
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Sabemos que los números de siempre, los de contar, son infinitos.

Para deducirlo basta con imaginar la secuencia 1,2,3,…,n donde para cada “n” encontrado se puede pensar en un “n+1” que le siga. Concluyendo así que son incontables e infinitos..

También se sabe, o cree saberse, que el gap entre números primos puede ser tan grande como se desee, tenemos un gap de 1 entre los números “2 y 3”, luego tenemos un gap de 2 entre los números primos gemelos, por ejemplo, “3 y 5” ó “5 y 7”, y luego sabemos que para cualquier gap de la forma “2n” podemos encontrar un gap “2n+2” que sea superior…

Esto nos puede hacer suponer que existirá un gap entre primos Infinito, siguiendo por analogía el razonamiento que tuvimos para con los números de siempre, si n+1 me hace concluir que son infinitos, 2n+2 también me debería llevar a esa conclusión

Pero, y aquí está mi duda, también está demostrado que los números primos son infinitos, no importa hasta que numero primo se encuentre, se sabe que habrá un número primo superior a ese, siguiendo el razonamiento mostrado por Euclides.

Y esto es lo que me lleva a contradicción, si siempre habrá un número primo superior, entonces no podrá nunca haber un gap entre primos infinito. Y si no puedo concluir que 2n+2 me lleva hasta el infinito, ¿cómo es que si puedo concluir que n+1 si lo hace?

Alguien que me pueda dar luces sobre este asunto, o tal vez elaborar la pregunta de una forma matemáticamente más rigurosa.

Saludos.