Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Por si acaso interesa acá hay algunas maneras de representar a los números primos:

https://www.flickr.com/photos/160460...h/29595695187/

Tal vez un poco más de arte que de ciencia, pero continuando con la idea del hilo de estudiar (o visualizar) a los Números Primos y sus Gaps.

Saludos.

PD:-Como Leyenda para las imagenes.

Lineas Verdes Claras: Conexión entre dos números Primos Gemelos
Líneas Verdes Oscuras: Conexión entre dos números Primos a un Cierto Gap (Casi siempre Gap 4)
Líneas Blancas: Conexión entre los números Compuestos hasta llegar a un número Primo. (Identifican Ramas)
Líneas Azul Claro: Conexión entre el centro y el número Compuesto en la mitad o entre dos números Primos Gemelos
Circunferencia Morada: Limita el área que no será cruzada por las líneas que conectan a los números Primos Gemelos

Puntos Negros: Números Compuestos
Puntos Rojas: Números Primos

Casi todas las imagenes obtenidas con la misma herramienta computacional.

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Excelentes principios, para ser aplicados también en otras ciencias, como la física

1.- Empezar con una pregunta.
2.- Los estudiantes necesitan tiempo para luchar.
3.- El profesor no es la clave de la respuesta.
4.- Diga sí a las ideas de sus estudiantes.
5.- Jugar ! Jugar ! Jugar ! Jugar !

Gracias Alriga, esta ha sido siempre mi filosofía..

No saber algo no es una falla, es solo la oportunidad para aprender algo nuevo.

Él dice las matemáticas no se tratan de seguir reglas sino de jugar, explorar y buscar por nuevas ideas, tener el coraje de llevar la contraria a una idea establecida y decir, por ejemplo, y si los ángulos internos no suman 180º, y si existiera la raíz cuadrada de menos uno, y que tal si coloco los números en círculo en lugar de sobre una línea.

Y no es por ser petulante, arrogante o creerse más que los demás, ni tampoco es que no me guste ni me maraville de todo lo que ya se ha descubierto y ya es conocido gracias al esfuerzo y trabajo de los demás, es simplemente que quiero saber MÁS, enfrentar nuevos retos, pensar diferente.

El problema es que en la mayoría de los casos hay que luchar contra la corriente, hasta que puedas demostrar que la idea sirve para algo, o tal vez nunca lo puedas demostrar, pero al menos diste la pelea.

Y todo esto guardando siempre el equilibrio entre la locura y la estupidez contra la cordura y la sensatez, no se trata de decir cualquier barbaridad que se me acaba de ocurrir, sino de exponer una idea que he estado madurando durante mucho rato y no me deja dormir.

Y todo esto cuidando que el contenido del foro quede y sea, interesante, científicamente correcto y armonioso.

El trabajo es duro, pero en eso estamos, y la verdad es que al menos yo lo disfruto mucho.

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Por mi parte, investigando también en internet me encontré con este artículo..

https://es.gizmodo.com/descubren-un-...s-y-1821778717

Me pareció muy interesante, y sobre todo me sorprendió la imagen que utilizaron para ilustrar la noticia, pense que me habián plagiado.

Luego busque a Mario Klingemann (CC BY-NC 2.0), y me di cuenta que el ya había tratado a los números primos en una Rueda (Wheels of number Prime), obteniendo de hecho primero que yo la imagen.

http://incubator.quasimondo.com/flas..._of_primes.php

Interesante como dos personas totalmente desconectadas pueden aproximarse a un problema desde practicamente el mismo enfoque.

Y no tengo ninguna respuesta, solo muchas preguntas, espero que algunas de ellas lo suficientemente interesante como arrancar desde allí para seguir con los principios citados anteriormente...

Saludos.

[Alriga]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hoy me he enterado de que hay un juego de mesa llamado Prime Climb basado en los números primos del 1 al 101. En el enlace que he proporcionado encontraréis vídeos demostrativos del juego y las Reglas del mismo en español.

Uno de los creadores del juego, el matemático Dan Finkel de la University of Washington, explica el juego en una "TEDx Talk" titulada "Five Principles of Extraordinary Math Teaching"

Saludos

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Me gustaría continuar el proyecto de estudio con:

.- Dibujar a cada primo de cada órbita recorriendo de radian en radian para que queden en un lugar único y determinado.

.- Pasar el plano así obtenido de las órbitas concéntricas (Dibujadas a la inversa) de los números primos a un plano de números complejos.

.- A cada número primo y compuesto asignarle un único número complejo que lo identifique.

.- Hacer coincidir mediante algún tipo de transformación geométrica o analítica el punto del primo número 3 (único primo que se encuentra solo en la primera órbita) con la singularidad del punto 1 en la gráfica de la hipótesis de Riemman.

.- Hacer coincidir los ceros triviales con las órbitas de los números primos dibujadas a la izquierda del punto primo 3.

.- Terminar de ajustar hasta obtener exactamente la misma gráfica que se obtiene desde la hipótesis de Riemman, pero está vez arrancando desde un estudio de la distribución y frecuencia de los números primos.

Todo esto por la simple diversión que me produce el tratar de entender en que se relacionan los números primos con la hipótesis de Riemman, tal como había puesto algunas vez un hilo de FVPI sobre: El producto de Euler y la función Zeta de Riemann.


Saludos.

- - - Actualizado - - -

Sobre lo que has dicho, un detalle: en la recta real no hay primos. Te dejo pensar el motivo, porque es el mismo por el cual no hay primos en los complejos.

Weip, tengo ya cuatro días buscando información en internet sobre esto y no doy con la respuesta, me podrias iluminar un poco por favor, ¿por qué sobre la recta real y en los números complejos no se puede hablar de numeros primos?

Yo supuse que en los números complejos la razón podría ser que no son un "conjunto ordenado", pero entonces no podría ser la misma razón que para la recta de números reales que si estan ordenados.

[Jaime Rudas]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

A ver si entiendo lo que me quieres explicar Jaime

si $\infty \in \mathbb X$ sea cual fuera el conjunto $\mathbb X$ por ejemplo los pares...

Velo así: definamos 1 como un número natural y definamos el conjunto de los números naturales como aquellos de la forma n+1, donde n es un número natural. De esta forna, 2 es un número natural porque 2=1+1 donde 1 es un número natural.
Por otra parte, definimos par como aquel número que es de la forma 2n, donde n es un número natural. Así las cosas, infinito no puede ser un número par porque no existe un número natural n tal que 2n sea infinito.

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Bueno te faltó mencionar algunos. Por ejemplo, [FONT=sans-serif](11, 13), (17, 19) y[/FONT][FONT=sans-serif](2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] - 1, [/FONT][FONT=sans-serif]2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] + 1). En realidad, hay muchísimos. Tantos que hay quienes creen que puede ser un conjunto infinito de parejas.

[/FONT]

Bueno a esto puedo responder con otro de los videos de la serie, uno que tiene en el subtítulo Primos Gemelos.

Todo esto, empíricamente, sin ningún tipo de basamento matemático riguro y solo hasta los valores que pude representar en la circunferencia.

Justamente la teoría de números intenta DEMOSTRAR RIGUROSAMENTE y con matemáticas más allá de mi alcance muchas de estas cosas, no voy yo a decir como son con un simple programita.

De todas formas me apoye en el hecho que la circunferencia tiene infinitos puntos y que la puedo recorrar indefinidamente de radian en radian sin caer dos veces en el mismo punto para ir así "pintando" con una línea cada vez que encontraba un nuevo para de primos gemelos.


Para mi, sin ningún tipo de demostración a la mano, las parejas de primos gemelos son infinitas, pero no solo eso, también son infinitas la parejas de primos encontrados a un gap de 4, o de 6 o cualquier otro gap que se desee estudiar. A medida que represento cada vez más números las circunferencias concéntricas correspondientes a cada uno de los gap se van rellenando y quedando más densamente pobladas.

Es esto justamente lo que me parece hermoso y misterioso del asunto, cada orbita de números primo debe:

a.- Tener infinitos puntos rojos, denotando los primos
b.- Infinitos puntos negros denotando los compuestos

c.- Deben estar perfectamente alíneadas para que pueda existir permeabilidad, cada punto rojo exterior no puede pasar radialmente por sobre otro punto rojo, o sea, el camino desde el centro de la imagen hasta cualquier primo en cualquier órbita debe ser directo, sin pasar sobre otro primo.

Además me pareció que la frecuencia de aparicion de los gap es clara, son más frecuentes los gaps más pequeños, se delimita más rápidamente la órbita de los números a un gap de 2 (segunda órbita) que las de orden superior, incluso si en la herramienta veo las cosas a la inversa y coloco a la segunda órbita como la del exterior y por tanto la de mayor perímetro.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

A ver si entiendo lo que me quieres explicar Jaime

si $\infty \in \mathbb X$ sea cual fuera el conjunto $\mathbb X$ por ejemplo los pares...

entonces podríamos afirmar que $\infty$ puede pertenecer al conjunto X de elementos infinitos si $2\infty$ también lo hace , ..... pero como

Infinito no es un número, pero si lo fuera tendriamos que determinar algunas cosas sobre el, por ejemplo:

¿Infinito es par o impar?

Infinito sería menor que Infinito elevado a la infinito y vuelto a elevar a la Infinito (un número infinito de veces)

Cuanto sería el Factorial de Infinito

Más que pensar en $\infty$ como un punto de llegada creo que deberías pensarlo como un camino que nunca termina y por el cual puedes seguir andando siempre.

Mas que como un objeto piensa en el como un proceso...

No es fácil Richard, muestra de ello es que abrí acá este hilo de discusión...

Te recomiendo ver los videos divulgativos sobre el asunto, los de Paenza por ejemplo, o los del hotel con infinitos cuartos e infinitos clientes...

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

A ver si entiendo lo que me quieres explicar Jaime

si $\infty \in \mathbb X$ sea cual fuera el conjunto $\mathbb X$ por ejemplo los pares...

entonces podríamos afirmar que $\infty$ puede pertenecer al conjunto X de elementos infinitos si $2\infty$ también lo hace , ..... pero como

$2\infty=2\infty+1=\infty$ no puedo crear la relación biyectiva con ese elemento, es decir el $\infty$ no es ni par ni impar o lo es a la vez, por dar un ejemplo fácil de conjuntos infinitos....

en realidad debería bastar que $2\infty+2=2\infty$ por lo que la inversa$\dfrac{2\infty+2}{2}=\dfrac{2\infty}{2}=\infty$ para demostrar que ese elemento no tiene una relación biyectiva sino suprayectiva, así el conjunto de los pares o de los impares tienen infinitos elementos, pero el infinito como elemento no está presente en ninguno de los dos...

si es así entonces....

Para que un gap sea infinito , debería existir un primo, que no tenga un primos superior(lo que iría en contra de euclides),además esto lleva a una contradicción el gap se define como la diferencia entre dos primos y ese intervalo no puede aplicar como gap, ergo los únicos gap impares tienen longitud 1, y que un conjunto de números no primos consecutivos a partir de un primo que no tenga un primo mayor a todos ellos , no es un gap, por lo tanto no hay gap de longitud infinita por definición ya que requiere de la existencia del primo superior para determinar su longitud.

Aun así me resisto con el valor de la cota para el conjunto de todos los gap posibles, para una cantidad de primos n existirá otra cantidad de primos m tal que m>n para el cual el tamaño del máximo de los gaps posibles de encontrar en ese conjunto es mayor al mayor de los del con junto de n primos.
Y es una obviedad que para un n dado, existe un tamaño máximo o cota de gap.

[Jaime Rudas]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

si no tengo cota superior ... no se si implica que el infinito puede formar parte de ese conjunto .

Tal vez ayude a entenderlo si definimos infinito: un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A, tal que existe una relación biyectiva entre los elementos de A y de B. Así, por ejemplo, el conjunto de los números naturales es infinito porque se puede establecer una relación biyectiva entre sus elementos y las de algún subconjunto propio como, por ejemplo, el conjunto de los pares, o sea, a cada elemento n de los naturales le podemos hacer corresponder el elemento 2n de los pares. Así las cosas, que el conjunto de los naturales sea infinito no implica que infinito sea uno de sus elementos.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Aver no quiero convertirme en un necio troll, intentare por el absurdo, le pongo cota al conjunto de gaps

$Max_{i=1}^n\,Gap_i \,<\,z\in \mathbb{R} \,<\, \infty$

si defino

$w=\dst\prod\limits_{i=1}^{z+3} p_i$

reitero $w\pm1$ pueden o no ser primos o parte del gap, pero no los cuento

empiezo a contar los elementos del gap

$G_1=w+2 \in G_z$ por ser par
$G_2=w+3 \in G_z$ por ser múltiplo de 3
$G_3=G_1+2=w+4 \in G_z$ por ser múltiplo de 2
$G_4=w+5 \in G_z$ por ser múltiplo de 5
.....
$G_{z-1}=w+z \in G_z$ por ser múltiplo de 2 porque los elementos de los gaps son pares

sabemos que $\pi(z)<z$ entonces sabemos que $\pi(z+1)<z+1$ de alli que

$G_{z}=w+z+1 \in G_z$ por ser múltiplo de (z+1) en el caso que z+1 sea primo ya que $\pi(z+1)<z+1$ entonces (z+1) estará incluido entre los términos la productoria, y si no es primo

$z+1=a\cdot b$

con $a <z+1$ y $b<z+1$ luego $\pi(a)<a<z+1$ entonces $w+z+1=K\cdot a+a\cdot b=(K+b)\cdot a$ no sera primo

$G_{z+1}=w+z+2 \in G_z$ por ser múltiplo de 2 porque los elementos de los gaps son pares y al sumarle dos también es par

$G_{z+2}=w+z+3 \in G_z$ por ser múltiplo de (z+3) en el caso que z+3 sea primo ya que $\pi(z+3)<z+3$ entonces (z+3) estará incluido entre los términos la productoria, y si no es primo

$z+3=a\cdot b$

con $a <z+3$ y $b<z+3$ luego $\pi(a)<a<z+3$ entonces $w+z+3=K\cdot a+a\cdot b=(K+b)\cdot a$ no sera primo


luego $G_{z+2}-G_1=z+1$

tengo un conjunto de z+1 números consecutivos no primos pertenecientes a un mismo gap

parto de la conjetura que los elementos del conjunto de gap tiene cota $z$ , y puedo con esos elementos hallar un conjunto de números no primos consecutivos cuyo elemento superior e inferior están separados más allá de la cota, entonces por el absurdo la cota no Existe, y si no tengo cota superior ... no se si implica que el infinito puede formar parte de ese conjunto .

que opinan en que falla esa lógica...

La historia es que en un conjunto infinito numerable como $\mathbb{N}=\left\{ 0, 1, 2, 3, ... \right\}$ no existe el último número del que hablas.

Gracias Weip , y a todos por la paciencia, se me ha clavado la espina y no me la puedo sacar

No se porque no ha de existir...te creo...pero yo pense que ese número es $\infty$, puede ser mi desconocimiento en profundidad en el tema...

No sé si esto te convence. Al final el que el índice $n$ pertenezca a $\mathbb{N}$ no te permite decir que el infinito ($\mathbb{N}$) es un número para enumerar "el último elemento" de tu conjunto.

La verdad que no por ahora, pero seguiré dándole vueltas al tema. De verdad agradezco a todos, en especial a Maq77 , ya que le estirado el hilo con mis propias dudas.



He estado buscando y he encontrado que si se puede poner una cota a los gaps de primos, para un primo dado, el tema que si no le ponemos limite al primo, no hay cota, que es lo que intento decir...el limite es el infinito. Me lo permitan o no poner en el conjunto o numerarlo...

https://primes.utm.edu/notes/gaps.html,

El tipo de productoria que vengo haciendo se lle llama en ingles primorial, así que nada nuevo bajo el sol...

[Weip]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola Richard.

Como puede ser que si enumero los elementos de un conjunto con $infinitos elementos$, cuando llegue al último este no tenga el número infinito asociado. No digo que el número en el conjunto sea el infinito(o que el infinito pertenezca al conjunto) sino que el número que lo enumera sea el infinito.

La historia es que en un conjunto infinito numerable como $\mathbb{N}=\left\{ 0, 1, 2, 3, ... \right\}$ no existe el último número del que hablas. Lo que más se parece a lo que estás diciendo es $\omega$, el primer infinito numerable, que no es nada más y nada menos que una notación alternativa para $\mathbb{N}$. Interpretar $\mathbb{N}$/$\omega$/$\aleph_0$ como el último número natural es incorrecto pero sí es posible pensar en él como el conjunto de naturales ($\mathbb{N}$), como el "último" número de una secuencia ordenada de números naturales ($\omega$) o como el tamaño de los naturales ($\aleph_0$). Al final, todo son notaciones para el mismo objeto: $\left\{ 0, 1, 2, 3, ... \right\}$. Esto funciona de la misma forma con cualquier conjunto infinito numerable como el de los primos. No existe un último primo y por tanto lo que dices no es posible pero sí tiene sentido hablar de cuántos números primos hay: $\aleph_0$.

No sé si esto te convence. Al final el que el índice $n$ pertenezca a $\mathbb{N}$ no te permite decir que el infinito ($\mathbb{N}$) es un número para enumerar "el último elemento" de tu conjunto.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

el conjunto de todos los n puede ser infinito, pero n mismo no puede serlo.

Algo no me cierra Jaime

Como puede ser que si enumero los elementos de un conjunto con $infinitos elementos$, cuando llegue al último este no tenga el número infinito asociado. No digo que el número en el conjunto sea el infinito(o que el infinito pertenezca al conjunto) sino que el número que lo enumera sea el infinito.

Según euclides el conjunto de todos los primos es infinito, entonces el último número de su enumeración debe serlo, es decir, "n" el último contable es infinito, sino el conjunto no es infinito. (esa es la cantidad de elementos de la productoria, y la misma cantidad de números antes y después de la productoria serían elementos no primos enteros, es decir elementos del gap, si lo voy enumerando, paso a paso llego a que mínimamente tengo $i$ elementos, en el caso del último tengo $n$ y $n$ es infinito...)

Bueno te faltó mencionar algunos. Por ejemplo, [FONT=sans-serif](11, 13), (17, 19) y[/FONT][FONT=sans-serif](2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] - 1, [/FONT][FONT=sans-serif]2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] + 1). En realidad, hay muchísimos. Tantos que hay quienes creen que puede ser un conjunto infinito de parejas.[/FONT]

Gracias jaime, me pareció que en el video de Maq77 eran solo dos o tres en el centro, de verdad gracias, lo ultimo que quiero es escribir pavadas...

existe la conjetura

[FONT=Georgia]Existe un número infinito de primos [/FONT]p tales que p + 2 también es primo.

[Jaime Rudas]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

el $n$ al que me refiero es que puedo poner un conjunto de $n$ números primos tan grande como se quiera hasta llegar a infinito,
[...]
a $n$ lo puedo hacer tan grande como quiera hasta infinito y sin limites...

[...]
con $n$ tan grande como quiera , incluso infinito pues n segun euclides puede serlo.

No, Richard, en ninguno de estos casos n puede ser infinito. Fíjate en la conclusión que acertadamente saca Maq77: el conjunto de todos los n puede ser infinito, pero n mismo no puede serlo.

Como creo que no hay dos primos separados por 2 unidades mas alla de los 3,5y7 [...]

Bueno te faltó mencionar algunos. Por ejemplo, [FONT=sans-serif](11, 13), (17, 19) y[/FONT][FONT=sans-serif](2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] - 1, [/FONT][FONT=sans-serif]2996863034895 · 2[/FONT]^1290000[FONT=sans-serif] + 1). En realidad, hay muchísimos. Tantos que hay quienes creen que puede ser un conjunto infinito de parejas.[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

Hola entiendo que n es numero "el contable" de la enumeración de los números primos , ejemplo si el 1 es primo tiene el contable 1 , el 2 es primo sera el contable 2 , el 3 es primo y sera el contable 3 , el 5 es primo y sera el contable 4,

el $n$ al que me refiero es que puedo poner un conjunto de $n$ números primos tan grande como se quiera hasta llegar a infinito, según Euclides, los hay , y por cada i dentro de ese conjunto de n primos, hay un gap que mínimamente tiene i de longitud.

si el existe ultimo primo del conjunto, el "n", entonces existirá un gap con minimamente ese valor $n$, si $n$ tiende a infinito, el gap también.

He visto que buscando más números para la siguiente tabla que , los gaps de los que hablo aparecen por pares ...

si $\dst\prod\limits_1^n p_i$ es divisible por todos los primos hasta $n$ entonces


$\dst\prod\limits_1^n p_i+2$ es divisible por 2 y puede o no ser el minimo de un gap, pero si pertenece a uno de ellos

pero tambien lo será

$\dst\prod\limits_1^n p_i-2$pues también es divisible por 2 y puede o no ser el máximo de un gap, pero si pertenece a uno de ellos.

de no ser primos los números $\dst\prod\limits_1^n p_i\pm1$ perteneceran al mismo gap ,

pero si aparece un primo antes y después de ese primo habra $i$ números consecutivos no primos que crean 2 gap de mínimamente $i$ elementos, cuyo máximo es $n$ infinto

Orden	Primo	productoria primos	maximo inicio gap	minimo fin gap	gap mínimo	gap real	primo inicio	primo fin
2	2	2	4	4	2	2	3	5
3	3	6	8	9	3	4	7	11
4	5	30	32	34	4	6	31	37
5	7	210	212	215	5	12	211	223
6	11	2310	2312	2316	6	22	2311	2333
7	13	30030	30032	30037	7	18	30029	30047
8	17	510510	510512	510518	8	48	510481	510529
9	19	9699690	9699692	9699699	9	46	9699667	9699713
10	23	223092870	223092872	223092880	10	80	223092827	223092907

a $n$ lo puedo hacer tan grande como quiera hasta infinito y sin limites...

no se si entiende ya mi objeción a la cota del gap...

ningún elemento en estos grupos $\left[\prod\limits_1^n p_i-n\,,\,\prod\limits_1^n p_i-2\right]$ y $\left[\prod\limits_1^n p_i+2\,,\,\prod\limits_1^n p_i+n\right]$ puede contener primos , son dos grupos de $n-1$ elementos como mínimo, con $n$ tan grande como quiera , incluso infinito pues n segun euclides puede serlo. Como creo que no hay dos primos separados por 2 unidades mas alla de los 3,5y7 entonces o bien el gap superior o bien el inferior tendrá $n$ elementos

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

La cuestión Richard, es que "n" tiende al infinito, pero "n" no es infinito, "n" es solo "n" un valor determinado y discreto que denota un segmento de recta, un arco de circunferencia o un intervalo determinado... Siempre existirá un "n+1" superior que hara que el conjunto de {n, n+1, n+2,...} tenga infinita cantidad de elementos, pero en si mismos ninguno de esos elementos será infinito.

Al menos a está conclusión llego luego de haber participado en esta discusión.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

El teorema dice sencillamente, que el “gap” entre un número primo “n” y el siguiente número primo, es siempre menor que “n”

Como tiquismiquis de turno, sin una base matemática superior, más que la intuición, no veo que algo sin cota numérica, es decir que sea tan grande como yo quiera, no sea considerado infinito, aunque no se si es harina de otro costal.

Si como base admites, que siempre hallarás un primo superior, la diferencia entre este y el anterior estará acotada y menor al valor del primo, lógico, claro y sencillo , pero cuál es la cota del primo .... no tiene, entonces el gap tampoco...

Yo veo que luego de la productoria de primos consecutivos hay un gap cuyo tamaño nunca es inferior al número de primos de la productoria, entonces si aumento el número de primos consecutivos, entonces aumento el gap, si el número de primos tiende a infinito ese gap también lo hará.

si Euclides dijo que los números primos son infinitos existe un gap que tiene el mismo valor.

orden n primo	número primo	máximo inicio gap $a=\dst\prod\limits_1^n p_i+2$	mínimo fin gap $b=\dst\prod\limits_1^n p_i+n$	tamaño mínimo gap $c=b-a+2$	gap calculado
2	2	4	4	2	2
3	3	8	9	3	4
4	5	32	34	4	6
5	7	212	215	5	12

No creo haya excepción a la regla si $n$ crece el gap mínimo crece, si $n$ es infinito entonces el gap también lo será.

Con esto no pretendo ir en contra del teorema , que si es teorema estrá demostrado, pero cuál es la cota al gap mínimo...


$c=\dst\prod\limits_1^n p_i+n-(\dst\prod\limits_1^n p_i+2)+2=n$

y si $n$ no tiene cota entonces el gap tampoco.

Si de la definición de infinito no cabe que , si un número menor que infinito , no es infinito por más que no se pueda calcular, por lo grande que es, entonces te doy la derecha. Porqué puede que sea obvio pero no lo tengo claro.

de https://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

veo que si [FONT=sans-serif](aquí "x" representa un n° real cualquiera)

[/FONT]$x+\infty=\infty$

si es real puede ser negativo , con lo que un numero inferior a infinito es infinito, y el gap entonces lo es....




dice $n<p<2n-2$

para $n+1$ debe cumplirse que

$n+1<p<2(n+1)-2$

o en su defecto

$n+1<p+Gap<2(n+1)-2$

de aquí si restamos $p$

$n+1-p<Gap<2(n+1)-2-p$

y tomamos el peor de los casos reemplazamos por las cotas inferiores y superiores de $p$


$n+1-(2n-2)<Gap<2(n+1)-2-n$

de lo que queda

$3-n<Gap<n$ con lo que demostre el teorema ...pero

si le colocas la cota al gap con $n$, pero $n$ no tiene cota y el gap no tiene límite, quizá lo atrevido es decir que es infinito cuando existe un número superior a él que es $n$
con lo que empezamos con que infinito es mas grande....

Saludos y gracias por debatir...

Puedes ver los intentos de mejorar la acotación del "gap" en Prime gap

Saludos.

cuando digan que encontraron el número z=123456.... o el que sea, con todas las cifras que se le puedan poner y me digan que no hay un gap superior a ese z, juro que me pongo a calcular uno más grande que la cota...


Pd... si no es cierto mi calculo, entonces donde falla???