Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenos días;
Gracias por tu mensaje, me parece muy didáctico, pero hay algún aspecto en el que me siento perdido;
Cuando dices;

...
$\dst \Psi (x)=A e^{i\lambda x}+B e^{-i\lambda x}$

Donde hemos definido $\dst \lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$...

Partiendo de $\dst \frac{d^2 \Psi}{dx^2}+ \frac{2mE}{\hbar^2}\Psi=0$
Entonces obtengo para el primer término de la ecuación;
$\dst \Psi'' (x)=-A\lambda^2 e^{i\lambda x}-B\lambda^2 e^{-i\lambda x}$

y para el segundo término obtengo el mismo valor con el signo cambiado. De manera que obtengo $0=0$, debo estar equivocándome en algo.

El resto de tu respuesta, me lleva a aspectos del conocimiento y de las matemáticas que ignoraba y me parecen muy interesantes.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Hola Iñaki, mira, para una ecuación de ese estilo con una única variable puedes sustituir las parciales por las derivadas de toda la vida, obteniendo:

$\dst \frac{d^2 \Psi}{dx^2}+ \frac{2mE}{\hbar^2}\Psi=0$

Otra cosa importante que tienes que tener claro, es que es muy importante tener en cuenta las condiciones de contorno. Puedes pedir que las funciones sean periódicas con el tamaño de la caja $\dst \Psi (x)=\Psi (x+L)$ o que se anulen en los extremos en cuyo caso las condiciones de contorno serían $\dst \Psi (0)=\Psi (L)=0$. Estas últimas serán las que apliquemos.

Esta ecuación tiene como soluciones exponenciales, cosa que puedes ver en cualquier lugar que te explique resolución de EDOs con coeficientes constantes (en concreto para este caso, podrías ver algún enlace del estilo de https://www.youtube.com/watch?v=cPV8pU8e2C8):

$\dst \Psi (x)=A e^{i\lambda x}+B e^{-i\lambda x}$

Donde hemos definido $\dst \lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$.

Aplicando las condiciones de contorno mencionadas vemos lo siguiente:

$\dst \Psi (0)=A e^{i\lambda 0}+B e^{-i\lambda 0}=A+B=0$

De modo que podemos reescribir la función de onda como:

$\dst \Psi (x)=A \left( e^{i\lambda x}- e^{-i\lambda x}\right)$

Pero esto nos recuerda mucho a la forma de escribir el seno con exponenciales: Con lo que definimos una nueva constante $C=2iA$:

$\dst \Psi (x)=C \sin\left( \lambda x\right)$

Ahora bien, aún nos queda una condición de contorno $\Psi (L)=0$:

$\dst \Psi (L)=C \sin\left( \lambda L\right)=0$

Aquí viene el meollo de la cuestión, $C$ es distinto de generalmente, por lo que sabemos que es el seno lo que se anula. Pero ahora bien el seno se anula para unos valores concretos:

$\dst \sin x=0 \longleftrightarrow x=n\pi$

De modo que vemos que:

$\lambda=\frac{n\pi}{L}$

Siendo n un número entero.

Es decir, sabemos que $\lambda$ debe cumplir al mismo tiempo dos condiciones:

$\lambda=\frac{n\pi}{L}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$

Así vemos que se cumple la relación:

$\dst E= \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2}= \frac{n^2 h^2}{8m L^2}$

Mientras que la función de onda con lo que sabemos ya, puede escribirse como:

$\dst \Psi (x)=C \sin\left( \frac{n\pi}{L} x\right)$

Para obtener que $\dst C=\sqrt{\frac{2}{L}}$ basta con aplicar la normalización de la función de onda.

Espero que esto te haya servido para comprenderlo bien. Sólo quiero mencionar una cosa más.

De mometo, me resulta difícil de entender el como una ecuación diferencial (en segundo grado en este caso) da lugar a un resultado discontinuo (cuantificado), aunque creo que empiezo a darme cuenta de por donde van los tiros. Se que es así, pero no me conformo simplemente con saber que esto es así.

Como ves el resultado cuantizado se obtiene al haber impuesto que la función de onda estuviera confinada en una caja de longitud L (o si quieres, paredes de potencial infinito).

Un saludo

[inakigarber]

Buenos dias;

Revisando algún video de YouTube sobre el problema de la partícula en un pozo de potencial infinito en mecánica cuántica, he encontrado el siguiente vídeo, me parece muy interesante pero me plantea una duda que no se muy bien si plantearla en la sección de mecánica cuántica o de métodos matemáticos. El conjunto de explicaciones lo entiendo bastante bien, tanto antes como después, excepto en el paso que voy a detallar cuya explicación omite el autor y que es el siguiente.

No entiendo de donde salen las soluciones a la ecuación;

$$\frac{\partial^2_{(\Psi_x)} }{\partial_{(x)^2}}+\dfrac{2mE\Psi_x}{\hbar^2}=0$$

Soluciones a la ecuación (1)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$E_n=\dfrac{n^2 h^2}{8 m a^2}$
La ecuación (1) es la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito, entendemos que dentro del pozo la energia potencial es constante.
donde $n=1,2,3,4....etc$ y $a$ es la longitud de la caja. Los valores permitidos de energia son los mismos que se obtienen a través de las ecuaciones de De Broglie. (como debería ser).

De momento, me resulta difícil de entender el como una ecuación diferencial (en segundo grado en este caso) da lugar a un resultado discontinuo (cuantificado), aunque creo que empiezo a darme cuenta de por donde van los tiros. Se que es así, pero no me conformo simplemente con saber que esto es así.

Saludos y gracias.