Divulgación Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

[inakigarber]

Buenos dias;

Revisando algún video de YouTube sobre el problema de la partícula en un pozo de potencial infinito en mecánica cuántica, he encontrado el siguiente vídeo, me parece muy interesante pero me plantea una duda que no se muy bien si plantearla en la sección de mecánica cuántica o de métodos matemáticos. El conjunto de explicaciones lo entiendo bastante bien, tanto antes como después, excepto en el paso que voy a detallar cuya explicación omite el autor y que es el siguiente.

No entiendo de donde salen las soluciones a la ecuación;

$$\frac{\partial^2_{(\Psi_x)} }{\partial_{(x)^2}}+\dfrac{2mE\Psi_x}{\hbar^2}=0$$

Soluciones a la ecuación (1)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$E_n=\dfrac{n^2 h^2}{8 m a^2}$
La ecuación (1) es la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito, entendemos que dentro del pozo la energia potencial es constante.
donde $n=1,2,3,4....etc$ y $a$ es la longitud de la caja. Los valores permitidos de energia son los mismos que se obtienen a través de las ecuaciones de De Broglie. (como debería ser).

De momento, me resulta difícil de entender el como una ecuación diferencial (en segundo grado en este caso) da lugar a un resultado discontinuo (cuantificado), aunque creo que empiezo a darme cuenta de por donde van los tiros. Se que es así, pero no me conformo simplemente con saber que esto es así.

Saludos y gracias.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Hola Iñaki, mira, para una ecuación de ese estilo con una única variable puedes sustituir las parciales por las derivadas de toda la vida, obteniendo:

$\dst \frac{d^2 \Psi}{dx^2}+ \frac{2mE}{\hbar^2}\Psi=0$

Otra cosa importante que tienes que tener claro, es que es muy importante tener en cuenta las condiciones de contorno. Puedes pedir que las funciones sean periódicas con el tamaño de la caja $\dst \Psi (x)=\Psi (x+L)$ o que se anulen en los extremos en cuyo caso las condiciones de contorno serían $\dst \Psi (0)=\Psi (L)=0$. Estas últimas serán las que apliquemos.

Esta ecuación tiene como soluciones exponenciales, cosa que puedes ver en cualquier lugar que te explique resolución de EDOs con coeficientes constantes (en concreto para este caso, podrías ver algún enlace del estilo de https://www.youtube.com/watch?v=cPV8pU8e2C8):

$\dst \Psi (x)=A e^{i\lambda x}+B e^{-i\lambda x}$

Donde hemos definido $\dst \lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$.

Aplicando las condiciones de contorno mencionadas vemos lo siguiente:

$\dst \Psi (0)=A e^{i\lambda 0}+B e^{-i\lambda 0}=A+B=0$

De modo que podemos reescribir la función de onda como:

$\dst \Psi (x)=A \left( e^{i\lambda x}- e^{-i\lambda x}\right)$

Pero esto nos recuerda mucho a la forma de escribir el seno con exponenciales: Con lo que definimos una nueva constante $C=2iA$:

$\dst \Psi (x)=C \sin\left( \lambda x\right)$

Ahora bien, aún nos queda una condición de contorno $\Psi (L)=0$:

$\dst \Psi (L)=C \sin\left( \lambda L\right)=0$

Aquí viene el meollo de la cuestión, $C$ es distinto de generalmente, por lo que sabemos que es el seno lo que se anula. Pero ahora bien el seno se anula para unos valores concretos:

$\dst \sin x=0 \longleftrightarrow x=n\pi$

De modo que vemos que:

$\lambda=\frac{n\pi}{L}$

Siendo n un número entero.

Es decir, sabemos que $\lambda$ debe cumplir al mismo tiempo dos condiciones:

$\lambda=\frac{n\pi}{L}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$

Así vemos que se cumple la relación:

$\dst E= \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2}= \frac{n^2 h^2}{8m L^2}$

Mientras que la función de onda con lo que sabemos ya, puede escribirse como:

$\dst \Psi (x)=C \sin\left( \frac{n\pi}{L} x\right)$

Para obtener que $\dst C=\sqrt{\frac{2}{L}}$ basta con aplicar la normalización de la función de onda.

Espero que esto te haya servido para comprenderlo bien. Sólo quiero mencionar una cosa más.

De mometo, me resulta difícil de entender el como una ecuación diferencial (en segundo grado en este caso) da lugar a un resultado discontinuo (cuantificado), aunque creo que empiezo a darme cuenta de por donde van los tiros. Se que es así, pero no me conformo simplemente con saber que esto es así.

Como ves el resultado cuantizado se obtiene al haber impuesto que la función de onda estuviera confinada en una caja de longitud L (o si quieres, paredes de potencial infinito).

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenos días;
Gracias por tu mensaje, me parece muy didáctico, pero hay algún aspecto en el que me siento perdido;
Cuando dices;

...
$\dst \Psi (x)=A e^{i\lambda x}+B e^{-i\lambda x}$

Donde hemos definido $\dst \lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$...

Partiendo de $\dst \frac{d^2 \Psi}{dx^2}+ \frac{2mE}{\hbar^2}\Psi=0$
Entonces obtengo para el primer término de la ecuación;
$\dst \Psi'' (x)=-A\lambda^2 e^{i\lambda x}-B\lambda^2 e^{-i\lambda x}$

y para el segundo término obtengo el mismo valor con el signo cambiado. De manera que obtengo $0=0$, debo estar equivocándome en algo.

El resto de tu respuesta, me lleva a aspectos del conocimiento y de las matemáticas que ignoraba y me parecen muy interesantes.

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Iñakigarber, lo que has hecho es correcto. ¿Cual es el problema? Ese 0 = 0 lo que te demuestra es que la solución que se ha propuesto respeta la ecuación de Schrödinger y es coherente.

También lo puedes ver como que la segunda derivada espacial de la función de onda es igual a -$\lambda^2 \Psi$, que se respeta.

La forma de obtener información del pozo potencial infinito es como te han expuesto, a partir de las condiciones de contorno y de normalizar $\Psi^2$ para obtener $C$.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por vuestros comentarios;
Vamos a ver si lo he entendido, voy a explicarlo a mi manera;
Partamos de la ecuación de Schrödinger para el pozo de potencial infinito;

$$\frac{\mathrm{d^2 \Psi_(x)} }{\mathrm{dx}^2 }+\frac{2mE\Psi_(x)}{\hbar^2}=0$$

En un principio pensé que debería calcular la segunda derivada se dicha función, pero ahora veo que no es así.
Bien, una onda podemos definirla de esta manera (creo que esto no lo hubiera entendido en toda mi vida);
$\Psi_(x)=Ae^{(i \lambda x)}+Be^{(-i \lambda x)}$
Donde $A$ y [FONT=Verdana]$B$ [/FONT]son dos constantes arbitrarias en nuestro caso distintas de cero y $\lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$
Ahora bien, tendremos

$$\Psi_{(0)}=Ae^{(i \lambda 0)}+Be^{(-i \lambda 0)}=0$$

[FONT=Verdana]
[/FONT]

$$\Psi_{(L)}=Ae^{(i \lambda L)}+Be^{(-i \lambda L)}=0$$

De la primera ecuación obtendremos; $B=-A$
De la ecuación del seno (que creo que nunca sería capaz de pensar) obtendré;

[FONT=Tahoma]

$$\Psi_{(L)}=2Ai Sen (\lambda L)$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Bien, pero ¿Cuál es la condición para que [/FONT]$Sen (\lambda L)=0$[FONT=Verdana]?
[/FONT]

[FONT=Verdana]Esta condición es $\lambda L=n \pi$, por lo que;
$L\sqrt{\dfrac{2mE_n}{\hbar^2}}=n \pi$
Despejando me sale;

$$E_n=\dfrac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}=\dfrac{h^2 n^2}{8mL^2}$$

Creo que así si voy por el camino correcto.
¿Es así?
Saludos y gracias.
[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Está bien.

Ya sólo te falta definir la función de onda teniendo en cuenta $\lambda$ y obtener la constante normalizando la función:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = 1$

Esta integral viene a decir que la partícula existe y la probabilidad de encontrarla es 1 si miramos en todo el espacio.

pd: La ecuación de Schrödinger estacionaria que es la que se obtiene en el pozo potencial infinito unidimensional es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), estas ecuaciones se conocen sus soluciones de forma analítica a diferencia de las que no son EDOs que no siempre se pueden resolver de forma analítica y muchas veces se resuelven por métodos númericos mediante ordenador. No se deriva dos veces la función de onda porque esta información es la que sabes que se debe cumplir y lo que buscas es una función de onda que cumpla esa forma, puedes intentar a prueba y error y la forma será sustituyendo en la ecuación y verificando que se cumpla la igualdad, si no se cumple no será válida. Luego mediante las condiciones de contorno determinas los coeficientes físicos para este problema en concreto y ya lo tienes.

La física a estos niveles suele operar así: 1. Planteas la ecuación diferencial que describe el problema físico ayudándote de alguna ley física que lo describa 2. Vas al departamento de matemáticas de tu universidad y les pides que te resuelvan la ecuación diferencial 2. Mediante condiciones de contorno e iniciales intentas determinas las constantes, también puedes ayudarte de leyes extra que se tienen que aplicar (en este caso la normalización de la función de onda) 4. Analizas el sentido físico de las soluciones, viendo las relaciones de las magnitudes y de los parámetros, si es el caso vuelves al departamento de matemáticas a que te hagan un análisis de cómo los parámetros afectan a la dinámica del sistema

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por la explicación, creo que es muy didáctica.

..
Ya sólo te falta definir la función de onda teniendo en cuenta $\lambda$ y obtener la constante normalizando la función:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = 1$

Esta integral viene a decir que la partícula existe y la probabilidad de encontrarla es 1 si miramos en todo el espacio.
….

Habiendo obtenido los niveles de energía ya he conseguido conocer más de lo que imaginaba. Pero ya puestos ¿Cómo podría calcular esta integral?

Lo que me está diciendo la función de onda (o mejor dicho su conjugado complejo $\Psi\Psi^*$ es la probabilidad que tengo de encontrar la partícula para una posición dada y para un número cuántico "n" concreto. La suma de todas estas posibilidades dará siempre 1. Pero no alcanzo a saber más allá.

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por la explicación, creo que es muy didáctica.


Habiendo obtenido los niveles de energía ya he conseguido conocer más de lo que imaginaba. Pero ya puestos ¿Cómo podría calcular esta integral?

Lo que me está diciendo la función de onda (o mejor dicho su conjugado complejo $\Psi\Psi^*$ es la probabilidad que tengo de encontrar la partícula para una posición dada y para un número cuántico "n" concreto. La suma de todas estas posibilidades dará siempre 1. Pero no alcanzo a saber más allá.

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi\Psi^* \dd x = C^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x = 1$

$\dst C = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x}}$

Te dejo los detalles de la continuación a ti, si no sale avisa.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenas noches, creo que he vuelto a perderme.
He partido de la idea;
$Sen^2(\lambda x)=\dfrac{1-Cos(2 \lambda x)}{2}$
Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

[Weip]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi\Psi^* \dd x = C^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x = 1$

$\dst C = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x}}$

Te dejo los detalles de la continuación a ti, si no sale avisa.

Buenas noches, creo que he vuelto a perderme.
He partido de la idea;
$Sen^2(\lambda x)=\dfrac{1-Cos(2(\lambda x)}{2}$
Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

Vaya por delante que no he leído todo el hilo pero como la caja tiene longitud $L$ entonces:

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x =|C|^2\dst\int_0^L \sin^2(\lambda x)\dd x=1$

Y ahora sí que da un resultado con sentido con lo que se podrá despejar $|C|$ sin problemas.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

...Y ahora sí que da un resultado con sentido con lo que se podrá despejar $|C|$ sin problemas.

A mi me ha salido este resultado;
$\frac{C^2}{4L}(2L^2-Sen(2 \lambda L))=1$, pero no he logrado avanzar mas.

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

A mi me ha salido este resultado;
$\frac{C^2}{4L}(2L^2-Sen(2 \lambda L))=1$, pero no he logrado avanzar mas.

Saludos y gracias.

Vendría bien que indicases el proceso que has hecho para ver dónde está el fallo exactamente. La integral debería darte $|C|^2L/2$. Tienes:

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x =|C|^2\dst\int_0^L \sin^2(\lambda x)\dd x=\dst\frac{|C|^2}{2}\left( \dst\int_0^L \dd x - \dst\int_0^L \cos(2 \lambda x)\dd x\right)$

Ahora, la primer integral da $L$ y la segunda da cero. Imponiendo que $|\Psi|^2$ es densidad de probabilidad podrás escribir $|C|^2L/2=1$ y despejar de ahí el módulo de $C$. Verás que no hay un único complejo que satisface la ecuación anterior pero puedes considerar que $C$ es real por ser la elección más simple y te quedará lo que Lorentz te avanzó, $C=\sqrt{2/L}$.

Edito: Mirando tu expresión con más detenimiento me doy cuenta de que te da el resultado correcto observando que la parte del seno se anula (recuerda que $\lambda=n\pi/L$). Al simplificar da lo que dije antes, $|C|^2L/2$, y puedes obtener $C$ tal y como he explicado.

[arivasm]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

El potencial solo es finito en una región de tamaño $L$, no desde $-\infty$ hasta $\infty$. Además tienes que tener en cuenta que en los extremos de dicha región la función de onda debe anularse. Es precisamente esa importante condición de frontera la que conduce a la cuantización de las soluciones!

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenas noches;
Gracias por vuestra ayuda.
Creo que ya lo tengo más claro, veamos;

$$\Psi_{(x)}=C\ Sin(\lambda x)$$

$$\Psi_{(x)^*}=C\ Sin(-\lambda x)=-C\ Sin(\lambda x)$$

Bien, la condición de normalización dado que siempre encontraremos el electrón dentro del pozo (entre x=0 y x=L) es la siguiente;

$$\dst \int_{0}^{L} |\Psi_{(x)}\Psi_{(x)|}^2|dx=C^2\dst \int_{0}^{L} |Sin^2(\lambda x)^2|dx=1$$

.
Para un valor de $\lambda=\dfrac{2 \pi}{L}$, también me da un valor de $C=\sqrt{2/L}$,
Con lo que la función me quedaría;

$$\Psi_{(x)}=\sqrt{\dfrac{2}{L}}Sen (n \pi x/L)$$

pero tampoco se si esto es correcto del todo.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Casi lo tienes, mira voy a escribir los pasos que estás siguiendo:

$\Psi \left(x\right)=C \sin \left( \lambda x \right)$

En la conjugación lo que tienes que tener en cuenta es que el seno es real, de modo que no cambia, mientras que la C como desconoces su valor sí que tienes que tener en cuenta ponerla como conjugado.

$\Psi^{*} \left(x\right)=C^{*} \sin \left( \lambda x \right)$

Aplicamos la condición de normalización:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} \left(x\right) \Psi \left(x\right) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left| \Psi \left(x\right)\right|^2 dx=1$

En este caso como la longitud de la caja es entre y $L$ los extremos de la integral serán esos, de modo que:

$\dst \int_{0}^{L} C^{*}C \sin^2 \left( \lambda x \right) dx =1$

De modo que $\dst \int_{0}^{L} \sin^2 \left( \lambda x \right) dx =\frac{1}{\left|C\right|^2}$

El valor de C que obtienes resolviendo esto será $\dst |C|=\sqrt{\frac{2}{L}}$

Llegados a este punto te menciono, de manera general C es complejo, el resultado que has obtenido te da el módulo de C, pero realmente esa constante puede tener una fase global que no cambia los cálculos. De manera general escribirías $\dst C=e^{i \theta} \sqrt{\frac{2}{L}}$, pero dado que no afecta a los cálculos (porque el módulo te sigue quedando el mismo), puedes elegir sin pérdida de generalidad $\dst C=\sqrt{\frac{2}{L}}$.

Espero que te vaya quedando más claro.

Un saludo