Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

No sé muy bien a qué quieres llegar con eso. Pero si es una "caja muy pequeña" básicamente es que toda la función de onda estaría confinada en un espacio tan reducido que sería algo parecido a una delta de Dirac, puesto que te indicaría que en ese punto la probabilidad de encontrar la partícula es 1, y por el contrario si es muy grande, estaría extendida en una región tan grande que la probabilidad de encontrar la partícula en un punto determinado sería prácticamente 0.

De todas formas, si quieres hacer esa interpretación, no lo hagas con la constante, sino con el módulo al cuadrado de la función de onda, tal y como se admite en la interpretación probabilística de la mecánica cuántica.

Saludos

A lo que me refería es que a una caja muy pequeña, el valor de una constante A tendería a infinito y la función me saldría estrecha y picuda (como el delta de Dirac) y a una caja muy grande me saldría ancha y con muy poca altura. Por otra parte, en el primer caso si aplico la transformada de Fourier, su transformada me saldrá una función ancha y viceversa, en el segundo caso la transformada resultante me saldrá una función estrecha.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

De esta forma, si me sale; . Para una caja muy pequeña , , con lo que la amplitud de la función de onda tendería a infinito. Por el contrario, para , , con lo que su amplitud tendería a cero.

No sé muy bien a qué quieres llegar con eso. Pero si es una "caja muy pequeña" básicamente es que toda la función de onda estaría confinada en un espacio tan reducido que sería algo parecido a una delta de Dirac, puesto que te indicaría que en ese punto la probabilidad de encontrar la partícula es 1, y por el contrario si es muy grande, estaría extendida en una región tan grande que la probabilidad de encontrar la partícula en un punto determinado sería prácticamente 0.

De todas formas, si quieres hacer esa interpretación, no lo hagas con la constante, sino con el módulo al cuadrado de la función de onda, tal y como se admite en la interpretación probabilística de la mecánica cuántica.

Saludos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Si, creo que me has ayudado a entenderlo mejor.
El error que habia cometido es el de suponer la constante como una magnitud real, cuando me habias dicho previamente lo siguiente

... Con lo que definimos una nueva constante $C=2iA$....

De esta forma, si me sale; $A=-i\sqrt{2/L}$. Para una caja muy pequeña $L\to 0$, $A \to\infty$, con lo que la amplitud de la función de onda tendería a infinito. Por el contrario, para $L\to \infty$, $A \to 0$, con lo que su amplitud tendería a cero.

- - - Actualizado - - -

...Llegados a este punto te menciono, de manera general C es complejo, el resultado que has obtenido te da el módulo de C, pero realmente esa constante puede tener una fase global que no cambia los cálculos. De manera general escribirías $\dst C=e^{i \theta} \sqrt{\frac{2}{L}}$, pero dado que no afecta a los cálculos (porque el módulo te sigue quedando el mismo), puedes elegir sin pérdida de generalidad $\dst C=\sqrt{\frac{2}{L}}$.

Espero que te vaya quedando más claro.

Un saludo

De manera que aunque C representa un valor imaginario, realmente lo único que nos interesa sería su módulo, pero no su dirección.

Saludos y gracias.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Casi lo tienes, mira voy a escribir los pasos que estás siguiendo:

$\Psi \left(x\right)=C \sin \left( \lambda x \right)$

En la conjugación lo que tienes que tener en cuenta es que el seno es real, de modo que no cambia, mientras que la C como desconoces su valor sí que tienes que tener en cuenta ponerla como conjugado.

$\Psi^{*} \left(x\right)=C^{*} \sin \left( \lambda x \right)$

Aplicamos la condición de normalización:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} \left(x\right) \Psi \left(x\right) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left| \Psi \left(x\right)\right|^2 dx=1$

En este caso como la longitud de la caja es entre y $L$ los extremos de la integral serán esos, de modo que:

$\dst \int_{0}^{L} C^{*}C \sin^2 \left( \lambda x \right) dx =1$

De modo que $\dst \int_{0}^{L} \sin^2 \left( \lambda x \right) dx =\frac{1}{\left|C\right|^2}$

El valor de C que obtienes resolviendo esto será $\dst |C|=\sqrt{\frac{2}{L}}$

Llegados a este punto te menciono, de manera general C es complejo, el resultado que has obtenido te da el módulo de C, pero realmente esa constante puede tener una fase global que no cambia los cálculos. De manera general escribirías $\dst C=e^{i \theta} \sqrt{\frac{2}{L}}$, pero dado que no afecta a los cálculos (porque el módulo te sigue quedando el mismo), puedes elegir sin pérdida de generalidad $\dst C=\sqrt{\frac{2}{L}}$.

Espero que te vaya quedando más claro.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenas noches;
Gracias por vuestra ayuda.
Creo que ya lo tengo más claro, veamos;

$$\Psi_{(x)}=C\ Sin(\lambda x)$$

$$\Psi_{(x)^*}=C\ Sin(-\lambda x)=-C\ Sin(\lambda x)$$

Bien, la condición de normalización dado que siempre encontraremos el electrón dentro del pozo (entre x=0 y x=L) es la siguiente;

$$\dst \int_{0}^{L} |\Psi_{(x)}\Psi_{(x)|}^2|dx=C^2\dst \int_{0}^{L} |Sin^2(\lambda x)^2|dx=1$$

.
Para un valor de $\lambda=\dfrac{2 \pi}{L}$, también me da un valor de $C=\sqrt{2/L}$,
Con lo que la función me quedaría;

$$\Psi_{(x)}=\sqrt{\dfrac{2}{L}}Sen (n \pi x/L)$$

pero tampoco se si esto es correcto del todo.

[arivasm]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

El potencial solo es finito en una región de tamaño $L$, no desde $-\infty$ hasta $\infty$. Además tienes que tener en cuenta que en los extremos de dicha región la función de onda debe anularse. Es precisamente esa importante condición de frontera la que conduce a la cuantización de las soluciones!

[Weip]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

A mi me ha salido este resultado;
$\frac{C^2}{4L}(2L^2-Sen(2 \lambda L))=1$, pero no he logrado avanzar mas.

Saludos y gracias.

Vendría bien que indicases el proceso que has hecho para ver dónde está el fallo exactamente. La integral debería darte $|C|^2L/2$. Tienes:

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x =|C|^2\dst\int_0^L \sin^2(\lambda x)\dd x=\dst\frac{|C|^2}{2}\left( \dst\int_0^L \dd x - \dst\int_0^L \cos(2 \lambda x)\dd x\right)$

Ahora, la primer integral da $L$ y la segunda da cero. Imponiendo que $|\Psi|^2$ es densidad de probabilidad podrás escribir $|C|^2L/2=1$ y despejar de ahí el módulo de $C$. Verás que no hay un único complejo que satisface la ecuación anterior pero puedes considerar que $C$ es real por ser la elección más simple y te quedará lo que Lorentz te avanzó, $C=\sqrt{2/L}$.

Edito: Mirando tu expresión con más detenimiento me doy cuenta de que te da el resultado correcto observando que la parte del seno se anula (recuerda que $\lambda=n\pi/L$). Al simplificar da lo que dije antes, $|C|^2L/2$, y puedes obtener $C$ tal y como he explicado.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

...Y ahora sí que da un resultado con sentido con lo que se podrá despejar $|C|$ sin problemas.

A mi me ha salido este resultado;
$\frac{C^2}{4L}(2L^2-Sen(2 \lambda L))=1$, pero no he logrado avanzar mas.

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi\Psi^* \dd x = C^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x = 1$

$\dst C = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x}}$

Te dejo los detalles de la continuación a ti, si no sale avisa.

Buenas noches, creo que he vuelto a perderme.
He partido de la idea;
$Sen^2(\lambda x)=\dfrac{1-Cos(2(\lambda x)}{2}$
Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

Vaya por delante que no he leído todo el hilo pero como la caja tiene longitud $L$ entonces:

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x =|C|^2\dst\int_0^L \sin^2(\lambda x)\dd x=1$

Y ahora sí que da un resultado con sentido con lo que se podrá despejar $|C|$ sin problemas.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Buenas noches, creo que he vuelto a perderme.
He partido de la idea;
$Sen^2(\lambda x)=\dfrac{1-Cos(2 \lambda x)}{2}$
Por tanto;
$\int_{-\infty}^{\infty}Sen^2(\lambda x)dx=\dfrac{C^2}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-Cos(2\lambda x)\right)dx$.
La solución me sale infinito, lo cual no tiene mucho sentido.

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por la explicación, creo que es muy didáctica.


Habiendo obtenido los niveles de energía ya he conseguido conocer más de lo que imaginaba. Pero ya puestos ¿Cómo podría calcular esta integral?

Lo que me está diciendo la función de onda (o mejor dicho su conjugado complejo $\Psi\Psi^*$ es la probabilidad que tengo de encontrar la partícula para una posición dada y para un número cuántico "n" concreto. La suma de todas estas posibilidades dará siempre 1. Pero no alcanzo a saber más allá.

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi\Psi^* \dd x = C^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x = 1$

$\dst C = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} \sin^2 (\lambda x ) \dd x}}$

Te dejo los detalles de la continuación a ti, si no sale avisa.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por la explicación, creo que es muy didáctica.

..
Ya sólo te falta definir la función de onda teniendo en cuenta $\lambda$ y obtener la constante normalizando la función:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = 1$

Esta integral viene a decir que la partícula existe y la probabilidad de encontrarla es 1 si miramos en todo el espacio.
….

Habiendo obtenido los niveles de energía ya he conseguido conocer más de lo que imaginaba. Pero ya puestos ¿Cómo podría calcular esta integral?

Lo que me está diciendo la función de onda (o mejor dicho su conjugado complejo $\Psi\Psi^*$ es la probabilidad que tengo de encontrar la partícula para una posición dada y para un número cuántico "n" concreto. La suma de todas estas posibilidades dará siempre 1. Pero no alcanzo a saber más allá.

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Está bien.

Ya sólo te falta definir la función de onda teniendo en cuenta $\lambda$ y obtener la constante normalizando la función:

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \left |\Psi \right |^2 \dd x = 1$

Esta integral viene a decir que la partícula existe y la probabilidad de encontrarla es 1 si miramos en todo el espacio.

pd: La ecuación de Schrödinger estacionaria que es la que se obtiene en el pozo potencial infinito unidimensional es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), estas ecuaciones se conocen sus soluciones de forma analítica a diferencia de las que no son EDOs que no siempre se pueden resolver de forma analítica y muchas veces se resuelven por métodos númericos mediante ordenador. No se deriva dos veces la función de onda porque esta información es la que sabes que se debe cumplir y lo que buscas es una función de onda que cumpla esa forma, puedes intentar a prueba y error y la forma será sustituyendo en la ecuación y verificando que se cumpla la igualdad, si no se cumple no será válida. Luego mediante las condiciones de contorno determinas los coeficientes físicos para este problema en concreto y ya lo tienes.

La física a estos niveles suele operar así: 1. Planteas la ecuación diferencial que describe el problema físico ayudándote de alguna ley física que lo describa 2. Vas al departamento de matemáticas de tu universidad y les pides que te resuelvan la ecuación diferencial 2. Mediante condiciones de contorno e iniciales intentas determinas las constantes, también puedes ayudarte de leyes extra que se tienen que aplicar (en este caso la normalización de la función de onda) 4. Analizas el sentido físico de las soluciones, viendo las relaciones de las magnitudes y de los parámetros, si es el caso vuelves al departamento de matemáticas a que te hagan un análisis de cómo los parámetros afectan a la dinámica del sistema

[inakigarber]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Gracias por vuestros comentarios;
Vamos a ver si lo he entendido, voy a explicarlo a mi manera;
Partamos de la ecuación de Schrödinger para el pozo de potencial infinito;

$$\frac{\mathrm{d^2 \Psi_(x)} }{\mathrm{dx}^2 }+\frac{2mE\Psi_(x)}{\hbar^2}=0$$

En un principio pensé que debería calcular la segunda derivada se dicha función, pero ahora veo que no es así.
Bien, una onda podemos definirla de esta manera (creo que esto no lo hubiera entendido en toda mi vida);
$\Psi_(x)=Ae^{(i \lambda x)}+Be^{(-i \lambda x)}$
Donde $A$ y [FONT=Verdana]$B$ [/FONT]son dos constantes arbitrarias en nuestro caso distintas de cero y $\lambda=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$
Ahora bien, tendremos

$$\Psi_{(0)}=Ae^{(i \lambda 0)}+Be^{(-i \lambda 0)}=0$$

[FONT=Verdana]
[/FONT]

$$\Psi_{(L)}=Ae^{(i \lambda L)}+Be^{(-i \lambda L)}=0$$

De la primera ecuación obtendremos; $B=-A$
De la ecuación del seno (que creo que nunca sería capaz de pensar) obtendré;

[FONT=Tahoma]

$$\Psi_{(L)}=2Ai Sen (\lambda L)$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Bien, pero ¿Cuál es la condición para que [/FONT]$Sen (\lambda L)=0$[FONT=Verdana]?
[/FONT]

[FONT=Verdana]Esta condición es $\lambda L=n \pi$, por lo que;
$L\sqrt{\dfrac{2mE_n}{\hbar^2}}=n \pi$
Despejando me sale;

$$E_n=\dfrac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}=\dfrac{h^2 n^2}{8mL^2}$$

Creo que así si voy por el camino correcto.
¿Es así?
Saludos y gracias.
[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]

[Ulises7]

Re: Consulta sobre ecuaciones diferenciales en una partícula en una caja.

Iñakigarber, lo que has hecho es correcto. ¿Cual es el problema? Ese 0 = 0 lo que te demuestra es que la solución que se ha propuesto respeta la ecuación de Schrödinger y es coherente.

También lo puedes ver como que la segunda derivada espacial de la función de onda es igual a -$\lambda^2 \Psi$, que se respeta.

La forma de obtener información del pozo potencial infinito es como te han expuesto, a partir de las condiciones de contorno y de normalizar $\Psi^2$ para obtener $C$.