Divulgación Consulta sobre tensores y series de sumatorios.

[inakigarber]

Buenas noches;

Siguiendo con el tema de la relatividad en este blog, me he encontrado con una serie de cuestiones que (aunque creo que entiendo) me gustaría aclarar. Creo que la pregunta en índole matemático por lo que he preferido preguntarla aquí.

Bien, el intervalo relativista se determina por la expresión;
$(\Delta_s)^2=(ct)^2-(x)^2-(y)^2-(z)^2$ porque a diferencia del intervalo clásico ($(\Delta_s)=(ct)^2+(x)^2+(y)^2+(z)^2$, el primero permanece invariante a las transformaciones de Lorentz, en tanto que el segundo no. Este primer intervalo se puede expresar también de la siguiente manera;
$(\Delta_s)^2=\begin{pmatrix}ct & x &y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0&0&0 \\0 & 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$

Donde las dos matrices extremas representarían (si no me equivoco) al cuatrivector y la matriz central representaría según explica el texto del blog el tensor métrico.
No domino bien el concepto de tensor, pero por lo que he leído es un objeto matemático que incluye escalares (tensores de clase 0), vectores (clase 1), matrices (clase 2), etc. En este caso es de clase 2, me pierdo un poco cuando pasa a la siguiente expresión.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Su pongo que los términos de ambos sumatorios son de 0 a 3 son porque el tensor métrico es una matriz de 4x4. Si dicho tensor se encuentra en medio y es representado por $g_{ij}$ ¿no debiera ir en medio?
Por otra parte, más adelante aparece la misma expresión con una barra superior (no he sabido representarla en Latex) indicando que son iguales. ¿Qué significa esta barra?

Saludos y gracias.

[HanT]

Re: Consulta sobre tensores y series de sumatorios.

[FONT=Verdana]Si dicho tensor se encuentra en medio y es representado por [/FONT][FONT=Verdana] ¿no debiera ir en medio?[/FONT]

Ten en cuenta que representa el elemento ij de la matriz, no la matriz en sí, por tanto se trata de un número que cumple la propiedad conmutativa. Lo podrías poner en medio también, pero ten claro que no hace falta seguir el orden como si se tratara de la ecuación matricial.

[Richard R Richard]

Re: Consulta sobre tensores y series de sumatorios.

Hola el mismo sumatoria puede representarse de distintas maneras

$\dst \sum\limits_{i=0}^{3} \sum\limits_{j=0}^{3}x_ig_{ij}x_j=\dst \sum\limits_{i=0}^{3} \sum\limits_{j=0}^{3}x_ix_jg_{ij}=\dst \sum\limits_{i=0}^{3} \sum\limits_{j=0}^{3}g_{ij}x_ix_j$


Debes notar que el la expresión matricial los cuadrivectores están escritos traspuestos, en notación de Einstein esto se diferencia con un supra vs un sub índice...
Esos cuadrivectores pueden estar escritos en distinta base ,lo que origina todo un tratamiento matemático en álgebra tensorial, y en especial a los nombres que se le dan a esas bases como covariante y contravariantes...
En ese tipo de notación si es importante diferenciar el orden de los índices y si son supra o sub índices.En esa combinación de índices un índice superior repetido con uno inferior implica sumatoria aun sin poner la letra sigma, pero no es el caso de tu pregunta actual (pero pronto lo sera si profundizas)

[Weip]

Re: Consulta sobre tensores y series de sumatorios.

Por otra parte, más adelante aparece la misma expresión con una barra superior (no he sabido representarla en Latex) indicando que son iguales. ¿Qué significa esta barra?

Probablemente querrá decir que la métrica de Minkowski (que es el nombre del tensor métrico que has escrito) es invariante Lorentz. Aún así cuéntanos más acerca del contexto porque si no solo podemos hacer suposiciones. Supongo que con la barra superior te refieres a algo estilo $\bar{s}$, lo he escrito con \bar{}. Si no es este tipo de barra entonces sería conveniente ver una imagen o algo.

Edito: Perdona, había leído en diagonal y no había visto que has proporcionado la fuente. La barra es justamente por lo que he dicho. Sirve para cambiar el nombre de las coordenadas y no confundir unas con otras. Puedes usar barras, apótrofes o lo que quieras, es notación.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre tensores y series de sumatorios.

Probablemente querrá decir que la métrica de Minkowski (que es el nombre del tensor métrico que has escrito) es invariante Lorentz. Aún así cuéntanos más acerca del contexto porque si no solo podemos hacer suposiciones. Supongo que con la barra superior te refieres a algo estilo $\bar{s}$, lo he escrito con \bar{}. Si no es este tipo de barra entonces sería conveniente ver una imagen o algo.

Edito: Perdona, había leído en diagonal y no había visto que has proporcionado la fuente. La barra es justamente por lo que he dicho. Sirve para cambiar el nombre de las coordenadas y no confundir unas con otras. Puedes usar barras, apótrofes o lo que quieras, es notación.

De manera que sería equivalente a usar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , por ejemplo. Era obvio y no lo he visto.