1r ciclo superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

[lego]

Dado un volumen V, la superficie minima que lo encierra es una esfera.

Alguien sabe deducir la demostracion matematic de esto? P. ej, usando multiplicadores de lagrange...
Yo lo he intentado y no lo consigo.

Alguien sabe de algun link donde esté la demostracion matematica??

Muchas gracias!!

[jorgext]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Se me ocurre lo siguiente:

Supon que tienes un punto P dentro de cuerpo de volumen V y superficie S, luego tomas la distancia más larga desde el punto P a la superficie S; con esta distancia puedes construir la esfera que lo encierra; solo debes mostrar que cualquier otro punto estará a una distancia menor a la distancia máxima encontrada.

[chap]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Hola a todos. Para jorgext : Intenté abordar el problema conceptualmente,
imaginando un globo de goma lleno de agua, en vez de lleno de aire. El
agua es incompresible dentro de las condiciones de manipulación de la
vida diaria. Es decir el volumen del agua encerrada dentro del globo es
constante. Imagina que comienzas con el globo en forma perfectamente
esférica. Después hundes un dedo en algún sitio de la esfera. Donde has
hundido el dedo la goma se estira acercándose al punto que antes era
centro de la esfera. Y todo el resto de la goma se estira alejándose un
poquito de ese punto. Consecuentemente la superficie de goma ha aumentado
y el volumen permaneció constante. Puedes imaginar deformaciones a partir
de la esfera perfecta, que terminen dando todas las formas que quieras y
todas ellas tendrán mayor superficie que la esfera, para el mismo volumen.
Ahora la pregunta del millón. ¿Sirve este razonamiento conceptual como
base para un desarrollo analítico? Es decir, ¿sirve así como está planteado
o modificándolo convenientemente para facilitar el desarrollo matemático?
Sinceramente ignoro la utilidad analítica que pueda tener. ¿Podría existir
una demostración ya hecha basada en esa idea? ¿Y cómo estaría denominada?
¿Demostración topológica o algo así? No te he resuelto el tema pero mal de
muchos, consuelo de geómetras. Ya somos dos interesados en el asunto de la
superficie mínima que encierra un volumen dado.

Buscando como pude llegué a la página siguiente.

http://74.125.95.132/search?q=cache:...&ct=clnk&gl=ar

La página no contiene la demostración que buscas pero enseña un poco de
nomenclatura relacionada con el tema y nombra a científicos que aportaron
soluciones a problemas de ese tipo. Tal vez haciendo búsquedas en Google
con palabras de esa nomenclatura y con los nombres de esos científicos
encuentres lo que buscas, si vas de página en página siguiendo las pistas
que aparezcan en cada una.
Un extracto de esa página que incluí más arriba:
--------------------------------------------------------------------------
No es de extrañar que los dos problemas anteriores constituyan buenos
ejemplos de una clase de problemas matemáticos denominados como Problemas
isoperimétricos.Aristóteles (siglo IVa.C.) y Arquímedes (285 -212 a. C.)
hacen ya mención a ellos. Una demostración matemática de que la respuesta
de Dido es la acertada se debe a Zenodoro (entre los siglos IIIyIa.O),
si bien él sólo indaga entre los polígonos regulares de longitud dada.
Tampoco debe chocarnos que la respuesta más general, en el ámbito de todas
las curvas, haya tenido que esperar hasta la segunda mitad del siglo
XVIII para ser mostrada en toda su generalidad. El enunciado de la cuestión,
inocente en apariencia, involucra nociones como la de longitud de una
curva, área de una superficie (volumen de una región, en el caso de los
iglúes) que no tendrían una adecuada interpretación hasta que los elementos
de análisis infinitesimal y de geometría diferencial fueran aplicados a ese
contexto por H. A. Schwarz (1843 - 1921), quien mostró dos desigualdades
(entre el área A de la región encerrada por una curva y lalongitud de ésta
P,o entre el volumen V de una región delimitada por una superficie y su área
A) que sólo alcanzan la igualdad en el caso del círculo y la esfera,
respectivamente:4KA<P\36KV2<A\ Quizá no haya mejor realización material de
una superficie esférica que la que ofrecen las bellas pompas de jabón tan
unidas al asombro infantil, plasmado por numerosos artistas, entre ellos
E. Manet, alo largo de la historia.También lo hizo B. E.Murillo (1617 - 1682).
Dos obras suyas que en la actualidad se conservan en Glasgow así lo atestiguan.
Finalmente, cómo no recordar las palabras de A. Machado: «yo amo los mundos
sutiles / ingrávidos ygentiles / como pompas de jabón».
SUPERFICIES JABONOSAS, SUPERFICIES MINIMALES
Si suponemos esféricas esas redondas pompas de jabón,poseerían, pues, la
propiedad depresentar unárea mínima entre todas las superficies que encierran
una región arbitraria pero con el mismo volumen. Pero también podemos crear
superficies muy distintas a las pompas sumergiendo un alambre cerrado o bien
una trama con dos alambres cerrados en una disolución jabonosa formada entre
una trama rectangular y un alambre cerrado. Esto no es más que una ilustración
de lo que matemáticamente se conoce como problema de J. A. F. Plateau
(1801 - 1883). La superficie así formada vuelve a gozar de la propiedad de
poseer un área mínima entre todas las superficies posibles que enlazan los dos
entretramados de alambre. Por este motivo son denominadas superficies minimales
o superficiesde área mínima. También podemos interesarnos por las superficies
jabonosas que se forman entre dos placas, por ejemplo, dos cristales muy
cercanos. Se aprecia enseguida que ahora se forman multitud de superficies que
intersectan entre ellas. Vemos también que esas intersecciones guardan una cierta
predisposición, pues se producen a lo largo de secciones planas (frontalmente
vistas como segmentos rectilíneos) que no forman ángulos cualesquiera entre sí,
sino tan sólo 90°, 120°, o 109° 28' 16". Esto tiene una explicación matemática,
pero no nos adentraremos en ella. La sabia naturaleza no es ajena a las
propiedades óptimas de la esferas y, así, numerosos organismos unicelulares,
como losradiolarios y los flagelados, adoptan esta configuración.La configuración
de las superficies jabonosas entre cristales se asemeja poderosamente al
entretramado de las alas de los mosquitos. Pero, además, no es difícil encontrar
conexiones de todo esto con los paneles de abejas, o con los distintos sistemas
cristalinos del mundo mineral, aunque profundizar en ello nos llevaría por otros
derroteros. Tampoco insistiremos en cómo las bellas formas adoptadas por esas
superficies jabonosas han sido fuente de inspiración de afamados arquitectos a lo
largo de la historia.
-----------------------------------------------------------------------------

Espero haber contribuido un poquito a lo que necesitas. Mi mejor saludo.

[jorgext]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Hola a todos. Para jorgext : Intenté abordar el problema conceptualmente,
imaginando un globo de goma lleno de agua, en vez de lleno de aire. El
agua es incompresible dentro de las condiciones de manipulación de la
vida diaria. Es decir el volumen del agua encerrada dentro del globo es
constante. Imagina que comienzas con el globo en forma perfectamente
esférica. Después hundes un dedo en algún sitio de la esfera. Donde has
hundido el dedo la goma se estira acercándose al punto que antes era
centro de la esfera. Y todo el resto de la goma se estira alejándose un
poquito de ese punto. Consecuentemente la superficie de goma ha aumentado
y el volumen permaneció constante. Puedes imaginar deformaciones a partir
de la esfera perfecta, que terminen dando todas las formas que quieras y
todas ellas tendrán mayor superficie que la esfera, para el mismo volumen.
Ahora la pregunta del millón. ¿Sirve este razonamiento conceptual como
base para un desarrollo analítico? Es decir, ¿sirve así como está planteado
o modificándolo convenientemente para facilitar el desarrollo matemático?
Sinceramente ignoro la utilidad analítica que pueda tener. ¿Podría existir
una demostración ya hecha basada en esa idea? ¿Y cómo estaría denominada?
¿Demostración topológica o algo así? No te he resuelto el tema pero mal de
muchos, consuelo de geómetras. Ya somos dos interesados en el asunto de la
superficie mínima que encierra un volumen dado.

Buscando como pude llegué a la página siguiente.

http://74.125.95.132/search?q=cache:...&ct=clnk&gl=ar

La página no contiene la demostración que buscas pero enseña un poco de
nomenclatura relacionada con el tema y nombra a científicos que aportaron
soluciones a problemas de ese tipo. Tal vez haciendo búsquedas en Google
con palabras de esa nomenclatura y con los nombres de esos científicos
encuentres lo que buscas, si vas de página en página siguiendo las pistas
que aparezcan en cada una.
Un extracto de esa página que incluí más arriba:
--------------------------------------------------------------------------
No es de extrañar que los dos problemas anteriores constituyan buenos
ejemplos de una clase de problemas matemáticos denominados como Problemas
isoperimétricos.Aristóteles (siglo IVa.C.) y Arquímedes (285 -212 a. C.)
hacen ya mención a ellos. Una demostración matemática de que la respuesta
de Dido es la acertada se debe a Zenodoro (entre los siglos IIIyIa.O),
si bien él sólo indaga entre los polígonos regulares de longitud dada.
Tampoco debe chocarnos que la respuesta más general, en el ámbito de todas
las curvas, haya tenido que esperar hasta la segunda mitad del siglo
XVIII para ser mostrada en toda su generalidad. El enunciado de la cuestión,
inocente en apariencia, involucra nociones como la de longitud de una
curva, área de una superficie (volumen de una región, en el caso de los
iglúes) que no tendrían una adecuada interpretación hasta que los elementos
de análisis infinitesimal y de geometría diferencial fueran aplicados a ese
contexto por H. A. Schwarz (1843 - 1921), quien mostró dos desigualdades
(entre el área A de la región encerrada por una curva y lalongitud de ésta
P,o entre el volumen V de una región delimitada por una superficie y su área
A) que sólo alcanzan la igualdad en el caso del círculo y la esfera,
respectivamente:4KA<P\36KV2<A\ Quizá no haya mejor realización material de
una superficie esférica que la que ofrecen las bellas pompas de jabón tan
unidas al asombro infantil, plasmado por numerosos artistas, entre ellos
E. Manet, alo largo de la historia.También lo hizo B. E.Murillo (1617 - 1682).
Dos obras suyas que en la actualidad se conservan en Glasgow así lo atestiguan.
Finalmente, cómo no recordar las palabras de A. Machado: «yo amo los mundos
sutiles / ingrávidos ygentiles / como pompas de jabón».
SUPERFICIES JABONOSAS, SUPERFICIES MINIMALES
Si suponemos esféricas esas redondas pompas de jabón,poseerían, pues, la
propiedad depresentar unárea mínima entre todas las superficies que encierran
una región arbitraria pero con el mismo volumen. Pero también podemos crear
superficies muy distintas a las pompas sumergiendo un alambre cerrado o bien
una trama con dos alambres cerrados en una disolución jabonosa formada entre
una trama rectangular y un alambre cerrado. Esto no es más que una ilustración
de lo que matemáticamente se conoce como problema de J. A. F. Plateau
(1801 - 1883). La superficie así formada vuelve a gozar de la propiedad de
poseer un área mínima entre todas las superficies posibles que enlazan los dos
entretramados de alambre. Por este motivo son denominadas superficies minimales
o superficiesde área mínima. También podemos interesarnos por las superficies
jabonosas que se forman entre dos placas, por ejemplo, dos cristales muy
cercanos. Se aprecia enseguida que ahora se forman multitud de superficies que
intersectan entre ellas. Vemos también que esas intersecciones guardan una cierta
predisposición, pues se producen a lo largo de secciones planas (frontalmente
vistas como segmentos rectilíneos) que no forman ángulos cualesquiera entre sí,
sino tan sólo 90°, 120°, o 109° 28' 16". Esto tiene una explicación matemática,
pero no nos adentraremos en ella. La sabia naturaleza no es ajena a las
propiedades óptimas de la esferas y, así, numerosos organismos unicelulares,
como losradiolarios y los flagelados, adoptan esta configuración.La configuración
de las superficies jabonosas entre cristales se asemeja poderosamente al
entretramado de las alas de los mosquitos. Pero, además, no es difícil encontrar
conexiones de todo esto con los paneles de abejas, o con los distintos sistemas
cristalinos del mundo mineral, aunque profundizar en ello nos llevaría por otros
derroteros. Tampoco insistiremos en cómo las bellas formas adoptadas por esas
superficies jabonosas han sido fuente de inspiración de afamados arquitectos a lo
largo de la historia.
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Espero haber contribuido un poquito a lo que necesitas. Mi mejor saludo.

Claramente si deformas el objeto que has cubierto la superficie mínima que has utilizado para cubrirlo ya no será útil, ¿no crees?
Aún no logro encontrar el apunte donde tengo anotado los cálculos que permiten demostrar el teorema.

Saludos.

[lego]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Parece mentira que cueste tanto encontrar la demostración de un teorema tan fundamental como éste.

Yo aún no la tengo.

Lo más relacionado con el tema que he podido conseguir es suponer que una esfera deformada se puede expresar como una serie de polinomios de Legendre, y usando los multiplicadores de Lagrange para cada coeficiente, e imponiendo volumen constante, se llega a la esfera.

Pero eso no es la demostración que yo buscaba...

[Adosgel]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Bueno, yo no sé la demostración, pero supongo que será del tipo..

...que en un triángulo, el lado mayor nunca es mayor que la suma del resto de lados; y aplicar a este lado la propiedad de curvo en su proyección acia el infinito. Y esto trasladarlo a tres dimensiones.

...que todos los volúmenes que tengan que acoplarse de manera compacta a un volumen concreto, al hacerlo buscando la menor distancia a él, tomarían todas las direcciones existentes en el espacio en cuestión, saturando todas las distancias más cortas posibles, creciendo así la distancia a dicho volumen de manera uniforme en todas las direcciones.

En fín, espero que alguien te dé pronto una demostración formalizada con fórmulas.

Suerte.

[Metaleer]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Eso es precisamente porque las gotas tienden a tener la forma que tienen: esferas; como la tensión superficial está relacionada con la energía potencial, y ésta última se tiende a minimizar en un sistema físico, adoptan esa forma para minimizar el área.

Saludos.

[lego]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Eso es precisamente porque las gotas tienden a tener la forma que tienen: esferas; como la tensión superficial está relacionada con la energía potencial, y ésta última se tiende a minimizar en un sistema físico, adoptan esa forma para minimizar el área.

Precisamente por eso hice la pregunta.

[Adosgel]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

El concepto es la isoperimetría, pero en la wiki solo viene esto

http://es.wikipedia.org/wiki/Isoperimetr%C3%ADa

y trata de R2 dimensional.

El matemático Antonio Ros sabe mucho de esto

http://www.ugr.es/~aros/#Isoperimetric

aquí tienes adceso a muchos trabajos suyos relaccionados. ¡Coño!, pero todos en ingles... qué poca patria hacemos!.

[carroza]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Parece mentira que cueste tanto encontrar la demostración de un teorema tan fundamental como éste.

Yo aún no la tengo.

Lo más relacionado con el tema que he podido conseguir es suponer que una esfera deformada se puede expresar como una serie de polinomios de Legendre, y usando los multiplicadores de Lagrange para cada coeficiente, e imponiendo volumen constante, se llega a la esfera.

Pero eso no es la demostración que yo buscaba...

Hola. Una superficie arbitraria $R(\theta, phi)$ se puede desarrollar siempre en armónicos esféricos.

$R(\theta, \phi) = R_0 + \sum_{l m} \delta(lm) Y_{lm} (\theta, \phi)$

Si has demostrado que los coeficienes de los armónicos que hacen mínima la superficie son cero, pues entonces ya tienes la demostración.

[lego]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

@Adosgel: tienes toda la razón, de hecho estuve investigando y vi que Antonio Ros fue el que demostró el teorema de la doble burbuja, en el año 2000!

@carroza: gracias por el aporte, yo creo que es el primer paso hacia la demostración.
Quizá si encontrara la expresión de la superfície en función de los coeficientes de los harmónicos, idem con el volumen, y con multiplicadores de lagrange... Pues ya estaría.
Ahora sólo necesitaría las expresiones de

$A(\delta(lm))$ y $V(\delta(lm))$.

[carroza]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

El volumen de una figura en coordenadas esféricas es

$V= \int d \omega R(\theta, \phi)^3/3$

donde $\omega$ es el ángulo sólido.$d \omega = \sin \theta d \theta d \phi$.

La superficie tiene también una expresión compacta, algo más compleja.

[lego]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Gracias!
Ya estamos a punto!

[chap]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Hola a todos. Para lego : Tal vez los matemáticos hayan tratado el tema en profundidad
y el contenido de esta nota sea superfluo. Estuve preguntándome cómo se podría demostrar
que cualquier apartamiento de la forma esférica lo único que puede hacer es aumentar la
superficie para un volumen dado. Si me permites, quiero comunicarte una idea que por ahora
es rudimentaria y salvaje. Hay simetría esférica cuando existe un punto interior
equidistante de todos los puntos de la superficie. ¿Y cómo podríamos operativamente
comprobar la equidistancia? ¿Cómo encontraríamos operativamente a ese punto interior
denominado centro? Si la esfera que te han dado no tiene marcado el centro necesitarás un
procedimiento bien establecido. ¿Cómo sería el procedimiento para encontrar el centro? Lo
primero sería escoger un punto interior Q y trazar desde ahí un segmento recto hasta
cada punto de la superficie. Si Q no es el centro las longitudes de los segmentos no
serán todas iguales. Entonces mueves el punto Q de modo tal que las diferencias entre
las longitudes disminuyan todo lo posible. El punto que minimiza las diferencias es único.
Si la superficie que te dieron es verdaderamente esférica ocurrirá que las diferencias
pueden minimizarse hasta cero, ese decir hasta no tener diferencias. Y si te dieron una
superficie que no es esférica encontrarás un punto que minimiza las diferencias, pero no
se minimizarán hasta cero. Independientemente de ser o no una superficie esférica, el
punto que minimiza las diferencias es único. Denominemos U a ese punto.

La distancia entre U y un punto de la superficie es una función de las coordenadas del
punto. El valor medio de esa función es la longitud promedio del segmento que une a U
con el punto superficial. En la esfera el promedio es igual a la longitud real de cada
segmento, porque son todos iguales. En el caso de una superficie irregular no sucede lo
mismo.

Así como en teoría cinético-molecular se usan el valor medio de la velocidad y el valor
medio del cuadrado de la velocidad, tal vez para demostrar el teorema necesitemos
promediar el cuadrado y el cubo de la longitud del segmento que une a U con el punto
superficial. Sospecho que el valor medio cuadrático se comportará en el cálculo de
superficie como el cuadrado del radio esférico. Y sospecho que el valor medio cúbico se
comportará en el cálculo del volumen como el cubo del radio esférico. Es decir supongo
que multiplicando al valor medio cuadrático por 4 pi tendrás la superficie. Y supongo que
multiplicando al valor medio cúbico por 4/3 de pi tendrás el volumen. Esto en la esfera
se cumple y probablemente se cumpla en todos los casos. Los procedimientos generales para
calcular superficie y volumen pueden basarse en los VALORES MEDIOS DEL CUADRADO Y DEL CUBO
DE LA AMPLITUD, si denominamos amplitud a la longitud del segmento que une a U con un
punto de la superficie. Solamente en la esfera el valor medio del cuadrado es igual al
cuadrado del valor medio y el valor medio del cubo igual al cubo del valor medio. Esta
última frase podría contener la clave para demostrar que la esfera minimiza la superficie
para un volumen dado. Si un recipiente cerrado irregular y una esfera tienen el mismo
volumen, tendrán el mismo valor medio para el cubo de la amplitud. Pero tener el mismo
valor medio cúbico no implica tener el mismo valor medio cuadrático. Si logras demostrar
que el promedio del cuadrado es mayor cuando promedias valores distintos que cuando
promedias valores iguales, habrás demostrado que la esfera minimiza la superficie para un
volumen dado.

Acabas de comprobar que soy como esos generales que les dicen a los soldados "la victoria
es nuestra", cuando el enemigo centuplica el número de efectivos. La estrategia de los
valores medios cuadrático y cúbico es engañosamente sencilla. Para determinar el punto U
tendrás una tarea cansadora. Y con eso no habrás resuelto más que un detalle inicial. El
desarrollo posterior demandará más esfuerzo. La buena noticia es que casi con seguridad el
esfuerzo será útil. Lo más probable es que obtengas la demostración.

Adrede no detallé ideas respecto a la determinación del punto U por minimización de
diferencias. ¿Cómo formalizaríamos la noción visual de mover Q para disminuir las
diferencias de amplitud? Una superficie contiene infinitos puntos, cada uno con su
amplitud. Para encontrar U necesitas comparar esas infinitas amplitudes. En eso no te
salvarás de resolver una integral o más. Con intención didáctica imaginemos que la
superficie tiene solamente 5 puntos. Entoces hay 5 amplitudes diferentes. Necesitamos una
función que varíe cada vez que Q se mueva, de modo tal que la función tenga su mínimo
en el punto U . ¿Puedes pensar en una función adecuada? Matemáticamente una diferencia
se expresa con una resta. ¿Qué restarás para evaluar las diferencias de amplitud?
¿Respecto a qué difieren las 5 amplitudes? ¿Respecto al promedio de las 5? Cuando te piden
que definas una función para evaluar las diferencias de amplitud encuentras la primera
dificultad seria. Pero hay un tesoro en la cueva y con temores anticipados nunca
entraremos a buscarlo. Seguramente la demostración que te interesa no es tan fácil como un
ejercicio de la escuela secundaria. Pero con dedicación y perseverancia las dificultades
pueden ser superadas.

Disculpa lego que no pueda ofrecerte una demostración hecha. Intenté buscar alguna en
internet pero fracasé. Y supuse que una estrategia podría paliar un poco los efectos de mi
fracaso. Si encuentras algo útil en esta nota me sentiré aliviado.

Mi mejor saludo.

[Adosgel]

Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

Chap- considero que la idea que has expuesto, es el fundamento matemático en sí de lo que se busca, por lo que me parece una buena aportación.
El problema es su aplicación, por ser un método integro, sin extraer de él el fundamento que lo sustenta, a un ejp. ideal elemental.

Creo que el ejp. ideal podría ser este:

dos segmentos AB y CD paralelos entre sí en un plano y que tienen uno de sus extremos en una misma recta perpendicular a ambos del mismo plano (A, C); distancian sus otros dos extremos B y D, cumpliéndose que cuanto más se asemejen los segmentos a su longitud media, menor será la distancia entre B y D, siendo la distancia menor la correspondiente a la media; osea, a dos segmentos de la misma longitud; osea, que la recta que alberga dichos extremos B y D, sea perpendicular a dichos segmentos.

Y más elementalmente:

la perpendicular entre dos rectas paralelas es la distancia menor entre ambas.

Esto se interpreta en el marco de la curva basándose en que siendo una curva real, dos puntos contiguos de la curva comparten la misma tangente al ser despreciable la influencia de su tendencia en la curva; por lo que se puede considerar a este nivel válido el ejemplo para dos segmentos AB y CD que se juntan en los extremos A y C, y que sus extremos B y D son contiguos en una recta real