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superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

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  • 1r ciclo superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

    Dado un volumen V, la superficie minima que lo encierra es una esfera.

    Alguien sabe deducir la demostracion matematic de esto? P. ej, usando multiplicadores de lagrange...
    Yo lo he intentado y no lo consigo.

    Alguien sabe de algun link donde esté la demostracion matematica??

    Muchas gracias!!

  • #2
    Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

    Se me ocurre lo siguiente:

    Supon que tienes un punto P dentro de cuerpo de volumen V y superficie S, luego tomas la distancia más larga desde el punto P a la superficie S; con esta distancia puedes construir la esfera que lo encierra; solo debes mostrar que cualquier otro punto estará a una distancia menor a la distancia máxima encontrada.
    Jorge López

    Comentario


    • #3
      Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

      Hola a todos. Para jorgext : Intenté abordar el problema conceptualmente,
      imaginando un globo de goma lleno de agua, en vez de lleno de aire. El
      agua es incompresible dentro de las condiciones de manipulación de la
      vida diaria. Es decir el volumen del agua encerrada dentro del globo es
      constante. Imagina que comienzas con el globo en forma perfectamente
      esférica. Después hundes un dedo en algún sitio de la esfera. Donde has
      hundido el dedo la goma se estira acercándose al punto que antes era
      centro de la esfera. Y todo el resto de la goma se estira alejándose un
      poquito de ese punto. Consecuentemente la superficie de goma ha aumentado
      y el volumen permaneció constante. Puedes imaginar deformaciones a partir
      de la esfera perfecta, que terminen dando todas las formas que quieras y
      todas ellas tendrán mayor superficie que la esfera, para el mismo volumen.
      Ahora la pregunta del millón. ¿Sirve este razonamiento conceptual como
      base para un desarrollo analítico? Es decir, ¿sirve así como está planteado
      o modificándolo convenientemente para facilitar el desarrollo matemático?
      Sinceramente ignoro la utilidad analítica que pueda tener. ¿Podría existir
      una demostración ya hecha basada en esa idea? ¿Y cómo estaría denominada?
      ¿Demostración topológica o algo así? No te he resuelto el tema pero mal de
      muchos, consuelo de geómetras. Ya somos dos interesados en el asunto de la
      superficie mínima que encierra un volumen dado.

      Buscando como pude llegué a la página siguiente.

      http://74.125.95.132/search?q=cache:...&ct=clnk&gl=ar

      La página no contiene la demostración que buscas pero enseña un poco de
      nomenclatura relacionada con el tema y nombra a científicos que aportaron
      soluciones a problemas de ese tipo. Tal vez haciendo búsquedas en Google
      con palabras de esa nomenclatura y con los nombres de esos científicos
      encuentres lo que buscas, si vas de página en página siguiendo las pistas
      que aparezcan en cada una.
      Un extracto de esa página que incluí más arriba:
      --------------------------------------------------------------------------
      No es de extrañar que los dos problemas anteriores constituyan buenos
      ejemplos de una clase de problemas matemáticos denominados como Problemas
      isoperimétricos.Aristóteles (siglo IVa.C.) y Arquímedes (285 -212 a. C.)
      hacen ya mención a ellos. Una demostración matemática de que la respuesta
      de Dido es la acertada se debe a Zenodoro (entre los siglos IIIyIa.O),
      si bien él sólo indaga entre los polígonos regulares de longitud dada.
      Tampoco debe chocarnos que la respuesta más general, en el ámbito de todas
      las curvas, haya tenido que esperar hasta la segunda mitad del siglo
      XVIII para ser mostrada en toda su generalidad. El enunciado de la cuestión,
      inocente en apariencia, involucra nociones como la de longitud de una
      curva, área de una superficie (volumen de una región, en el caso de los
      iglúes) que no tendrían una adecuada interpretación hasta que los elementos
      de análisis infinitesimal y de geometría diferencial fueran aplicados a ese
      contexto por H. A. Schwarz (1843 - 1921), quien mostró dos desigualdades
      (entre el área A de la región encerrada por una curva y lalongitud de ésta
      P,o entre el volumen V de una región delimitada por una superficie y su área
      A) que sólo alcanzan la igualdad en el caso del círculo y la esfera,
      respectivamente:4KA<P\36KV2<A\ Quizá no haya mejor realización material de
      una superficie esférica que la que ofrecen las bellas pompas de jabón tan
      unidas al asombro infantil, plasmado por numerosos artistas, entre ellos
      E. Manet, alo largo de la historia.También lo hizo B. E.Murillo (1617 - 1682).
      Dos obras suyas que en la actualidad se conservan en Glasgow así lo atestiguan.
      Finalmente, cómo no recordar las palabras de A. Machado: «yo amo los mundos
      sutiles / ingrávidos ygentiles / como pompas de jabón».
      SUPERFICIES JABONOSAS, SUPERFICIES MINIMALES
      Si suponemos esféricas esas redondas pompas de jabón,poseerían, pues, la
      propiedad depresentar unárea mínima entre todas las superficies que encierran
      una región arbitraria pero con el mismo volumen. Pero también podemos crear
      superficies muy distintas a las pompas sumergiendo un alambre cerrado o bien
      una trama con dos alambres cerrados en una disolución jabonosa formada entre
      una trama rectangular y un alambre cerrado. Esto no es más que una ilustración
      de lo que matemáticamente se conoce como problema de J. A. F. Plateau
      (1801 - 1883). La superficie así formada vuelve a gozar de la propiedad de
      poseer un área mínima entre todas las superficies posibles que enlazan los dos
      entretramados de alambre. Por este motivo son denominadas superficies minimales
      o superficiesde área mínima. También podemos interesarnos por las superficies
      jabonosas que se forman entre dos placas, por ejemplo, dos cristales muy
      cercanos. Se aprecia enseguida que ahora se forman multitud de superficies que
      intersectan entre ellas. Vemos también que esas intersecciones guardan una cierta
      predisposición, pues se producen a lo largo de secciones planas (frontalmente
      vistas como segmentos rectilíneos) que no forman ángulos cualesquiera entre sí,
      sino tan sólo 90°, 120°, o 109° 28' 16". Esto tiene una explicación matemática,
      pero no nos adentraremos en ella. La sabia naturaleza no es ajena a las
      propiedades óptimas de la esferas y, así, numerosos organismos unicelulares,
      como losradiolarios y los flagelados, adoptan esta configuración.La configuración
      de las superficies jabonosas entre cristales se asemeja poderosamente al
      entretramado de las alas de los mosquitos. Pero, además, no es difícil encontrar
      conexiones de todo esto con los paneles de abejas, o con los distintos sistemas
      cristalinos del mundo mineral, aunque profundizar en ello nos llevaría por otros
      derroteros. Tampoco insistiremos en cómo las bellas formas adoptadas por esas
      superficies jabonosas han sido fuente de inspiración de afamados arquitectos a lo
      largo de la historia.
      -----------------------------------------------------------------------------

      Espero haber contribuido un poquito a lo que necesitas. Mi mejor saludo.

      Comentario


      • #4
        Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

        Escrito por chap Ver mensaje
        Hola a todos. Para jorgext : Intenté abordar el problema conceptualmente,
        imaginando un globo de goma lleno de agua, en vez de lleno de aire. El
        agua es incompresible dentro de las condiciones de manipulación de la
        vida diaria. Es decir el volumen del agua encerrada dentro del globo es
        constante. Imagina que comienzas con el globo en forma perfectamente
        esférica. Después hundes un dedo en algún sitio de la esfera. Donde has
        hundido el dedo la goma se estira acercándose al punto que antes era
        centro de la esfera. Y todo el resto de la goma se estira alejándose un
        poquito de ese punto. Consecuentemente la superficie de goma ha aumentado
        y el volumen permaneció constante. Puedes imaginar deformaciones a partir
        de la esfera perfecta, que terminen dando todas las formas que quieras y
        todas ellas tendrán mayor superficie que la esfera, para el mismo volumen.
        Ahora la pregunta del millón. ¿Sirve este razonamiento conceptual como
        base para un desarrollo analítico? Es decir, ¿sirve así como está planteado
        o modificándolo convenientemente para facilitar el desarrollo matemático?
        Sinceramente ignoro la utilidad analítica que pueda tener. ¿Podría existir
        una demostración ya hecha basada en esa idea? ¿Y cómo estaría denominada?
        ¿Demostración topológica o algo así? No te he resuelto el tema pero mal de
        muchos, consuelo de geómetras. Ya somos dos interesados en el asunto de la
        superficie mínima que encierra un volumen dado.

        Buscando como pude llegué a la página siguiente.

        http://74.125.95.132/search?q=cache:...&ct=clnk&gl=ar

        La página no contiene la demostración que buscas pero enseña un poco de
        nomenclatura relacionada con el tema y nombra a científicos que aportaron
        soluciones a problemas de ese tipo. Tal vez haciendo búsquedas en Google
        con palabras de esa nomenclatura y con los nombres de esos científicos
        encuentres lo que buscas, si vas de página en página siguiendo las pistas
        que aparezcan en cada una.
        Un extracto de esa página que incluí más arriba:
        --------------------------------------------------------------------------
        No es de extrañar que los dos problemas anteriores constituyan buenos
        ejemplos de una clase de problemas matemáticos denominados como Problemas
        isoperimétricos.Aristóteles (siglo IVa.C.) y Arquímedes (285 -212 a. C.)
        hacen ya mención a ellos. Una demostración matemática de que la respuesta
        de Dido es la acertada se debe a Zenodoro (entre los siglos IIIyIa.O),
        si bien él sólo indaga entre los polígonos regulares de longitud dada.
        Tampoco debe chocarnos que la respuesta más general, en el ámbito de todas
        las curvas, haya tenido que esperar hasta la segunda mitad del siglo
        XVIII para ser mostrada en toda su generalidad. El enunciado de la cuestión,
        inocente en apariencia, involucra nociones como la de longitud de una
        curva, área de una superficie (volumen de una región, en el caso de los
        iglúes) que no tendrían una adecuada interpretación hasta que los elementos
        de análisis infinitesimal y de geometría diferencial fueran aplicados a ese
        contexto por H. A. Schwarz (1843 - 1921), quien mostró dos desigualdades
        (entre el área A de la región encerrada por una curva y lalongitud de ésta
        P,o entre el volumen V de una región delimitada por una superficie y su área
        A) que sólo alcanzan la igualdad en el caso del círculo y la esfera,
        respectivamente:4KA<P\36KV2<A\ Quizá no haya mejor realización material de
        una superficie esférica que la que ofrecen las bellas pompas de jabón tan
        unidas al asombro infantil, plasmado por numerosos artistas, entre ellos
        E. Manet, alo largo de la historia.También lo hizo B. E.Murillo (1617 - 1682).
        Dos obras suyas que en la actualidad se conservan en Glasgow así lo atestiguan.
        Finalmente, cómo no recordar las palabras de A. Machado: «yo amo los mundos
        sutiles / ingrávidos ygentiles / como pompas de jabón».
        SUPERFICIES JABONOSAS, SUPERFICIES MINIMALES
        Si suponemos esféricas esas redondas pompas de jabón,poseerían, pues, la
        propiedad depresentar unárea mínima entre todas las superficies que encierran
        una región arbitraria pero con el mismo volumen. Pero también podemos crear
        superficies muy distintas a las pompas sumergiendo un alambre cerrado o bien
        una trama con dos alambres cerrados en una disolución jabonosa formada entre
        una trama rectangular y un alambre cerrado. Esto no es más que una ilustración
        de lo que matemáticamente se conoce como problema de J. A. F. Plateau
        (1801 - 1883). La superficie así formada vuelve a gozar de la propiedad de
        poseer un área mínima entre todas las superficies posibles que enlazan los dos
        entretramados de alambre. Por este motivo son denominadas superficies minimales
        o superficiesde área mínima. También podemos interesarnos por las superficies
        jabonosas que se forman entre dos placas, por ejemplo, dos cristales muy
        cercanos. Se aprecia enseguida que ahora se forman multitud de superficies que
        intersectan entre ellas. Vemos también que esas intersecciones guardan una cierta
        predisposición, pues se producen a lo largo de secciones planas (frontalmente
        vistas como segmentos rectilíneos) que no forman ángulos cualesquiera entre sí,
        sino tan sólo 90°, 120°, o 109° 28' 16". Esto tiene una explicación matemática,
        pero no nos adentraremos en ella. La sabia naturaleza no es ajena a las
        propiedades óptimas de la esferas y, así, numerosos organismos unicelulares,
        como losradiolarios y los flagelados, adoptan esta configuración.La configuración
        de las superficies jabonosas entre cristales se asemeja poderosamente al
        entretramado de las alas de los mosquitos. Pero, además, no es difícil encontrar
        conexiones de todo esto con los paneles de abejas, o con los distintos sistemas
        cristalinos del mundo mineral, aunque profundizar en ello nos llevaría por otros
        derroteros. Tampoco insistiremos en cómo las bellas formas adoptadas por esas
        superficies jabonosas han sido fuente de inspiración de afamados arquitectos a lo
        largo de la historia.
        -----------------------------------------------------------------------------

        Espero haber contribuido un poquito a lo que necesitas. Mi mejor saludo.
        Claramente si deformas el objeto que has cubierto la superficie mínima que has utilizado para cubrirlo ya no será útil, ¿no crees?
        Aún no logro encontrar el apunte donde tengo anotado los cálculos que permiten demostrar el teorema.

        Saludos.
        Jorge López

        Comentario


        • #5
          Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

          Parece mentira que cueste tanto encontrar la demostración de un teorema tan fundamental como éste.

          Yo aún no la tengo.

          Lo más relacionado con el tema que he podido conseguir es suponer que una esfera deformada se puede expresar como una serie de polinomios de Legendre, y usando los multiplicadores de Lagrange para cada coeficiente, e imponiendo volumen constante, se llega a la esfera.

          Pero eso no es la demostración que yo buscaba...

          Comentario


          • #6
            Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

            Bueno, yo no sé la demostración, pero supongo que será del tipo..

            ...que en un triángulo, el lado mayor nunca es mayor que la suma del resto de lados; y aplicar a este lado la propiedad de curvo en su proyección acia el infinito. Y esto trasladarlo a tres dimensiones.

            ...que todos los volúmenes que tengan que acoplarse de manera compacta a un volumen concreto, al hacerlo buscando la menor distancia a él, tomarían todas las direcciones existentes en el espacio en cuestión, saturando todas las distancias más cortas posibles, creciendo así la distancia a dicho volumen de manera uniforme en todas las direcciones.

            En fín, espero que alguien te dé pronto una demostración formalizada con fórmulas.

            Suerte.
            Solo se vive una vez; que mejor manera de aprovecharla que intentar averiguar en la medida de lo posible de que cojones va todo esto de la existencia y la realidad de la que se compone.

            Comentario


            • #7
              Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

              Eso es precisamente porque las gotas tienden a tener la forma que tienen: esferas; como la tensión superficial está relacionada con la energía potencial, y ésta última se tiende a minimizar en un sistema físico, adoptan esa forma para minimizar el área.

              Saludos.

              Comentario


              • #8
                Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                Eso es precisamente porque las gotas tienden a tener la forma que tienen: esferas; como la tensión superficial está relacionada con la energía potencial, y ésta última se tiende a minimizar en un sistema físico, adoptan esa forma para minimizar el área.
                Precisamente por eso hice la pregunta.

                Comentario


                • #9
                  Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                  El concepto es la isoperimetría, pero en la wiki solo viene esto

                  http://es.wikipedia.org/wiki/Isoperimetr%C3%ADa

                  y trata de R2 dimensional.

                  El matemático Antonio Ros sabe mucho de esto

                  http://www.ugr.es/~aros/#Isoperimetric

                  aquí tienes adceso a muchos trabajos suyos relaccionados. ¡Coño!, pero todos en ingles... qué poca patria hacemos!.
                  Solo se vive una vez; que mejor manera de aprovecharla que intentar averiguar en la medida de lo posible de que cojones va todo esto de la existencia y la realidad de la que se compone.

                  Comentario


                  • #10
                    Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                    Escrito por lego Ver mensaje
                    Parece mentira que cueste tanto encontrar la demostración de un teorema tan fundamental como éste.

                    Yo aún no la tengo.

                    Lo más relacionado con el tema que he podido conseguir es suponer que una esfera deformada se puede expresar como una serie de polinomios de Legendre, y usando los multiplicadores de Lagrange para cada coeficiente, e imponiendo volumen constante, se llega a la esfera.

                    Pero eso no es la demostración que yo buscaba...
                    Hola. Una superficie arbitraria se puede desarrollar siempre en armónicos esféricos.



                    Si has demostrado que los coeficienes de los armónicos que hacen mínima la superficie son cero, pues entonces ya tienes la demostración.

                    Comentario


                    • #11
                      Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                      @Adosgel: tienes toda la razón, de hecho estuve investigando y vi que Antonio Ros fue el que demostró el teorema de la doble burbuja, en el año 2000!

                      @carroza: gracias por el aporte, yo creo que es el primer paso hacia la demostración.
                      Quizá si encontrara la expresión de la superfície en función de los coeficientes de los harmónicos, idem con el volumen, y con multiplicadores de lagrange... Pues ya estaría.
                      Ahora sólo necesitaría las expresiones de

                      y .

                      Comentario


                      • #12
                        Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                        El volumen de una figura en coordenadas esféricas es



                        donde es el ángulo sólido..

                        La superficie tiene también una expresión compacta, algo más compleja.

                        Comentario


                        • #13
                          Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                          Gracias!
                          Ya estamos a punto!

                          Comentario


                          • #14
                            Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                            Hola a todos. Para lego : Tal vez los matemáticos hayan tratado el tema en profundidad
                            y el contenido de esta nota sea superfluo. Estuve preguntándome cómo se podría demostrar
                            que cualquier apartamiento de la forma esférica lo único que puede hacer es aumentar la
                            superficie para un volumen dado. Si me permites, quiero comunicarte una idea que por ahora
                            es rudimentaria y salvaje. Hay simetría esférica cuando existe un punto interior
                            equidistante de todos los puntos de la superficie. ¿Y cómo podríamos operativamente
                            comprobar la equidistancia? ¿Cómo encontraríamos operativamente a ese punto interior
                            denominado centro? Si la esfera que te han dado no tiene marcado el centro necesitarás un
                            procedimiento bien establecido. ¿Cómo sería el procedimiento para encontrar el centro? Lo
                            primero sería escoger un punto interior Q y trazar desde ahí un segmento recto hasta
                            cada punto de la superficie. Si Q no es el centro las longitudes de los segmentos no
                            serán todas iguales. Entonces mueves el punto Q de modo tal que las diferencias entre
                            las longitudes disminuyan todo lo posible. El punto que minimiza las diferencias es único.
                            Si la superficie que te dieron es verdaderamente esférica ocurrirá que las diferencias
                            pueden minimizarse hasta cero, ese decir hasta no tener diferencias. Y si te dieron una
                            superficie que no es esférica encontrarás un punto que minimiza las diferencias, pero no
                            se minimizarán hasta cero. Independientemente de ser o no una superficie esférica, el
                            punto que minimiza las diferencias es único. Denominemos U a ese punto.

                            La distancia entre U y un punto de la superficie es una función de las coordenadas del
                            punto. El valor medio de esa función es la longitud promedio del segmento que une a U
                            con el punto superficial. En la esfera el promedio es igual a la longitud real de cada
                            segmento, porque son todos iguales. En el caso de una superficie irregular no sucede lo
                            mismo.

                            Así como en teoría cinético-molecular se usan el valor medio de la velocidad y el valor
                            medio del cuadrado de la velocidad, tal vez para demostrar el teorema necesitemos
                            promediar el cuadrado y el cubo de la longitud del segmento que une a U con el punto
                            superficial. Sospecho que el valor medio cuadrático se comportará en el cálculo de
                            superficie como el cuadrado del radio esférico. Y sospecho que el valor medio cúbico se
                            comportará en el cálculo del volumen como el cubo del radio esférico. Es decir supongo
                            que multiplicando al valor medio cuadrático por 4 pi tendrás la superficie. Y supongo que
                            multiplicando al valor medio cúbico por 4/3 de pi tendrás el volumen. Esto en la esfera
                            se cumple y probablemente se cumpla en todos los casos. Los procedimientos generales para
                            calcular superficie y volumen pueden basarse en los VALORES MEDIOS DEL CUADRADO Y DEL CUBO
                            DE LA AMPLITUD, si denominamos amplitud a la longitud del segmento que une a U con un
                            punto de la superficie. Solamente en la esfera el valor medio del cuadrado es igual al
                            cuadrado del valor medio y el valor medio del cubo igual al cubo del valor medio. Esta
                            última frase podría contener la clave para demostrar que la esfera minimiza la superficie
                            para un volumen dado. Si un recipiente cerrado irregular y una esfera tienen el mismo
                            volumen, tendrán el mismo valor medio para el cubo de la amplitud. Pero tener el mismo
                            valor medio cúbico no implica tener el mismo valor medio cuadrático. Si logras demostrar
                            que el promedio del cuadrado es mayor cuando promedias valores distintos que cuando
                            promedias valores iguales, habrás demostrado que la esfera minimiza la superficie para un
                            volumen dado.

                            Acabas de comprobar que soy como esos generales que les dicen a los soldados "la victoria
                            es nuestra", cuando el enemigo centuplica el número de efectivos. La estrategia de los
                            valores medios cuadrático y cúbico es engañosamente sencilla. Para determinar el punto U
                            tendrás una tarea cansadora. Y con eso no habrás resuelto más que un detalle inicial. El
                            desarrollo posterior demandará más esfuerzo. La buena noticia es que casi con seguridad el
                            esfuerzo será útil. Lo más probable es que obtengas la demostración.

                            Adrede no detallé ideas respecto a la determinación del punto U por minimización de
                            diferencias. ¿Cómo formalizaríamos la noción visual de mover Q para disminuir las
                            diferencias de amplitud? Una superficie contiene infinitos puntos, cada uno con su
                            amplitud. Para encontrar U necesitas comparar esas infinitas amplitudes. En eso no te
                            salvarás de resolver una integral o más. Con intención didáctica imaginemos que la
                            superficie tiene solamente 5 puntos. Entoces hay 5 amplitudes diferentes. Necesitamos una
                            función que varíe cada vez que Q se mueva, de modo tal que la función tenga su mínimo
                            en el punto U . ¿Puedes pensar en una función adecuada? Matemáticamente una diferencia
                            se expresa con una resta. ¿Qué restarás para evaluar las diferencias de amplitud?
                            ¿Respecto a qué difieren las 5 amplitudes? ¿Respecto al promedio de las 5? Cuando te piden
                            que definas una función para evaluar las diferencias de amplitud encuentras la primera
                            dificultad seria. Pero hay un tesoro en la cueva y con temores anticipados nunca
                            entraremos a buscarlo. Seguramente la demostración que te interesa no es tan fácil como un
                            ejercicio de la escuela secundaria. Pero con dedicación y perseverancia las dificultades
                            pueden ser superadas.

                            Disculpa lego que no pueda ofrecerte una demostración hecha. Intenté buscar alguna en
                            internet pero fracasé. Y supuse que una estrategia podría paliar un poco los efectos de mi
                            fracaso. Si encuentras algo útil en esta nota me sentiré aliviado.

                            Mi mejor saludo.

                            Comentario


                            • #15
                              Re: superficie minima que encierra volumen = esfera. Necesito la demostracion!

                              Chap- considero que la idea que has expuesto, es el fundamento matemático en sí de lo que se busca, por lo que me parece una buena aportación.
                              El problema es su aplicación, por ser un método integro, sin extraer de él el fundamento que lo sustenta, a un ejp. ideal elemental.

                              Creo que el ejp. ideal podría ser este:

                              dos segmentos AB y CD paralelos entre sí en un plano y que tienen uno de sus extremos en una misma recta perpendicular a ambos del mismo plano (A, C); distancian sus otros dos extremos B y D, cumpliéndose que cuanto más se asemejen los segmentos a su longitud media, menor será la distancia entre B y D, siendo la distancia menor la correspondiente a la media; osea, a dos segmentos de la misma longitud; osea, que la recta que alberga dichos extremos B y D, sea perpendicular a dichos segmentos.

                              Y más elementalmente:

                              la perpendicular entre dos rectas paralelas es la distancia menor entre ambas.

                              Esto se interpreta en el marco de la curva basándose en que siendo una curva real, dos puntos contiguos de la curva comparten la misma tangente al ser despreciable la influencia de su tendencia en la curva; por lo que se puede considerar a este nivel válido el ejemplo para dos segmentos AB y CD que se juntan en los extremos A y C, y que sus extremos B y D son contiguos en una recta real
                              Solo se vive una vez; que mejor manera de aprovecharla que intentar averiguar en la medida de lo posible de que cojones va todo esto de la existencia y la realidad de la que se compone.

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