Suma de 4 cuadrados

[[Beto]]

La verdad no soy muy bueno que digamos en el área de teoría de números pero se que a todo numero natural se lo puede expresar como la suma de otros cuatro números cuadrados perfectos ¿Alguien sabe probar esto formalmente?.

[Dramey]

Re: Suma de 4 cuadrados

pues yo creo que tal como está planteado es falso, se me ocurren como contraejemplos el 1, 2, 3 y 5

[pod]

Re: Suma de 4 cuadrados

pues yo creo que tal como está planteado es falso, se me ocurren como contraejemplos el 1, 2, 3 y 5

No estoy muy seguro del enunciado, pero quizá valga así:

$1 = 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \ ,$
$2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \ ,$
$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 \ ,$
$4 = 2^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \ ,$
$5 = 2^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \ .$

[Dramey]

Re: Suma de 4 cuadrados

Vale, pensé que eran naturales y aquí si que no me meto, "así me lo aprendí yo, el 0 no es natural, lo mismo que el sol sale por el este"

[pod]

Re: Suma de 4 cuadrados

Vale, pensé que eran naturales y aquí si que no me meto, "así me lo aprendí yo, el 0 no es natural, lo mismo que el sol sale por el este"

Ya, supongo que el enunciado será algo así como "cualquier número natural puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados perfectos formados a partir de $\mathbb{N}\cup \{0\}$".

[_FoX_]

Re: Suma de 4 cuadrados

Pues el enunciado está bien, dice que todo natural es la suma de 4 cuadrados perfectos, supongo que el 0 es el menor cuadrado perfecto.

[pod]

Re: Suma de 4 cuadrados

Pues el enunciado está bien, dice que todo natural es la suma de 4 cuadrados perfectos, supongo que el 0 es el menor cuadrado perfecto.

El problema es que, como dice Dramey, la mayoría de autores dejan el cero fuera de los números naturales

[[Beto]]

Re: Suma de 4 cuadrados

El problema es que, como dice Dramey, la mayoría de autores dejan el cero fuera de los números naturales

En mi enunciado dice que los naturales se pueden expresar de la forma mencionada en función de otros cuatro "números", no dice que sean naturales yo asumo que son enteros y pues como son cuadrados perfectos el menor es el cero.

[Dramey]

Re: Suma de 4 cuadrados

En mi enunciado dice que los naturales se pueden expresar de la forma mencionada en función de otros cuatro "números", no dice que sean naturales yo asumo que son enteros y pues como son cuadrados perfectos el menor es el cero.

entonces está chupado :P

$N=sqrt{N}^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$

[pod]

Re: Suma de 4 cuadrados

entonces está chupado :P

$N=sqrt{N}^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$

Debería mover esto a la sección de humor...

Lo peor es que a mi se me ocurrió lo mismo

[[Beto]]

Re: Suma de 4 cuadrados

entonces está chupado :P

$N=sqrt{N}^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$

y si N = 15 , creo que $\sqrt {15}^2$ no es cuadrado perfecto porque $\sqrt {15}\approx 3,...$ no es un entero no negativo.

La idea es probar que todo número se puede expresar de esa forma, y pues no creo que que sea buena idea probar con todos los naturales que hay para ver si cumple .

[pod]

Bueno, intentemos hacer algo con este problema de una vez. Queremos escribir

$N = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 \ ,$

Donde $N \in \mathbb{N}$, $n_i \in \mathbb{Z}$. Para empezar, supongamos que podemos elegir $n_1$ como el mayor natural cuyo cuadrado no excede $N$. Ahora nos queda demostrar que podemos escribir la diferencia de cualquier numero con el cuadrado perfecto inferior más próximo como la suma de tres cuadrados perfectos.

Y podríamos proceder así dos veces más. Por lo tanto nos queda por demostrar que, habiendo hecho esto tres veces, el último número que nos queda siempre es un cuadrado perfecto.

¿Funcionará esta estrategia? No tiene por qué, pero a lo mejor vale la pena seguir con ella un poco a ver donde llegamos.


EDICIÓN:

He hecho un simple programa en php que utiliza ese método para descomponer un número cualquiera:

http://pod.lawebdefisica.com/cuadrados.php?n=1337

Para probar otro número, simplemente cambiarlo tras el n =

Pues bien, jugando con este programa es fácil encontrar números que necesitan de 5 cuadrados perfectos. Por ejemplo, el 1338. Eso no significa que el teorema de neofebo sea falso, sino que esta estrategia no sirve.

Bueno, por si alguien quiere jugar con el programa, el código es casi trivial:

[php]
<?php

$ni = intval($_GET['n']);

if (!$ni) die("Debes especificar el n&uacute;mero a descomponer en la url: cuadrados.php?n=1337");

$n = $ni;

do
{
$t = floor(sqrt($n));
echo "$t<br>\n";
$string[] = "$t^2";
$n -= $t*$t;

// Comprobación de resultado
$total += $t*$t;
$cantidad++;
}
while ($n > 0);

if ($total != $ni) die("<hr> Ha ocurrido un error, los numeros no cuadran");
echo "<hr> Resultados tras $cantidad sumandos.<br><br>$ni = ". implode(" + ", $string);
?>
[/php]

[Dj_jara]

Re: Suma de 4 cuadrados

Coloco esto aquí, porque lo tengo ya infinito tiempo y aún no lo he acabado
El enunciado se conoce como teorema de Lagrange, dice que todo número natural es suma de cuatro cuadrados.

Ante de demostrarla hace falta la identidad de Euler:

$$(a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 +d_1^2)(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 +d_2^2)$$

$$= (a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 d_1 d_2)^2 + (a_1 b_1 - b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2 )^2$$

$$+(a_1 c_2 - c_1 a_2 + d_1 b_2 - b_1d_2)^2+(a_1d_2 -d_1 a_2 +b_1c_2 -c_1 b_2)^2$$

Teniendo el cuenta lo anterior esta claro que basta con demostrar que los números primos se pueden expresar como suma de cuatro cuadrados, si tenemos en cuenta que $2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2$ sólo hay que demostrarlo para los primos impares.
Definimos $A = \{\bar{a}^2 | 0\le a \le \frac{p-1}{2}\} \textrm{ y } B=\{-\bar{1}-\bar{b}^2 |0\le a \le \frac{p-1}{2}\}\\<br /> A\subseteq \mathbb{Z}_p\\<br /> B\subseteq \mathbb{Z}_p$

Ahora probamos que para cada a perteneciente al intervalo su cuadrado es diferente (hay que tener en cuenta que $\bar{a}$ quiere decir que pertenece al grupo cociente $\mathbb{Z}_p$)
Si $\bar{a}^2 = \bar{c}^2\rightarrow a^2 - c^2 = (a+c)(a-c)$ por lo tanto p divide a (a+c) o (a-c), como $a+c \le \frac{p-1}{2} + \frac{p-1}{2} < p$ por lo tanto p no puede dividir a a+c, y tiene que dividir (a-c), pero eso solo es posible si a = c.

Con el conjunto B se hace igual.

Así tenemos que $|A| = |B|=\frac{p+1}{2}\textrm{, } |A| + |B| >|\mathbb{Z}_p|\rightarrow A\bigcap B \not= \{\}$
Asi sabemos que existe algún $\bar{a}^2 = -\bar{1} - \bar{b}^2\rightarrow a^2 + b^2 +1 = mp\\a^2+b^2 +1\le \left(\frac{p-1}{2}\right)^2 +\left( \frac{p-1}{2}\right)^2 +1 <p^2$
De donde sacamos que
$0<m<p$
De aqui concluimos que existen enteros m tal que mp es suma de cuatro cuadrados, sea n el minimo de ellos (realmente m es natural ya que es siempre positivo y estamos haciendo uso del principio de buena ordenación)
$a_1^2 + b_1^2 +c_1^2 +d_1^2 = np$

Ahora solo hay que demostrar que n solo puede ser 1. (Se deja la demostración para casa xD, como pista se usa el método del descenso infinito de fermat)