Otras carreras Integral de tabla

[german2008]

hola, buenas tardes!

me pidieron demostrar una integral de tabla y la verdad que no se me ocurre, ando totalmente desubicado con ella
$sen^nxe^x$ con $n=1,2,3$

agradecería si me ayudan, gracias

[jorgext]

Re: Integral de tabla

hola, buenas tardes!

me pidieron demostrar una integral de tabla y la verdad que no se me ocurre, ando totalmente desubicado con ella
$sen^nxe^x$ con $n=1,2,3$

agradecería si me ayudan, gracias

Si lo que quieres es calcular:

$I_n = \int e^x\sin^n x dx$

Debes ocupar integración por partes un par de veces, con eso verás que puedes resolverlo. Un recuerdo:

$\int udv = uv - \int vdu$

[pod]

Re: Integral de tabla

Una alternativa es desarrollar el seno,

$$\sin x = \frac{1}{2i} \Big( \eee{ix} - \eee{-ix} \Big) .$$

y aplicar el binomio de Newton.

[electr0n]

Re: Integral de tabla

Yo no he logrado resolverla de ninguna de las 2 formas.

Empleando la expresión que aparece en la web: http://en.wikipedia.org/wiki/Trigono...ction_formulas es posible resolver la integral y queda bastante "amplia":

$<br /> \displaystyle I=e^x\frac{2}{2^n}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}-k}}{1+(n-2k)^2}\binom{n}{k}\left[sen(n-2k)x-(n-2k)cos(n-2k)x\right]<br />$

siempre y cuando n sea impar. Si n es par, sale otra cosa.

No sé si habrá otra forma más sencilla de expresarlo...

Saludos

[alespa07]

Re: Integral de tabla

Hola. Haciendolo como indica Jorge puedes establecer una relación de recurrencia entre I(n) e I(n-2). Haciéndolo como indica Pod se llega a la solución que se parece a la que indica Electron pero sin necesidad de distinguir la paridad de n.

Saludos.

Nota: No creo que esta integral sea una "integral de tabla". Otra cosa sería que el seno no estuviera elevado a n sino que el argumento del seno esté multiplicado por n.

[electr0n]

Re: Integral de tabla

Hola!

Por curiosidad, alespa07, ¿cómo has hecho para llegar a algo parecido mediante el binomio de Newton? Porque antes de llegar a los senos y cosenos, aparecen varias potencias y términos adicionales en el denominador al integrar...

PD: Estamos dedicando tiempo a resolver un problema que puede que, efectivamente, contenga $sen(nx)$ y no $sen^nx$, mientras la persona que propuso la pregunta ya no da señales de vida.

un saludo

[alespa07]

Re: Integral de tabla

Hola Electron. Ahora mismo no tengo mucho tiempo para desarrollar el cálculo en Latex pero la idea es dejarlo todo en exponenciales complejas hasta el final. Las potencias ya no importan en la integral ya que sacas el sumatorio fuera y solo te queda integrar una exponencial (reagrupando el producto de las tres, dos complejas y una real). Pero vaya, quizás esté omitiendo algo pero confío en haberlo hecho bien y el resultado me sale parecido al que dabas pero sin distnción entre par e impar. Probaré de poner el sumatorio que he encontrado en mathematica y comprobaré para algunos valores de n por curiosidad. Si tengo más tiempo mañana te pondré el desarrollo. Que vaya bien!!

Saludos.

P.D: Estoy contigo en que este problema parece interesarnos más a nostros que al propio german. No es la primera vez que ocurre ni la última me temo. Aunque el problema no fuera éste, nos ha hecho pensar un rato así que el tiempo no se ha perdido en vano jejej...

[jorgext]

Re: Integral de tabla

He tenido un poco de tiempo, haber si lo he desarrollado bien...

$I_n = \mathrm{\int} e^x \sin^{n} x dx$
Comenzamos...
$u = \sin^n{x}$
$du = n \sin^{n-1}{x}\cos{x}dx$
y...
$dv = e^{x}dx$
$~v = e^{x}$

Y reemplazamos...
$I_n = e^{x}\sin^n{x} - n\int e^{x}\sin^{n-1}{x}\cos{x}dx$

Otra vez...
$~u = \sin^{n-1}{x}\cos{x}$
$du = [(n-1) \sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x}+\sin^{n-1}{x}(-\sin{x})] dx$
$du = [(n-1) \sin^{n-2}{x}(1-\sin^{2}{x})-\sin^{n}{x}] dx$
$du = [(n-1) (\sin^{n-2}{x}-\sin^{n}{x})-\sin^{n}{x}] dx$
$du = [(n-1) \sin^{n-2}{x} - n\sin^{n}{x}] dx$
también...
$dv = e^{x}dx$
$~v = e^{x}$

Reemplazamos...
$I_n = e^{x}\sin^n{x} - n \left[ e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x} - \int e^{x} [(n-1) \sin^{n-2}{x} - n\sin^{n}{x}] dx \right]$
$I_n = e^{x}\sin^n{x} - n e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x} + n\left[ (n-1)\int e^{x} \sin^{n-2}{x} dx - n \int e^{x}\sin^{n}{x} \right]$
$I_n = e^{x}\sin^n{x} - n e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x} + n\left[ (n-1)I_{n-2} - n I_{n} \right]$
$I_n = e^{x}\sin^n{x} - n e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x} + n(n-1)I_{n-2} - n^{2} I_{n}$

y...
$(n^{2}+1) I_{n} = e^{x}\sin^n{x} - n e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x} + n(n-1)I_{n-2}$

Finalmente...

$\boxed{I_{n} = \frac{1}{n^{2}+1}(e^{x}\sin^n{x} - n e^{x} \sin^{n-1}{x}\cos{x}) + \frac{n(n-1)}{n^2+1}I_{n-2}.}$

Creo que tengo el resultado bien, no lo he verificado con una "tabla".

Saludos !