calcular el area de una elipse

[FANYTA]

AHHHH YA ENTENDI QUE SI NO LO PONES SOLO ESTASCALCULANDO LA CUARTA PARTE OOOO..
OYE NO SE INTEGRAR MUY BIEN SE LO BASICO Y NO SE SI SERIA MOLESTIA QUE ME EXPLICRAS COMO IR INTEGRANDO, NO TE DIGO Q LO AGAS SI NO Q ME EXPLIQUES PARA ENTENDERLE DE UNA FORMa SIMPLE SII PORFA

A SE ME OLVIDA estas integrales se hacen por cambio de variable o integracion por partes

[[Beto]]

Re: calcular el area de la elipse

Ahh eso ... bueno eso es porque esa integral calcula el área solamente la cuarta parte de área de la elipse, imagina a la elipse con su centro en el origen de coordenadas ... el área que representa esa integral es solamente de la parte ubicada en el primer cuadrante, si quieres el área total se tendrá que multiplicarla por cuatro.

[FANYTA]

Re: calcular el area de la elipse

si si lo vi pero lo q no entiendo es porq se pone 4

[[Beto]]

Re: calcular el area de la elipse

Hola

Hace tiempo alguien preguntó lo mismo:

http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=1968

[FANYTA]

calcular el area de la elipse

me podrian aydar por favor esq hay algunas q no entiendo como esto porq sale 4 seria de micha ayuda plis urge

[Metaleer]

Re: calcular el area de una elipse

Hay una forma de calcular el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c, de la siguiente manera. El método se llama el método de las secciones, y consiste en coger un trozo infinitesimalmente fino de rodaja, digamos, creada por un plano, y seccionar así a todo el cuerpo por un haz de planos paralelos, y posteriormente sumar todas estas secciones infinitesimalmente finas y obtener así el volumen. Esta última suma puedes deducir que será una integral definida. Veamos el caso particular de una elipsoide:

La ecuación canónica o reducida de una elipsoide es:

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

Si nosotros ahora vamos haciendo secciones por planos paralelos al plano XY, es decir, del tipo z = k, manipulando la ecuación de arriba tendremos

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{k^2}{c^2} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1 - \frac{k^2}{c^2}$

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } + \frac{y^2}{b^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } = 1$

Es decir, las figuras que tenemos son elipses de semiejes $\displaystyle a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}}$ y $\displaystyle b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}}$

Sabemos que el área de una elipse es $\pi ab$

Operando: $\displaystyle \pi a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} = \pi ab (1 - \frac{k^2}{c^2})$

Lo que tenemos que hacer ahora es integrar esta expresión entre -c y c, ya que esta función que hemos obtenido es la función área en función de k, es decir, en función de z. $\displaystyle \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2}) dz$ es un elemento de volumen infinitesimalmente fino, así que:

$\displaystyle \int_{-c}^{c} \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2})~dz$

que, resuelta, nos da el resultado que buscábamos:

$\displaystyle \frac{4}{3}\pi abc$

Es útil reflexionar este resultado. ¿Qué pasaría si a = b = c?

Espero que haya resuelto tu duda. Si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

Saludos.

[carroza]

Re: calcular el area de una elipse

Quizás el problema está en realizar la primera integral

$A=4 \int^{b}_{0} dy \int^{a\sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}}}_{0} dx=4 a \int^{b}_{0} \sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}} dy$


Ahora ya tienes un integral respecto una única variable y pod ya te ha indicado el cambio y=bcos t

Saludos

Bueno, ahora que ya sabemos hacer el problema por integrales, se puede buscar una forma más elegante de hacerlo, que no requiera saber ninguna integral (aunque si requiere saber hacer cambios de variable).

Partiendo de la expresion anterior, y haciendo los cambios de variable $y=bu$, y $x=av$, queda la expresion:

$A=4 a b \int^{1}_{0} du \int^{\sqrt{1-v^{2}}}_{0} dv$

Ahora, nos damos cuenta de que las integrales en u y en v corresponden al area de un cuadrante de circulo de radio unidad. Si nos acordamos de la primaria, el area de un circulo de radio R es $\pi R^2$. Por tanto, el area de un cuadrante de circulo de radio unidad es $\pi /4$. Por tanto, queda

$A = 4 a b (\pi /4) = a b \pi$


¿Se os ocurre ahora un procedimiento para calcular el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c?

[Frank]

Re: calcular el area de una elipse

Quizás el problema está en realizar la primera integral

$A=4 \int^{b}_{0} dy \int^{a\sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}}}_{0} dx=4 a \int^{b}_{0} \sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}} dy$


Ahora ya tienes un integral respecto una única variable y pod ya te ha indicado el cambio y=bcos t

Saludos

[[Beto]]

Re: calcular el area de una elipse

Quizás el problema es no saber como llevar a cabo la integral, pero si sabes hacer integrales simples, para hacer esta integral doble solo integra primero con respecto a una variable considerando las demás constantes y así hasta acabar con la ultima integral.

[hassan]

Re: calcular el area de una elipse

Disculpad que me meta, pero ya lo tienes hecho:

Primero te piden hacer una integral trivial y hacer el cambio de variable y=bcost, que lo sustituyas en la expresion donde de forma facil obtendras una expresion trigonometrica (no se te olvide cambiar tambien los limites de la integracion).
Finalmente obtienes la integral de una funcion trigonometrica, muchisimo mas facil que la integral de una raiz cuadrada.

Y a unas muy malas, siempre puedes hacerlo por induccion (o sera deduccion): conociendo el area de una figura geometrica sencilla, puedes inducir (o deducir no me aclaro) el area de la elipse.

No se si servira de ayuda, pero me uno a eso de no dar la solucion asi como asi

[virolo]

Re: calcular el area de una elipse

Pues yo lo veo resuelto, simplemente hay que desarrolar la integral, si no sabes, pues dínoslo.

no se

[_FoX_]

Re: calcular el area de una elipse

Pues yo lo veo resuelto, simplemente hay que desarrolar la integral, si no sabes, pues dínoslo.

[pod]

Re: calcular el area de una elipse

por algo te digo que lo termines poh

chau gracias

¿Si lo hago que aprenderías tú? Por lo menos inténtalo, y dinos que es lo que te causa dificultados.

[virolo]

Re: calcular el area de una elipse

¡Sí que soy capaz! ¿Y tú?

por algo te digo que lo termines poh

chau gracias

[pod]

Re: calcular el area de una elipse

serias capas de terminar el ejercicio porfa??

¡Sí que soy capaz! ¿Y tú?