1r ciclo Calcular esta derivada implícita

[skinner]

Buenas, tengo que derivar la siguiente expresión: ${x}^{y}={y}^{x}$

Usando la fórmula para derivar funciones implícitas tengo que:

$\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } =-\frac{\partial f}{\partial x} / \frac{\partial f}{\partial y} = - (y{x}^{y-1} - {y}^{x}Lny) / ({x}^{y}Lnx - x{y}^{x-1})$

Pero la solución correcta es:

$\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } = y(xLny-y) / x(yLnx-x)$

¿Cuál es mi error? ¿Me equivoqué al operar con alguna derivada parcial?

Por cierto, ya que estamos... ¿alguien me podría decir de dónde proviene (cómo se deduce) la fórmula anterior? $\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } =-\frac{\partial f}{\partial x} / \frac{\partial f}{\partial y}$

Muchas gracias, y un saludo!

[M_Odes]

Re: Calcular esta derivada implícita

Hola skinner, la verdad no sé que error tienes, no he leido bien tu post, pero te motraré otra propuesta para realizar esta derivada (Y cualquier otra función implicita) con el siguiente método:

Sea una relación implicita $f(x,y)=c$ con c=constante y donde las variables x e y no pueden ser despejadas de manera trivial, sin embargo es posible ver esta función como $y=g(x)$ o $x=h(y)$ de modo que tratamos a $x$ como la variable independiente de la relación y a $y$ como la variable dependiente y aplicamos regla de derivación en cadena. estuve tratando de dilucidar un resumen sobre la teoría implicada, pero creo que lo entenderás mejor con un ejemplo: usemos tu función implicita

Partimos de la relacion con el supuesto que$y=g(x)$.

saquemos Logartimo Natural a esta ecuacón para hacerla más amigable

$\displaystyle{y \ln(x) = x \ln(y)}$

Derivemos respecto a $x$

$\displaystyle{y' \ln(x) + y \frac{1}{x} = \ln(y) + x \frac{y'}{y}}$

despejando a $y'$ a un solo lado de la igualdad

$\displaystyle{y' \left ( \ln(x) - \frac{x}{y} \right ) = \ln(y) - \frac{y}{x} }$

que nos deja la igualdad:

$\displaystyle{y' = \frac {\ln(y) - \frac{y}{x}}{ \ln(x) - \frac{x}{y} } }$

$\displaystyle{y' = \frac { \frac{x \ln(y) - y}{x}}{\frac{y \ln(x) - x}{y} } }$

que finalmente nos da como resultado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que es a lo que querías llegar. no revisé tu post porque nunca había visto trabajar las funciones implícitas de esa manera, tendré que revisarla para poder darte mi opinón sobre que salió mal
espero te sirva mi punto de vista.

Saludos!

[pod]

Re: Calcular esta derivada implícita

Por cierto, ya que estamos... ¿alguien me podría decir de dónde proviene (cómo se deduce) la fórmula anterior? $\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } =-\frac{\partial f}{\partial x} / \frac{\partial f}{\partial y}$

La verdad es que esta ecuación no tiene visos de ser cierta. Probablemente quieras calcular una derivada total más o menos así

$$\frac{\dd f}{\dd y} = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\dd x}{\dd y} .$$

Pero a mi me da toda la impresión que lo que quieres hacer no tiene nada que ver con esto. Creo que lo que estas buscando es la respuesta de M_Oes.

[M_Odes]

Re: Calcular esta derivada implícita

Buenas, tengo que derivar la siguiente expresión: ${x}^{y}={y}^{x}$

Usando la fórmula para derivar funciones implícitas tengo que:

$\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } =-\frac{\partial f}{\partial x} / \frac{\partial f}{\partial y} = - (y{x}^{y-1} - {y}^{x}Lny) / ({x}^{y}Lnx - x{y}^{x-1})$

Pero la solución correcta es:

$\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{dy} } = y(xLny-y) / x(yLnx-x)$

¿Cuál es mi error? ¿Me equivoqué al operar con alguna derivada parcial?

Tu error no está en la derivación, tu error está en factorización

sabemos que $x^{y}=y^{x}...(1)$

reemplazemos esta ecuación en tu solución, pero reordenemos un poco:

$- \left (\frac{y x^{y}}{x}-y^{x}\ln(y) \right ) /\left (x^{y}\ln{x}-\frac{x y^{x}}{y}\right )$ .....(2)

reemplazando (1) en (2) (mira lo que queda entre corchetes)
$- \left (\frac{y [y^{x}]}{x}-y^{x}\ln(y) \right ) /\left (x^{y}\ln{x}-\frac{x [x^{y}]}{y}\right )$

factorizemos $\frac{y^{x}}{x}$ en el numerador y $\frac{x^{y}}{y}$ en el denominador, tendremos pues que :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

dada la igualdad (1) podemos entonces factorizar las potencias de $x$ e $y$ quedando como resultado :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[arreldepi]

Re: Calcular esta derivada implícita

A la relación que obtienes se llega de la siguiente forma: supón que tienes una función tal que

$$f(x,y)\equiv 0,$$

y, además, puedes escribir la ecuación implícita respecto de una de las variables (en este caso te interesa dejarla respecto de $y$ por lo que veo, verifica que cumple las condiciones del teorema de la función implícita). Entonces, como

$$f(x,y)\equiv 0 \qquad\rightarrow\qquad \dd f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}\dd x + \frac{\partial f}{\partial y}\dd y = 0$$

Entonces

$$\frac{\partial f}{\partial y} \dd y= -\frac{\partial f}{\partial x}\dd x \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{y'=\frac{\dd y}{\dd x} = \frac{-\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}}$$

que es la expresión que buscabas.

Saludos.

[M_Odes]

Re: Calcular esta derivada implícita

La verdad es que esta ecuación no tiene visos de ser cierta. Probablemente quieras calcular una derivada total más o menos así

$$\frac{\dd f}{\dd y} = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\dd x}{\dd y} .$$

Pero a mi me da toda la impresión que lo que quieres hacer no tiene nada que ver con esto. Creo que lo que estas buscando es la respuesta de M_Oes.

estube pensando un poco la respuesta y creo que podría fundarse de considerar la relación implícita como $f(x,y)=c$ con $c$ constante y tomar el diferencial total,

$df(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\dd x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \dd y = \dd c = 0$

siguiendo esta linea de razonamiento, solo nos concentrariamos en la ecuación

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\dd x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \dd y = 0$ ...(1)

y al despejar $\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x}$ o $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y }$ por ejemplo si divido por $\dd x$ en (1) y aislo el termino que parece ser la derivada total de $y$ con respecto a $x$ llego a que

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x } = \frac{- \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}$$

que aplicado al caso que nos compete nos devuelve el mismo resultado que hemos obtenido mediante los otros métodos.

Saludos!!

P.D. No sé como colocar ecuaciones presentadas (\displaystyle?) para que queden un poco más grandes y se alcanze a identificar que letra es cual, alguna sugerencia?

edito:
Mmm se me ha adelantado $\displaystyle {\int_{-\infty }^{\infty }} e^{-x^{2}} \dd x$

[arreldepi]

Re: Calcular esta derivada implícita

Cuando escribas [tex][/ tex] en el primero escribe [tex=*], de esta forma te quedarán centradas, numeradas y con el "\displaystyle".


Saludos !