1r ciclo continuidad del coseno hiperbolico

[MIMOSA]

hola compañeros tengo una duda, tengo que ver donde esta funcion es diferenciable y analitica,
f(z)= cos ($\bar{z}$) donde z es u numero complejo, pues
para ver en que puntos es diferenciable use lo de cauchy rieman lo cal se cumple luego trate de ver donde las parciales son continuas ( que me quedan sen (x) cos h(-y) y cos(x) senh(-y)) se que el seno y coseno son conitnuas pero no recuerdo donde cosh y sen h lo son. espero me puedan ayudar.

[GNzcuber]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

Hola MIMOSA,

Si buscas por internet una gráfica o el Wikipedia podrías haber resuelto la duda que planteas.

Tanto el seno hiperbólico como el coseno hiperbólico son contínuas en todo $\dst \mathbb{R}$. Recuerda que además:

$$\dst \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\,\, ;\quad \sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Y como sabrás $\dst e^x$ es continua en todo $\mathbb{R}$, y la suma de dos funciones contínuas es una función contínua.

¡Saludos!

[pod]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

hola compañeros tengo una duda, tengo que ver donde esta funcion es diferenciable y analitica,
f(z)= cos ($\bar{z}$) donde z es u numero complejo, pues
para ver en que puntos es diferenciable use lo de cauchy rieman lo cal se cumple luego trate de ver donde las parciales son continuas ( que me quedan sen (x) cos h(-y) y cos(x) senh(-y)) se que el seno y coseno son conitnuas pero no recuerdo donde cosh y sen h lo son. espero me puedan ayudar.

Para empezar, tienes que separar el coseno hiperbólico en sus partes real e imaginaria. Eso ya lo tienes hecho por lo que veo. Sea $z = x + i y$, con $x$ e $y$ reales. Tenemos

$$f(z) = \cos \bar z = \frac12 \left( \eee{x-iy} + \eee{-x+i y} \right) = \cosh x \cos y - i \sinh x \sin y.$$

Luego, las partes reales e imaginaria son

$$f_x = \cosh x \cos y , \qquad f_y = - \sinh x \sin y .$$

Que creo es lo mismo que ya tienes tú. La primera condición de Cauchy-Riemman es

$$\partial_x f_x = \partial_y f_y ,$$

Si desarrollamos cada término

$$\begin{aligned}<br /> \partial_x f_x & = \sinh x \cos y , \\<br /> \partial_y f_y & = - \sinh x \cos y .<br /> \end{aligned}$$

Como ves, la igualdad no se cumple, ya que hay un signo de diferencia, por lo tanto la función nunca será derivable.

Como colorario general, cualquier función que dependa del complejo conjugado, $\bar z$, nunca será derivable.

[Metaleer]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

El razonamiento de pod no es correcto.

Veamos; si $f = \cosh x \cos y - i \sinh x \sin y$, tenemos que $u(x, y) = \cosh x \cos y$ y $v(x, y) = -\sinh x \sin y$. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son

$${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y },$$

$${ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }.$$

En efecto, las derivadas parciales de la primera ecuación dan lo que dice pod, pero aquí viene lo importante: la primera ecuación no se cumple, salvo que $x = 0$.

La segunda ecuación nos lleva a las derivadas parciales

$${ \partial u \over \partial y } = - \cosh x \sin y,$$

$$-{ \partial v \over \partial x } = \cosh x \sin y.$$

Esta ecuación, por tanto, tampoco se cumple, salvo que ambos miembros sean igual a , y esto ocurre cuando $\sin y = 0 \Rightarrow y = k \pi,~ k \in \mathbb{Z}$.

La conclusión es que la función será diferenciable en los puntos del tipo $(0, k \pi),~ k \in \mathbb{Z}$, pero no es analítica en ningún punto, ya que para ser analítica en un punto, debe ser diferenciable en ese punto y en un entorno de éste. En este caso, ninguno de los puntos del tipo $(0, k \pi),~ k \in \mathbb{Z}$ tienen un entorno donde la función es diferenciable.

Saludos.

[pod]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

La respuesta de Metaleer es incorrecta. Para demostrar la derivabilidad de una función, las condiciones C-R deben cumplirse en un conjunto abierto. Un punto aislado no es un conjunto abierto, ergo la función no es derivable en esos puntos.

La función analizada no es derivable en ningún punto.

[Metaleer]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

La respuesta de Metaleer es incorrecta. Para demostrar la derivabilidad de una función, las condiciones C-R deben cumplirse en un conjunto abierto. Un punto aislado no es un conjunto abierto, ergo la función no es derivable en esos puntos.

La función analizada no es derivable en ningún punto.

pod, eso no es verdad. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, uno puede analizar la diferenciabilidad punto a punto, sin tener que preocuparse si existe o no un entorno que rodee al punto en cuestión donde también se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que tú dices es el concepto de analiticidad (u holomorfía, regularidad, como lo quieras llamar), que como dije antes, no tiene que darse si se tiene la diferenciabilidad en un punto. Mira la página 39 de estos apuntes, y los ejemplos resueltos posteriores.

Como ves, se cumplen todas las hipótesis del teorema para tener asegurada la existencia de la derivada en un punto, es decir, la diferenciabilidad en ese punto: la función está definida en un entorno de todos los puntos necesarios, las cuatro derivadas parciales son continuas en todo el plano, y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (fíjate que ahí no pone nada de que tengan que cumplirse en un entorno de nada, sólo que se cumplan).

Saludos.

[pod]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

pod, eso no es verdad. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, uno puede analizar la diferenciabilidad punto a punto, sin tener que preocuparse si existe o no un entorno que rodee al punto en cuestión donde también se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que tú dices es el concepto de analiticidad (u holomorfía, regularidad, como lo quieras llamar), que como dije antes, no tiene que darse si se tiene la diferenciabilidad en un punto. Mira la página 39 de estos apuntes, y los ejemplos resueltos posteriores.

Como ves, se cumplen todas las hipótesis del teorema para tener asegurada la existencia de la derivada en un punto, es decir, la diferenciabilidad en ese punto: la función está definida en un entorno de todos los puntos necesarios, las cuatro derivadas parciales son continuas en todo el plano, y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (fíjate que ahí no pone nada de que tengan que cumplirse en un entorno de nada, sólo que se cumplan).

Saludos.

Pues no sé que dirán esos apuntes, pero la wikipedia dice otra cosa: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuacio...servaci.C3.B3n

[MIMOSA]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

hola, chicos entiendo ala perfeccion de lo que hablan y pues segun yo es comod ice metaleer, si se puede hacer punto a punto. pero una duda en mis apuntes yo tengo que cos z= cosxcoshy-isenxsenhy
como me piden cos de $/bar{z}$segun o seria cosxcosh(-y) - i sen(x)senh(-y) ??

[Metaleer]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

Vaya, apenas se ve el signo del valor absoluto sobre la $z$.

Tu función es $f = \cos(\bar{z}) = \cos(\sqrt{x^2+y^2}) = \cos(\sqrt{x^2+y^2}) + 0i$, y como antes, $u(x, y) = \cos(\sqrt{x^2+y^2})$, $v(x, y) = 0$.

La primera ecuación de Cauchy-Riemann lleva a la igualdad

$$-\frac{x \sin \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}= 0,$$

y la segunda a

$$-\frac{y \sin \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0,$$

y ahora no caigas en la trampa de decir que por la primera ecuación, $x= 0$ y por la segunda, $y = 0$ y por tanto el origen es una solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ya que al tener $\sqrt{x^2+y^2}$ en el denominador, tendríamos división por , y eso, pues va a ser que no.

Realmente, tienes que fijarte en la otra posibilidad, $\sin \left(\sqrt{x^2+y^2}\right) = 0$. Esto ocurrirá cuando $\sqrt{x^2+y^2} = k \pi, ~ k \in \mathbb{Z}$, es decir, $x^2 + y^2 = k^2 \pi ^2$. Por tanto, la diferenciabilidad se tiene sobre los puntos de las circunferencias de centro el origen y radio $k \pi$, donde $k \in \mathbb{Z}$, salvo para $k = 0$, ya que tendrías $x^2 = - y^2$ que sólo se cumple para el origen, y ya hemos dicho que ese caso no vale. Como antes, no existe lugar donde la función sea analítica, ya que si coges un punto de las circunferencias anteriormente citadas, no puedes construir un dominio en torno a ese punto donde la función siga siendo diferenciable.

pod, en la Wikipedia dice lo que ya hemos dicho, lo del entorno es para la continuidad de las primeras derivadas parciales. Te doy otra referencia. Teorema 3.4 de esta página web.

Saludos.

[pod]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

Es que una barra sobre z no es valor absoluto, es complejo conjugado (normalmente, vamos).

[pod]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

pod, eso no es verdad. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, uno puede analizar la diferenciabilidad punto a punto, sin tener que preocuparse si existe o no un entorno que rodee al punto en cuestión donde también se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que tú dices es el concepto de analiticidad (u holomorfía, regularidad, como lo quieras llamar), que como dije antes, no tiene que darse si se tiene la diferenciabilidad en un punto. Mira la página 39 de estos apuntes, y los ejemplos resueltos posteriores.

Como ves, se cumplen todas las hipótesis del teorema para tener asegurada la existencia de la derivada en un punto, es decir, la diferenciabilidad en ese punto: la función está definida en un entorno de todos los puntos necesarios, las cuatro derivadas parciales son continuas en todo el plano, y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (fíjate que ahí no pone nada de que tengan que cumplirse en un entorno de nada, sólo que se cumplan).

Saludos.

Recurramos a los libros. Tomo el Riley, de Cambridge. Página 606:

A function that is single-valued and differentiable at all points of a domain R is said to be analytic in R.

Esa es la definición de analicidad. La única diferencia entre derivabilidad y analicidad es la condición de univaluación, nada más. R es un dominio (un conjunto abierto conexo). Luego, en la página 608:

We may also enquire as to the sufficient conditions for f(z) to be analytic in R. It can be shown that a sufficient condition is that the four partial derivatives existe, are continuous and satisfy the Cauchy-Riemann relations.

Como ves, eso siempre se define en conjuntos abiertos (en el dominio R). Para decir que una función es derivable en un punto, debe existir al menos un dominio que lo contenga donde la función sea analítica. Éste no es el caso.

[Metaleer]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

Curioso, yo es que usaba $z^*$ para el complejo conjugado.

En todo caso, si es el complejo conjugado, en este caso tenemos $f = \cos x \cosh y + i \sin x \sinh y$, y la primera ecuación de Cauchy-Riemann da

$$-\sin x \cosh y = \sin x \cosh y$$

lo que obliga a que $x = k \pi, ~ k \in \mathbb{Z}$.

La segunda nos lleva a la igualdad

$$\cos x \sinh y = - \cos x \sinh y$$

que será cierta si $y = 0$ ó si $x = k \pi - \pi/2,~k \in \mathbb{Z}$. Si se cumple que $x = k \pi - \pi/2,~k \in \mathbb{Z}$, la primera ecuación de Cauchy-Riemann ya no se cumple, y por tanto la única alternativa es que $y = 0$.

La diferenciabilidad se tiene para los puntos del tipo $(k \pi, 0)$, donde $k \in \mathbb{Z}$.

pod, es totalmente cierto lo que escribe Riley, pero no lo estás interpretando bien.

Para que lo veas, cito textualmente la definición que da Riley de diferenciabilidad:

A function $f(z)$ that is single-valued in some domain $R$ is differentiable at the point $z$ in $R$ if the derivative

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$

exists and is unique.

Como ves, el concepto de diferenciabilidad es algo puntual, y si luego miras la definición que da este mismo autor de analiticidad, llegarás a la conclusión de que si todas esos límites existen para todo punto de $R$, entonces estamos hablando de función analítica, y no es lo que citas de univaluación.

Tomo otra referencia, Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics (novena edición). Da la siguiente definición de diferenciabilidad:

The derivative of a complex function $f$ at a point $z_0$ is written $f'(z_0)$

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

provided this limit exists. Then $f$ is said to be differentiable at $z_0$.

Veamos qué dice de la analiticidad:

A function f(z) is said to be analytic in a domain $D$ if f(z) is defined and differentiable at all points of $D$. The function $f(z)$ is said to be analytic at a point $z = z_0$ in $D$ if $f(z)$ is analytic in a neighborhood of $z_0$.

Exactamente lo que nos esperábamos, y lo que ya he dicho múltiples veces: analiticidad = diferenciabilidad en un entorno. De hecho, este autor propone un ejercicio que es comprobar que la función $f(z) = |z|^2$ sólo es diferenciable en $z = 0$, y por tanto no analítica en ningún sitio.

Para finalizar, cito un teorema que viene demostrado en Mathews y Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering:

Theorem 3.3 (Sufficient Conditions)

Let $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ be a continuous function that is defined in some neighborhood of the point $z_0 = x_0 + i y_0$. If all the partial derivatives $u_x$, $u_y$, $v_x$ and $v_y$ are continuous at the point $(x_0, y_0)$ and if the Cauchy-Riemann equations $u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0)$ and $u_y(x_0, y_0) = - v_x(x_0, y_0)$ hold, then $f$ is differentiable at $z_0$.

No creo que puede ser más claro, habla de la igualdad de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto, no dice nada de que si tiene que cumplirse en un entorno.

Saludos.

[MIMOSA]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

ah¡¡¡ entonces si estaba la expresion del cos conjugado jejeje, y si me sale lo mismo los puntos (kpi,0) y....bueno le preunte a mi prof. de calculo 4 y variable, ( no hay nada mejor que una expliacion en vivo y a color) ambos me dicen para ver que es diferenciable en un punto, este punto tiene que estar en un conjunto abierto,es decir sea x que pertenece a A conjutno abierto, f(x) es diferenciable si..ya saben el rollito. eso me dijeron.y siempre e tenido esa nocion, que si se pude ser diferenciable punto a punto.

[Metaleer]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

Si lo que te han dicho tus profesores es que la función tenga que estar definida en un entorno del punto que consideras, y se cumplen todas las demás hipótesis, sí. Realmente, la duda más gorda de todo este asunto es si las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tienen que cumplir sólo en un punto, o en un entorno de ese punto para hablar de la diferenciabilidad, y como dice Mathews y Hill, no puede ser más claro, dice $u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0)$ y $u_y(x_0, y_0) = - v_x(x_0, y_0)$, es decir, se deben de cumplir en el punto, y no necesariamente en un conjunto abierto, dentro del cual está el punto que considero.

Saludos.

[MIMOSA]

Re: continuidad del coseno hiperbolico

si opino lo mismo debe ser en un punto, cuando hablamos en su entorno ya es hablar de analiticidad si no mal recuerdo me habias dicho