¿Qué es un diferencial?

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Ciertamente, justinux, por eso quise desarrollarlo, porque no es el ortodoxo pero en mi opinión es muy válido para explicar los que son los elementos diferenciales y los métodos que se suelen usar cuando se trabaja con ellos.

Una curiosidad, justinux, ¿eres matemático? ¿físico? ¿ingeniero? ¡Ah! Eres doctor en física, lo he visto en tu perfil. Yo soy ingeniero. Creo que los dos hemos padecido las consecuencias de trabajar con elementos diferenciales.

Salu2, Jabato.

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Jabato,[/FONT]
[FONT=Helvetica] Si, soy Físico con mucho interés en las matemáticass, a veces muy apegado a la ortodoxia. Pero debo reconocer los esfuerzos por explorar de forma original ciertos temas, que hagan que sean más accesibles (por ejemplo en las aulas). También te pido disculpas si en algunos posts anteriores nuestra discusión haya podido ser en algún modo agria, pero veo que tus aportes son valiosos por la originalidad y la discusión hasta las últimas consecuencias. Te confieso que a menudo sigo tus posts, pues me parecen muy interesantes, aunque no siempre esté de acuerdo.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Un saludo y espero seguir teniendo buenas discusiones contigo y con el resto de compañeros del foro.[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, estar de acuerdo no es algo que suela adornarnos a los que pululamos por este foro, si fuera así no habría debates, y lo interesante del asunto es que puedan debatirse los temas y que cada uno pueda aportar su punto de vista. En fin, un placer debatir contigo, y sí, seguro que los habrá.

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No se si esta bien autocitarse pero mira lo que escribi jose

Richard disculpa tuve un error muy grande aqui y lo voy arreglar, queria decir "le dicen" en vez "le dices" y no me referia a ti. Estoy deacuerdo con todo lo que es esribiste porque de otra forma me estaria contradiciendo, es mas trato al infinitesimo como aproximaciones porque estudie fisica y lo considero riguroso, cosa que no es considerada de la misma forma por los matematicos, aunque estemos hablando de lo mismo. Comparto tu opinion y la de carroza 99% .
Lo que expresado mal en todo el hilo es que se exige rigurosidad y en este caso ahi la tienen es cero especialmente para muchos matematicos (y no todos). Repitiendo de nuevo, no me refiero a ti porque si lei tu post.
Creo que estar escribiendo mucho en ingles me esta causando muchos problemas en espa$\~n$ol. Mi objetivo era probar esto que escribiste $\dst dv = \vec{\nabla}f \cdot d \vec{W}$ como definicion de diferencial de una manera algebraica para que lo endieran los que tienen dudas, especialmente para los estudiantes de secundaria.

Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Una pregunta, Jabato, los elementos diferenciales ya los definí bien en un mensaje anterior. Por otra parte, disculpa, pero no entiendo la finalidad de lo que quieres hacer, ni siquiera la demostración de tu pequeño teorema ni su significado, no obstante, has llegado a definirlos¿? Porque que yo sepa no has escrito en ningún hilo una demostración clara y evidente de los elementos diferenciales, por ejemplo de:

$$d\vec S=\frac{\partial \vec r}{\partial \lambda}\times \frac{\partial \vec r}{\partial \beta}d\lambda d \beta$$

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Perdona pero no sé a que te refieres:

1.- A los diferenciales: hasta ahora solo hemos utilizado la definición ortodoxa de diferencial de una función, y en base a ella hemos sacado algunas conclusiones interesantes.

2.- A las formas diferenciales: hasta ahora no hemos hablado de ellas.

3.- A los elementos diferenciales: salvo que yo esté muy equivocado el único que ha intentado definirlos en este hilo he sido yo. No existe una definición ortodoxa de tales elementos. ¿Puedes indicarme en que mensaje se supone que has definido los elementos diferenciales? Por cierto, eso que expones ahí no es un elemento diferencial, es una forma diferencial, que no es lo mismo. Para mí un elemento diferencial es una forma geométrica, un conjunto de puntos que forma parte de una variedad, un subconjunto de una variedad.

Discúlpame que me autocite, pero este texto está incluido en el mensaje #121:

[FONT=arial]Los elementos diferenciales son entes muy diferentes, no son ortodoxos, tienen unas propiedades que sorprenden al más pintao y que se deducen muchas veces de suponer que su tamaño es infinitamente pequeño, cuando sin embargo se les asigna propiedades como longitud, superficie o volumen. Dado que estos elementos se suelen utilizar habitualmente en física, resulta que los libros de esta disciplina están plagados de cosas que los matemáticos no reconocen o que si lo hacen lo hacen con muchos reparos, aunque es curioso que como el uso de estos elementos conduce a resultados correctos con una sencillez admirable y que suponen demostraciones muy intuitivas y mucho menos farragosas que los métodos ortodoxos pues resulta que estos métodos se siguen aplicando en las aulas de física. Como aperitivo os pongo un enlace aquí que os lleva a las definiciones que suelen hacerse de estos elementos, si revisáis su contenido con animo de buscar el suficiente rigor en ellos os daréis cuenta que solo tienen sentido al ser utilizados en tres sistemas de coordenadas ortogonales y no siempre, depende del uso que se les de. Estos elementos están definidos solo para estos tres sistemas, cartesianas, cilíndricas y esféricas, pero la idea de elemento diferencial es mucho más amplia, y debería tener una definición más general habida cuenta del uso que de ellos se hace. Mi idea es plantear las bases que permitan definir rigurosamente los elementos diferenciales dotándolos así del suficiente contenido teórico para dejar zanjadas todas las discusiones, si es que puede hacerse que creo que si. Luego os pongo algún ejemplo de su uso para que veáis el porqué de las objeciones que hay contra estos elementos.[/FONT]

Una vez establecido lo que son los elementos diferenciales, es necesario definir la forma en que se debe trabajar con ellos, para lo cual es necesario habilitar una asociación entre el elemento y una forma diferencial. Ésta para mi es la parte más heurística del asunto. Unas veces la asociación nos viene previamente dada, como por ejemplo en la Ley de Biot- Savart, y otras es deducida en base a una determinada forma de razonar con estos elementos, como por ejemplo en el cálculo del campo eléctrico en la superficie de los conductores. Ahora bien, si yo tuviera que explicarle a mi abuela como se establecen esas asociaciones me vería seriamente comprometido porque razonar de forma rigurosa con elementos que unas veces son infinitamente pequeños y otras tienen longitud, superficie o volumen y que son capaces de contener carga o masa no resulta fácil. Los que hemos aprendido física trabajando con ellos nos hemos acostumbrado a razonar de esta forma pero si lo que se busca es un razonamiento riguroso pues la verdad es que no resulta fácil la justificación. En esta segunda parte del debate sería conveniente establecer como se construyen estas asociaciones, el teorema de las sumas infinitas puede ayudar pero en este caso estoy tan en mantillas como vosotros, ¿alguna sugerencia? Sería bueno como introducción, si alguien sabe como hacerlo y se puede hacer, saber de donde sale la famosa ley de Biot-Savart ya que es un ejemplo típico. Yo he trabajado mucho con ella pero nunca he visto de donde sale o como se deduce, aunque supongo que pueden ponerse muchos ejemplos similares.

Por ejemplo, a la hora de establecer las dimensiones de un elemento diferencial se establece que, dependiendo de cual sea su dimensión (elementos de longitud, superficie o volumen), se admite que sus dimensiones toman un determinado valor, pero cuando se trata de establece la distancia del elemento a un punto dado se supone que todos sus puntos se encuentran igualmente alejados de él, lo cual es un contrasentido si admitimos que el elemento tiene un cierto tamaño, es decir en según que condiciones se admite que tiene dimensiones pero otras veces se acepta que su tamaño se reduce al de un punto, algo que resulta muy difícil de justificar. Eso precisamente es lo que ocurre con la famosa ley de Biot-Savart:

$\mathbf{dB} = \displaystyle\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{I\mathbf{dl}\times\mathbf r}{r^3}$

en la que se admite que el elemento presenta una determinada longitud $dl$, pero se encuentra alejado una distancia $r$ del punto donde se calcula el campo. Hay una posible explicación para poder justificar esto de una forma rigurosa. Para determinar la distancia del elemento a un punto exterior se establece una distancia media, por ejemplo la distancia del punto medio del elemento (aunque podría valer cualquier otro punto del elemento) y como en el proceso de integración los elementos se van a hacer tender a un tamaño nulo pues al final la distancia promedio va a ser tan válida como cualquier otra, pero eso no es lo mismo que decir que el elemento tiene dimensiones infinitesimales, es simplemente que se toma una distancia promedio que en el proceso de integración se reduce a la distancia del punto limite del elemento. Pero eso no es lo que dicen los libros de física, que es lo que me enerva, porque al final resulta que nadie sabe lo que son los elementos diferenciales y la confusión acaba galopando en las aulas en las que se utilizan estas técnicas, y así vamos. Es decir un razonamiento riguroso pasaría por afirmar que el elemento diferencial tiene una determinada longitud, $dl$ pero a la hora de establece el valor de $r$ se toma un valor promedio o el valor de un punto cualquiera del elemento, ya que al final el resultado obtenido será correcto porque existe un proceso de paso al límite previo.

Desde este punto de vista la asociación del elemento diferencial con una forma diferencial puede hacerse utilizando un punto cualquiera del elemento ya que en el proceso de integración el error cometido se va a ver compensado y así establecer que la forma asociada se obtiene como combinación de una cierta función evaluada en un punto cualquiera del elemento y del propio elemento. En el caso de la ley de Biot-Savart sería:

$\mathbf{dB} = \left(-\displaystyle\frac{\mu_oI\mathbf r}{4\pi r^3}\right)\times\mathbf{dl}$

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Perdona Jabato pero según leí en un mensaje tuyo, dijiste que los elementos diferenciales son los diferenciales de línea, de superficie y de volúmen. Y me enlazaste un hilo en el que salían en diferentes sistemas de coordenadas. Esto es lo que acabo de escribir.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Ya alex, pero eso no es lo que yo pretendo hacer en este hilo, lo que busco es una definición más general y rigurosa de lo que son los elementos diferenciales.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Ya alex, pero eso no es lo que yo pretendo hacer en este hilo, lo que busco es una definición más general y rigurosa de lo que son los elementos diferenciales.

Salu2, Jabato.

Al igual que la integral se relaciona con el área, (en este caso f(x) representa la altura y x representa la distancia horizontal al origen), tienes que buscar una operación que te devuelva algo "medible", por ejemplo el volumen, o la masa dada la densidad volumétrica, o el flujo dado el vector densidad de flujo. O mejor dicho, antes que medible, puesto que algún matemático se tiraría de los pelos con esto que digo, que nos permita formular el problema, que ese elemento diferencial nos sirva para algo tal que podamos buscar ese "algo". No sé si me entiendes, lo que quiero decir es que creo que no te has planteado bien el problema de que es un elemento diferencial.
Por ejemplo, digamos, queremos calcular el flujo de un campo vectorial, a través de cierta superficie (3D):

$$\phi=\vec E_m \cdot \Delta \vec S=\vec E_m \cdot (\Delta_{\lambda} \vec r \times \Delta_{\beta} \vec r)$$

Donde $\Delta_{\lambda} \vec r$ es el vector que indica como varía tal vector en función del parámetro. O sea su diferencial asociado es $\frac{\partial \vec r}{\partial \lambda}d \lambda$
Ahora bien, no sabemos quién es ese $\vec E_m$, si no $\vec E(x,y,z)$, entonces deberemos partir el tramo en varios intervalos, sumar y tomar el límite cuando el mayor de los trozos tiende a 0.
Sin embargo no veo que hayas planteado tal cosa, si no que lleves bastantes mensajes sin concluir nada. Por otra parte entiendo que matemáticamente hay que ser más formales y entender que la anterior suma tiene límite, pero no veo ninguna discusión más.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

De momento estoy centrado en establecer de una forma clara que son los elementos diferenciales, que si has entendido mi versión, son cosas finitas, no infinitesimales. Si te has molestado en leer mi mensaje #171 es ahí donde estaba tratando de buscar esa definición y creo que la tengo, aunque todavía no la he expresado de la forma mas general posible. Debes entender alex que yo no tengo esa definición, estoy tratando de buscar una que pueda considerarse lo suficientemente general para darle cierto rigor a la forma en que se trabaja con estos elementos. A la vista de lo publicado hasta el momento tendríamos que:

1.- Un elemento diferencial sería el conjunto de puntos de una variedad barridos por las curvas paramétricas cuando se hace variar cada uno de los parámetros entre dos valores arbitrarios. Es un concepto que tiene por lo tanto un marcado sentido geométrico. Por ejemplo una arco de curva alabeada, una porción de superficie o un elemento de volumen. Como ejemplo me valen los que se utilizan en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas, pero solo como ejemplo, el concepto más general de elemento diferencial abarcaría en principio cualquier variedad y cualquiera de sus parametrizaciones posibles.

2.- A cada elemento diferencial le podemos asociar uno de sus puntos (uno cualquiera) y evaluar en él una función arbitraria. El conjunto de la función evaluada y el elemento nos debe conducir a la forma diferencial asociada a dicho elemento. Podríamos incluso hablar de la función evaluada en el elemento y establecer una operación matemática entre ambos, simbolicamente podría expresarse como algo así:

$F(e)\otimes e$

Luego os pongo algunos ejemplos para mayor claridad, aunque creo que se me está entendiendo a la perfección. El problema es que los factores y la operación que debe realizarse entre ellos puede adoptar diversas formas, ya que la función evaluada en el elemento puede ser un escalar o un vector, así mismo el elemento puede adoptar también ambas formas según los casos, y la operación a realizar también puede ser de diversa índole dependiendo de la forma de los factores, así que no resulta fácil dar un criterio único para establecer la forma diferencial asociada. Aceptando de momento las diversas formas de obtener la forma diferencial, la integral resulta ser así una suma infinita a la que pueden aplicarse los criterios ya obtenidos para estas sumas.

Una forma de resolver la arbitrariedad en la forma que adopta el elemento $e$ a la hora de operar con él sería establecer una segunda función arbitraria definida tambien para el elemento de la forma:

$F(e)\otimes G(e)$

que pudiera adoptar las diversas formas en que puede aparecer dicho elemento, por ejemplo su medida, su diámetro, el vector que lo abarca, etc. De esta forma la forma diferencial asociada a un elemento diferencial se muestra como el producto de dos funciones, la primera cuyo valor se evalúa en la posición del elemento y la segunda cuyo valor dependerá solo de su forma y tamaño.

De esta forma cualquier integral extendida a un dominio perteneciente a una variedad, que esté expresada mediante una parametrización, puede resolverse como una suma infinita de formas diferenciales en la forma:

$S= \displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^nF(e_i)\otimes G(e_i)$

El conjunto de elementos diferenciales no es más que un tipo de recubrimiento (una partición) de la variedad, y las funciones $F(e)$ y $G(e)$ adoptan formas arbitrarias dependiendo de cual sea el cálculo que se pretenda desarrollar. En el límite las piezas del recubrimiento van reduciendo su tamaño hasta quedar reducidas a un punto.

Está claro que para poder aplicar las conclusiones del teorema de las sumas infinitas sería necesario demostrar las dos condiciones que deben cumplirse y que ya comenté más arriba, que son la convergencia uniforme de los sumandos a los $h_i$ y la existencia de $\overline h_i$ aunque creo que ese análisis se sale fuera de los objetivos de este breve estudio, a simple vista se ve que dichas condiciones se van a cumplir en la mayoría de los casos pero omitiré aquí la demostración en aras de la brevedad, aunque citaré algunos ejemplos.

El caso mas sencillo es el de la integral definida para funciones de una sola variable:

$\displaystyle\int_a^b y'(x) dx$

en la que el elemento diferencial es el segmento del eje X comprendido entre $x$ y $x+dx$ y cuya longitud vale $dx$.

Haciendo que:

$F(e)=y'(x)\qquad\qquad G(e)=dx=\displaystyle\frac{b-a}{n}$

tenemos que ambas condiciones del teorema se cumplen cuando la función es integrable y el tratamiento de la integral puede hacerse como suma infinita de infinitésimos.

Un caso análogo se produce en las integrales curvilíneas de la forma:

$\displaystyle\oint_C y(x,y,z) ds$

extendida a una curva dada por sus ecuaciones paramétricas:

$x=x(t)\qquad\qquad y=y(t)\qquad\qquad z=z(t)$

en las que el elemento diferencial es el arco de la curva $C$ comprendido entre los valores del parámetro $t$ y $t+dt$. La función $F(e)=y$ se evalúa en el punto $(x,y,z)$ y la función $G(e)$ se corresponde con la longitud del elemento diferencial, que en principio es desconocida. Pero como vuelven a cumplirse las condiciones del teorema vuelve a darse el caso de poder resolver la integral como una suma de infinitésimos. En este caso podemos substituir la longitud del arco por su cuerda y obtenemos la siguiente expresión para la integral:

$\displaystyle\oint_C y(x,y,z) ds=\displaystyle\oint_C y(x,y,z) \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$

y de forma similar se reproducen estos casos en las integrales de superficie y de volumen de la forma:

$\displaystyle\iint\limits_S y(x,y,z)da\qquad\qquad\iiint\limits_\tau y(x,y,z) d\tau$

aunque en estos casos la cuestión es algo más complicada al ser los dominios más complejos por tener dimensiones mayores, aunque las conclusiones son idénticas. Pueden tratarse como sumas infinitas pero omitiré los detalles en aras de la brevedad. En las primeras el elemento $da$ puede substituirse por el área del paralelogramo delimitado por las cuerdas de los arcos de curva paramétrica que delimitan el elemento diferencial, y en las segundas el elemento $d\tau$ puede substituirse por el volumen del paralelepípedo que forman dichas cuerdas.

Para poder continuar con el trabajo y hacer desarrollos parecidos en los casos en que $G(e)$ adopta una forma vectorial, como son las integrales del tipo:

$\displaystyle\oint_Cy(x,y,z) \mathbf{dr}\qquad\qquad\iint_Sy(x,y,z)\mathbf{da}$

sería necesario extender el teorema de las sumas infinitas al caso de sumas vectoriales, creo que se puede hacer, aunque también creo que por hoy ya tenemos bastante. Por supuesto que este estudio permite generalizar las conclusiones a variedades con cualquier número de dimensiones y que también son validas las conclusiones para expresiones vectoriales de $F(e)$ aunque para mostrar todos los detalles la cosa se va complicando.

Las condiciones para el citado teorema, para el caso de sumas vectoriales en $R^n$, quedarían algo así. Sea $\mathbf y_i(n)$ una familia numerable de funciones vectoriales que satisface las siguientes condiciones:

1ª) $\forall i\ \displaystyle\lim_{n \to \infty}n\mathbf y_i(n)=\mathbf h_i \in R^n$ (converge uniformemente).

2ª) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n h_i=\overline{\mathbf h_i}\in R^n$.

Entonces se debe cumplir el teorema:

$S=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n \mathbf y_i=\overline{\mathbf h_i}$

Aunque no estoy seguro de que pueda aceptarse así sin más y quizás haga falta una segunda demostración. En el caso hipotético de que dicho teorema se pueda extender a vectores de $R^n$ entonces cualquier integral definida en una variedad de dicho espacio sería interpretable en términos de suma infinita y todas las piezas encajarían a la perfección para poder considerar que los elementos diferenciales constituyen una herramienta rigurosa para poder trabajar con ellos con las suficientes garantías.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Aunque no estoy seguro de que pueda aceptarse así sin más y quizás haga falta una segunda demostración.

No se si una segunda demostración sino plantear bien los alcances del teorema, es decir a que tipo de espacio hace referencia la variable $x$. Tambíen val la pena imponer que $y_i(n)$ este acotada a algún valor para todo el rango [1,n] no solo en el Límite $n\to\infty$ para garantizar que la familia de funciones no diverja , no solo en el infinito, y quiza a $y'(x)$ limitar su uso si no es continua o va a infinito en el rango [a,b]

En el caso hipotético de que dicho teorema se pueda extender a vectores de $R^n$ entonces cualquier integral definida en una variedad de dicho espacio sería interpretable en términos de suma infinita y todas las piezas encajarían a la perfección para poder considerar que los elementos diferenciales constituyen una herramienta rigurosa para poder trabajar con ellos con las suficientes garantías.

bueno ya venía preparando la pregunta, para ver si se cumpliría en estos espacios, para repasar el tema, y presentar una pequeña lista de ejemplos de diferenciales que usamos normalmente en física,Por ej

Diferencial	Descripción	unidades	Tipo de variable
$dx$ $dt$ $dq$ $dm=\rho dV$ $dT$	longitud tiempo carga masa temperatura	$[L]$ $[T]$ $[C]$ $[M]$ $[K]$	variable física directa $f(x)=x$
$d\vec x$ $d\vec v$ $d\vec a$ $d\vec A=d\vec S=d\vec x\times d \vec y=dS\vec z=dS\vec N$	posición espacial$\mathbb R^3$ velocidad aceleración Area	$[L]$ $\dfrac{[L]}{[T]}$ $\dfrac{[L]}{[T]^2}$ $[L]^2$	vector
$dV=d\vec z\cdot d \vec S=d\vec z\cdot(d\vec x\times d \vec y)$	volumen	$[L]^3$	escalar
$d\vec p=d(m.\vec v)=dm\vec v +m d \vec v$	momento lineal	$\dfrac{[L][M]}{[T]}$	función $\mathbb{R}^n$
$dP=d(\dfrac{nRT}V)=\dfrac{dnRT}V+\dfrac{nRdT}V-\dfrac{nRTdV}{V^2}=\vec\nabla P\cdot(dn,dT,dV)=\vec\nabla P\cdot d\vec X$	Presión gases ideales	$\dfrac{[M]}{[T]^2[L]}$	función escalar
$d\vec A=a_{ij}\cdot dx^i=\dst\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial A_j}{\partial x_i}\dd x_i \quad \forall j\in[1,m]$	Aplicaciones lineales,tensores		campo vectorial $\mathbb {R}^n\to \mathbb {R}^m$

No se me ocurren mas tipos de variables en mas espacios, o lo que pasará en los espacios de complejos, para generalizar.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Richard. En primer lugar creo que solo es necesario establecer una generalización para los elementos diferenciales (me refiero a las celdillas de la red que forman las curvas paramétricas) y que pueden generar términos de la forma $G(e)$ y para variedades de $R^n$. Ya tengo una generalización preparada en cartera aunque no he tenido tiempo de mostrarla pero creo que funciona bien. Me refiero a su medida, su expresión vectorial, su diámetro, etc. que son las expresiones $G(e)$ que suelen aparecer en las integrales. Creo que analizando los elementos para un espacio $R^3$ sería suficiente, ya que generalizar estos resultados para otras dimensiones no es complicado, aparte de que no suelen usarse dimensiones mayores. El resto de formas se obtienen multiplicando estas expresiones por funciones arbitrarias, escalares o vectoriales, o mediante combinación lineal de las anteriores.

En esencia creo que sería suficiente, para dejar esto más o menos claro, diseñar un procedimiento que nos permita establecer para elementos diferenciales de longitud, de superficie y de volumen en variedades de $R^3$ su medida, su diámetro y su expresión vectorial cuando la tengan. No creo que hoy me de tiempo de mostrarlo aquí, pero espero que mañana la tengáis a vuestra disposición.

En cuanto al campo complejo es mejor dejarlo de momento de lado, aunque creo (¡¡¡!!!) que el teorema de sumas infinitas funcionaría también en dicho campo, pero eso me parece que sería demasiado. Al menos por ahora.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Bueno, ahí van las definiciones que me has pedido. Consideremos una variedad en $R^3$ establecida por sus ecuaciones en forma paramétrica. Sabemos que si la variedad es una curva el número de parámetros es 1, si la variedad es una superficie el número de parámetros es 2 y si la variedad es un volumen el número de parámetros es 3. Y sabemos también que al hacer variar arbitrariamente uno cualquiera de los parámetros manteniendo fijos todos los demás se generan las curvas paramétricas, así pues habrá tantos haces de curvas paramétricas como parámetros (es una excepción el caso de 1 parámetro ya que el haz se reduce a la propia curva). Eligiendo un arco por cada curva paramétrica de forma que todos los arcos elegidos tengan origen en un punto común $(x,y,z)$ estaremos definiendo el elemento diferencial de la variedad, cuya medida y dimensiones son en principio desconocidas, pero por el teorema de las sumas infinitas podemos tomar las cuerdas de los citados arcos para medir dichos elementos, ya que a la hora de realizar la integración sabemos que la suma total debe ser la misma si utilizamos las longitudes de los arcos o las de sus cuerdas. Así pues:

1º).- El elemento diferencial de longitud: un arco de curva parametrizado en $t$, puede aproximarse por su cuerda o por su tangente:

Por la cuerda: $\mathbf{\Delta r}=\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)\qquad ds\approx ||\mathbf{\Delta r}||$

Por la tangte: $\mathbf{dr}=\mathbf r_tdt\qquad ds\approx||\mathbf{dr}||=||\mathbf r_t||dt$

quedando determinados los incrementos de las coordenadas por el incremento del único parámetro, llamémosle $dt$.

2º).- El elemento diferencial de área: un elemento de la superficie parametrizada en $u,v$, puede aproximarse por el paralelogramo que forman las cuerdas de los arcos paramétricos o por sus tangentes, que en este caso son dos:

Por las cuerdas: $\mathbf{da} \approx\mathbf{\Delta r_1\times \Delta r_2}\qquad da\approx||\mathbf{\Delta r_1\times \mathbf \Delta r_2}||$

Por las tangtes: $\mathbf{da} \approx\mathbf{ds_1\times ds_2}=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)dudv\qquad da\approx||\mathbf{ds_1\times \mathbf ds_2}||=||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||dudv$

quedando determinados los incrementos de las coordenadas por los incrementos de los correspondientes parámetros, llamémosles $du$ y $dv$

3º).- El elemento diferencial de volumen: un elemento de volumen parametrizado en $u,v,w$ puede aproximarse por el volumen del paralelepípedo que forman las cuerdas de los arcos paramétricos o por sus tangentes, que en este caso son tres:

Por las cuerdas: $dV \approx\mathbf{\Delta r_1}\cdot (\mathbf{\Delta r_2}\times \mathbf{\Delta r_3})$

Por las tangtes: $dV \approx\mathbf{ds_1}\cdot (\mathbf{ds_2}\times \mathbf{ds_3})=\mathbf r_u(\mathbf r_v\times\mathbf r_w)dudvdw$

quedando determinados los incrementos de las coordenadas por los incrementos de los correspondientes parámetros, llamémosles $du, dv, dw$

Como ves, Richard, el procedimiento es válido para cualquier variedad, con la única condición de que sea parametrizable, y es generalizable a otras dimensiones mayores que 3. En todos los casos se admite que los incrementos de los parámetros son finitos y no infinitesimales, aunque a la hora de realizar las integraciones dichos incrementos se harán tender a 0, lógicamente, en un proceso de paso al límite. Si te molestas en calcular estas expresiones para las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, verás que llegas a los mismos resultados que aparecen en los libros de física, pero sin necesidad de suponer incrementos infinitesimales ni de realizar aproximaciones en las medidas de los elementos, este es un cálculo riguroso y exacto, y todo gracias al teorema de las sumas infinitas, que ya se ha podido demostrar.

Las formas diferenciales asociadas a dichos elementos se formarán evaluando la función arbitraria $F(e)$ en el punto $(x,y,z)$ y la función $G(e)$ correspondiente al tipo de elemento que proceda, según la forma diferencial que se desee construir. También es posible obtener otras formas diferenciales mediante combinaciones lineales de las mostradas aquí.

Creo que ya disponemos de las herramientas necesarias para resolver la integral que gustes, extendida al dominio que gustes, como una suma infinita y utilizando los dichosos elementos diferenciales, que tantas discusiones han planteado y tantos problemas han resuelto.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Te incluyo ahora un ejemplo de como calcular el momento de inercia de una esfera hueca y homogénea, de masa M y radio R respecto de un eje que pase por su centro. La densidad superficial de la esfera vale:

$\sigma=\displaystyle\frac{M}{4\pi R^2}$

Consideremos ahora una parametrización de la esfera, supuesta ésta centrada en el origen, y para darle más emoción haremos que no sean las coordenadas esféricas clásicas. Supondremos que las curvas paramétricas serán los paralelos y unos círculos paralelos verticales, es decir un conjunto de círculos paralelos al plano XZ, lo que ni siquiera constituye un sistema de coordenadas ortogonales. La parametrización de la esfera así definida vendrá dada por las ecuaciones:

$\mathbf r=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k\qquad\qquad x=\pm\sqrt{R^2-u^2-v^2} \qquad y=u\qquad z=v$

Considerando que el eje respecto del que vamos a calcular el momento de inercia es el eje Z, el momento de inercia de un elemento diferencial (de área) situado en $(x,y,z)$ y su integral extendida a toda la superficie esférica responden así a las expresiones:

$dI=\sigma(x^2+y^2)da\qquad\qquad I=\displaystyle\oiint_S\sigma (x^2+y^2)da$

En este caso las funciones $F(e), G(e)$ vienen dadas por las expresiones:

$F(e)=\sigma (x^2+y^2)\qquad\qquad G(e)=da\approx||\mathbf{ds_1}\times\mathbf{ds_2}||=||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||dudv$

en la que las tangentes de los arcos paramétricos del elemento diferencial valen respectivamente:

$\displaystyle{\mathbf{ds_1}=\frac{\partial \mathbf r}{\partial u}du=\mathbf r_udu\qquad\qquad \mathbf{ds_2}=\frac{\partial \mathbf r}{\partial v}dv=\mathbf r_vdv}$

el resto está en los libros.

Como se puede comprobar, la cuestión no está en el procedimiento utilizado para resolver el problema, aunque también, sino en la interpretación que se hace, ágil e intuitiva, en la que todos los objetos utilizados tienen significado geométrico preciso y exacto, que el procedimiento está exento de formalismos y sobre todo que con este enfoque brillan por su ausencia los objetos infinitesimales, ventajas que han sido la causa de la popularidad de estos métodos, pero su esencia, su rigurosidad y sus propiedades en general están mal explicadas y eso es lo que genera tanta confusión al respecto estos elementos. Como habéis visto no existen misterios, los elementos diferenciales pueden usarse de forma rigurosa lo que garantiza la obtención de resultados correctos, aunque para usarlos correctamente primero hay que tener su concepto claro y conocer bien sus propiedades.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Este hilo ya ha dado demasiado que hablar pero hoy me encontrado con este documento, muy claro, que describe lo que se ha hablado en el debate

su título lo dice

"LA DIFERENCIAL NO ES UN INCREMENTO INFINITESIMAL.
EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Y SU CLARIFICACIÓN EN LA ENSEÑANZA
DE LA FÍSICA"

https://rua.ua.es/dspace/bitstream/1...0CC%202002.pdf
http://www.raco.cat/index.php/Ensena...ew/21811/21644

Dejo el vinculo y si el debate se reabre será mejor llevar este post a otro hilo

[skynet]

Re: ¿Qué es un diferencial?

la definición rigurosa de diferencial se la dejo a los matemáticos.

respecto al uso que se le da en física, en mi opinión en realidad es un problema de notación.....lo que está claro es que cuando se utiliza una derivada como un cociente de diferenciales y se opera algebraicamente con ellos, en realidad, debería de usarse incrementos finitos y el símbolo de aprox. en lugar de diferenciales y el símbolo de igualdad, y al final es cuando debería de tomarse límites y entonces sustituir los incrementos por diferenciales y el símbolo aprox. por el símbolo igual.......creo que no se hace así por costumbre o por comodidad pero se sobreentiende que es eso lo que en el fondo se está haciendo.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, disculpad las molestias pero quisiera saber si esto es correcto

$\dd f=f'(x)\Delta x = \displaystyle \dd f \frac{ \Delta x}{\Delta x} = \frac{ \dd f}{\Delta x}\Delta x$
$f'(x) \Delta x= \displaystyle \frac{ \dd f}{\Delta x} \Delta x$
$f'(x) = \displaystyle \frac{ \dd f}{\Delta x}$

Y al ser x una variable independiente $\Delta x= \dd x$


$f'(x) = \displaystyle \frac{ \dd f}{\Delta x} = \frac{ \dd f}{\dd x}$

Entonces por tanto se puede operar con los diferenciales multiplicando, dividiendo, reacomodándolos de un lado al otro de una igualdad como una variable común y corriente, y al tener el diferencial de una función entre el diferencial de una variable independiente, se puede igualar a la derivada de dicha función con respecto a esa variable independiente

- - - Actualizado - - -

Tambien quería hacerlo para variables dependientes
$y=y(t)$ y $x=x(t)$



$\dd y = (y \circ x)'(t)\Delta t= \dd y \displaystyle \frac{\Delta t}{\Delta t}= \frac{\dd y}{\Delta t} \Delta t$

$(y \circ x)'(t)\Delta t= \displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t} \Delta t$

$(y \circ x)'(t)= \displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$

Por la regla de la cadena $(y \circ x)'(t)= y'(x) \cdot x'(t)$

$y'(x) \cdot x'(t)= \displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$

Por lo que ya se vio con variables independientes $x'(t) = \displaystyle \frac {\dd x}{\Delta t}= \frac {\dd x}{\dd t}$


$y'(x) \cdot \displaystyle \frac {\dd x}{\Delta t}= \frac{\dd y}{\Delta t}$

$y'(x) \cdot \displaystyle \dd x= \dd y$

$y'(x) \displaystyle = \frac{\dd y}{\dd x}$


Por lo que se cumple que un diferencial de una variable y dependiente entre otra variable x dependiente es la derivada de y con respecto a x.


Quisiera saber si es correcto esto o si tengo algún error.

Muchas gracias de antemano