¿Qué es un diferencial?

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues no, está bien planteado el ejemplo de justinux y la verdad es que este caso contradice mi teorema (al menos lo parece), aunque no estoy seguro de ello, tengo que revisar este asunto porque no me esperaba yo este resultado. Creo que el error se produce porque haces variar $i$ desde 1 hasta n y eso no puede ocurrir aunque debo meditarlo más despacio. Creo que en la definición de los infinitésimos equivalentes $y_i'$ introduces el parámetro i que luego utilizas como índice para la suma haciéndolo variar desde 1 hasta infinito, y eso es lo que parece provocar el error. De todas formas voy a revisar mi teorema y ya os digo algo más concreto.

Salu2, Jabato.

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica] quizas haya algún error de tipeo, o yo no entendí el resultado de Jabato. El ejemplo que pongo es el siguiente. Supongamos que y_i (x) es una familia de funciones (etiquetadas por el indice i = 1, 2, ..) tal que el límite cuando x tiende a infinito de x y_i(x) tiende a cer h_i (una constante real para cada i). A cada función de esta familia es lo que entiendo que Jabato llama función infinitesimal. Entiendo también que toda familia de funciones u_i(x) que cumpla lo anterior (es decir que el limite cuando x tiende a infinito de x u_i(x) es h_i) es dicho ser equivalente a la familia y_i(x), y el teorema de Jabato afirma que las sumas S_n = \sum_{i=1^n y_i (n), y la suma U_n = \sum_{i=1}^n u_i(n) tienen los tienen el mismo límite cuando n tiende a infinito, o sea,[/FONT]
[FONT=Helvetica] \lim_{n\to \infty} A_n = \lim_{n\to \infty} U_n,[/FONT]
[FONT=Helvetica]Siempre que las familias y_i(x) y las de u_i(x) sean equivalentes (basicamente estoy sustituyendo algunas y_i por algunas u_i).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Mi ejemplo se basa en lo siguiente: dada una familia de funciones infinitesimales (tal y como se han definido arriba), cuyo símite de las sumas parciales sea S (o sea, S = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n y_i(n) )[/FONT]
[FONT=Helvetica]entonces tomamos la familia equivalente a la anterior dada por,[/FONT]
[FONT=Helvetica]u_i(x) = y_i(x) + \frac{i}{x^2}[/FONT]
[FONT=Helvetica]que efectivamente es equivalente a y_i puesto que x u_i(x) = x y_i(x) + i/x y en el límiete cuando x tiende a infinito, se cumple que x u_i(x) es justamente h_i.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Pero ahora hacemos las sumas parciales de u_i,[/FONT]
[FONT=Helvetica]U_n = \sum_{i=1}^n u_i(n) = \sum_{i=1}^n y_i(n) + \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2} = S_n + \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n i =[/FONT]
[FONT=Helvetica]= S_n + \frac{n(n+1)}{2n^2}[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde hemos hecho uso en la primera igualdad que S_n = \sum_{i=1}^n y_i(n), y en la última hemos hecho uso del resultado conocido que,[/FONT]
[FONT=Helvetica]\frac{n(n+1)}{2} = \sum_i=1}^n i[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y ahora hacemos el límite cuando n tiende a infinito y vemos que,[/FONT]
[FONT=Helvetica]U = \lim_{n\to\infty} U_n = \lim_{n\to\infty} S_n + \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = S + \frac{1}{2}[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y vemos que U no es igual a S siendo u_i y y_i una familia de “funciones infinitesimales” equivalentes.[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]por ejemplo imponer la condición adicional de que x( x y_i (x) - h_i) tienda a cero podría evitar ejemplos como el que mencioné, y abunda en la idea de "primer infinitesimal" ( o de orden uno, para la familia de funciones). Es solo una idea.[/FONT]

[FONT=Helvetica]
Quizas haya que imponer alguna condición adicional sobre las familias... no se.[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[FONT=Helvetica]o simplemente la equivalencia entre familias no debe imponer la sustitución de infinitos términos.[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola justinux si colocas las formulas entre los tags [tex] y [/tex ] quedan mas legibles en el editor del foro , edito tu cita creo que entendi a lo que apuntas

Hola,quizas haya algún error de tipeo, o yo no entendí el resultado de Jabato. El ejemplo que pongo es el siguiente. Supongamos que $y_i (x)$ es una familia de funciones (etiquetadas por el indice i = 1, 2, ..) tal que el límite cuando x tiende a infinito de $x y_i(x)$ tiende a ser $h_i$ (una constante real para cada i). A cada función de esta familia es lo que entiendo que Jabato llama función infinitesimal. Entiendo también que toda familia de funciones $u_i(x)$ que cumpla lo anterior (es decir que el limite cuando x tiende a infinito de $x u_i(x)$ es h_i) es dicho ser equivalente a la familia $y_i(x)$, y el teorema de Jabato afirma que las sumas $\dst S_n = \sum_{i=1}^n y_i (n)$, y la suma $\dst U_n = \sum_{i=1}^n u_i(n)$ tienen los tienen el mismo límite cuando n tiende a infinito, o sea,

$\dst \lim_{n\to \infty} S_n = \lim_{n\to \infty} U_n$,Siempre que las familias $y_i(x)$ y las de $u_i(x)$ sean equivalentes (basicamente estoy sustituyendo algunas $y_i$ por algunas $u_i$).




Mi ejemplo se basa en lo siguiente: dada una familia de funciones infinitesimales (tal y como se han definido arriba), cuyo símite de las sumas parciales sea S (o sea,
$S = \lim_{n\to \infty} \dst \sum_{i=1}^n y_i(n) )<br />$
entonces tomamos la familia equivalente a la anterior dada por,

$u_i(x) = y_i(x) + \frac{i}{x^2}<br />$

que efectivamente es equivalente a $y_i$ puesto que $x u_i(x) = x y_i(x) + i/x$ y en el límite cuando x tiende a infinito, se cumple que $x u_i(x)$ es justamente $h_i$.




Pero ahora hacemos las sumas parciales de $u_i$,
$U_n =\dst \sum_{i=1}^n u_i(n) = \sum_{i=1}^n y_i(n) + \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2} = S_n + \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n i = S_n + \frac{n(n+1)}{2n^2}$

donde hemos hecho uso en la primera igualdad que $S_n =\dst \sum_{i=1}^n y_i(n)$, y en la última hemos hecho uso del resultado conocido que,
$\frac{n(n+1)}{2} = \dst\sum_{i=1}^n i$

Y ahora hacemos el límite cuando n tiende a infinito y vemos que,


$U = \lim_{n\to\infty} U_n = \lim_{n\to\infty} S_n + \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = S + \frac{1}{2}<br />$



y vemos que U no es igual a S siendo $u_i$ y $y_i$ una familia de “funciones infinitesimales” equivalentes.




Quizas haya que imponer alguna condición adicional sobre las familias... no se.

Debido a esto me relei tu post# 133 jabato y encontre

$S=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^ny_y(n)=\overline{k_i}=k$

creo que tiene un pequeño error de tipeo

$S=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^ny_i(n)=\overline{k_i}=k$

creo seria lo correcto


me parece que lo que lleva al error es que el

$Lim_{\begin{aligned}x\to\infty\\i \to \infty\end{aligned}} x y_i(x) + i/x$

tiene una indeterminacion de $\dfrac{\infty}{\infty}$ que tiende a 1 y por tanto k deberia que que tender a $\infty$

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Verdana] Pero si miras las efiniciones y el orden en que se hacen los límite, no hay tal indefinición, . Otra cosa es que necesites imponer desde el principio una condición adicional como que el límite doble de i, y n a infinito de y_i(n) exista o sea cero, etc,pero eso no se ha dicho previamente..[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Sí, os entiendo, gracias por vuestra ayuda, hoy no creo que me de tiempo de revisar los datos pero ten seguro que tendréis una respuesta al respecto de este asunto. Yo creí que tenía bien demostrado mi teorema pero si lo que afirmas es cierto no hay errores de tipeo, y has entendido bien todo lo que expuse, es tan solo que lo que yo creía un teorema bien demostrado podría ocurrir que tuviera un fallo. En cualquier caso este error se podría corregir imagino modificando la condición que deben satisfacer la familia de funciones pero son importantes, para poder aplicarlo a los elementos diferenciales, dos propiedades como mínimo:

1.- La colección de funciones $y_i(x)$ debe ser un conjunto numerable.
2.- las funciones $y_i(x)$ deben ser infinitésimos de primer orden en $x$.

aunque debo pensarlo bien para no meter la pata, ya que si no es posible demostrar el teorema citado todo el trabajo realizado se viene abajo como un castillo de naipes. Ya es muy tarde y hoy no me voy a poner con este asunto, mañana le daré un par de vueltas.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Bueno, ya le he dado un pensao al ejemplo de justinux y creo que tengo la solución. Cuando se me ocurrió el teorema andaba pensando en infinitésimos de la forma que adopta el diferencial de una función, es decir el producto de una función continua por una variable cuyo destino es tender a 0, aunque no tratados como diferenciales sino como infinitésimos, ya que el destino que le iba a dar al citado teorema estaba relacionado precisamente con los elementos diferenciales. No tiene mucho sentido poner el ejemplo que nos puso justinux porque en esa colección de funciones existen funciones que tomarán valores crecientes tan grandes como nosotros queramos ya que la colección de valores de $i$ es numerable y por lo tanto dichos valores van a crecer indefinidamente de forma que sería imposible encontrar una cota que fuera válida para toda la familia $y_i(x)$. Aunque desde un punto de vista estrictamente riguroso justinux tiene razón y no se la voy a quitar. El ejemplo que puso cumple las condiciones que yo pedí y no cumple el teorema, por lo tanto mi teorema está mal demostrado y mi trabajo se cae como un castillo de naipes. Ahora bien, puestos a buscar una solución creo que es sencillo encontrarla sin más que exigir alguna condición más al teorema para evitar este tipo de casos. Bastaría exigir por ejemplo que todas las funciones sean acotadas a partir de un cierto $x_o$ y que exista una cota común a todas las funciones, por ejemplo algo así:

$\forall i,\ x\geqslant x_o\quad |y_i(x)|\leqslant q$

y esto debería resolver el problema en mi opinión. ¿Qué os parece?

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Muy bien el objetivo de encontrar la familia de funciones no lo tengo claro, es para hallar un valor de número real aplicable al valor del diferencial?


Si impones $\forall i,\ x\geqslant x_o\quad |y_i(x)|\leqslant q$


y a la vez $Lim_{x\to \infty}xy_i(x)=k$

estas escogiendo un grupo de familia de funciones que desciendan al 0 mas rápidamente que $x^{-1}$

y que $|k|\leqslant q$ para $x=1$


por otro lado $|y_i(x)| \leqslant \dfrac qx$



llamemos $u_i(x)$ a una función que cumpla

$|y_i(x)|\geqslant |y_i(x)-y_i(x)\cdot u_i(x)|=|y_i(x)(1- u_i(x))|$

necesitas que $lim_{x\to \infty} u_i(x)=0$

y lo logras con cualquier inversa de función monótona creciente

Ej

$u(x)=\dfrac1{\alpha x +\beta}$

$u(x)=\gamma \ee^{-\delta x}$

$u(x)=\epsilon x^{-\lambda} \quad \forall \lambda > 1$

con sus parámetros adecuados para que $|u_i(x)|\leqslant 1$

si esas familias cumplen lo que pides entonces como sigue el planteo?

$lim_{x\to \infty} x \cdot \dfrac qx (1-u(x))= k$

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola Jabato,
La condición que sugieres es bastante razonable. De hecho es una de las condiciones que se suele pedir a las sucesiones de funciones para su convergencia uniforme, (entre otras) y es muy usada en analisis funcional. Esa condición es similar a lo que se llama familia equi-acotada.
Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Para justinux: ¿Entonce te parece que con esa condición se resuelve el problema?

Para Richard: El objetivo de hallar esa familia de funciones no es otro que establecer después lo que es un elemento diferencial. Si lees mis mensajes #121,#128 y #133 ahí tienes la continuación del razonamiento. La definición que os propongo aquí de elemento diferencial no es más que una generalización a cualquier tipo de parametrización de una variedad diferenciable de lo que normalmente se define como elementos diferenciales de longitud, superficie y volumen en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas de $R^3$ que se muestra en la mayoría de libros de física. El teorema que os propuse acerca de las sumas infinitas solo busca (no estoy seguro de que lo consiga) justificar de la forma más rigurosa posible la manera en que se suele trabajar con dichos elementos.

El teorema sería el siguiente (lo he mejorado para que esté más claro y sea algo más riguroso). Si se tiene un conjunto numerable de funciones $y_i(n)$ que satisfacen las siguientes condiciones:

$\forall i\displaystyle\lim_{n \to \infty}ny_i(n)=h_i\in R\qquad\qquad\qquad\qquad \forall i,n\geqslant n_o\quad |y_i(n)|\leqslant q\in R$

NOTA 1: Observese que la primera condición obliga a que todas las funciones sean infinitésimos de primer orden en el infinito, y la segunda obliga a que todas ellas sean funciones acotadas a la derecha de un valor dado.

NOTA 2: Nótese que si dos funciones son infinitésimos equivalentes presentan el mismo valor del parámetro h

Al realizar la suma infinita de dicho conjunto resulta:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y en consecuencia puede substituirse cualquier número (finito o infinito) de funciones $y_i(n)$ por sus infinitésimos equivalentes sin que el valor de la suma en el límite, $S$, resulte modificado ya que las $h_i$ no varían con la substitución y por lo tanto tampoco su valor medio.


Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Volviendo al tema sobre los diferenciales de funciones entonces el de $\mathbb {R}^3 \to \mathbb R$ que es a lo que aquí me trajo....

llamo

$v=f(x,y,z)=x+y+z$

y quiero saber si puedo concluir también que $\Delta x =dx$

según lo expuesto por Wiep yo puedo hacer

$f(x,y,z)=x$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta x=dx$
$f(x,y,z)=y$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta y=dy$
$f(x,y,z)=z$ entonces asi $dv=\Delta v=\Delta z=dz$

Luego $dv=\Delta v=\Delta x=dx=\Delta y=dy=\Delta z=dz=h$

Todo esto esta bien si $v$ se obtiene de una función lineal.


Si llamo

$\vec h= h\cdot(1,1,1)$

$\vec X =(x,y,z)$

$\vec {dW} =(dx,dy,dz)$

Así puedo definir

$\Delta v= f(\vec X + \vec h)-f(\vec X)$

el gradiente como $\vec \nabla = \left ( \dfrac {\partial}{\partial x},\dfrac {\partial}{\partial y},\dfrac {\partial}{\partial z}\right )=(f'_x,f'_y,f'_z)$

A lo que voy es quiero saber si efectivamente el diferencial de v se matemáticamente se construye de la siguiente manera

$v=f(x,y,z)=x+y+z$

$dv=\vec \nabla f \cdot \vec {dW}=dx+dy+dz=3 h$

$\Delta v = h+h+h = 3h$

Entonces $\Delta v =dv$

La igualdad es válida solamente para funciones Lineales de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$ o en entorno muy reducido alrededor de $\vec X$ cuando no lo son, porque como dice alexpglez el diferencial coincide con derivada direccional del vector de diferenciales o es proporcional a esta? o solo me confunde el hecho que use una función lineal.

por lo que pregunto si es correcta entonces esta definición de diferencial para cualquier función de $\mathbb {R}^n \to \mathbb R$

$dv=\vec \nabla f \cdot \vec {dW}$


Gracias


Con respecto a los post #128 y #133 de jabato, en la definición del infinitésimo, entiendo perfectamente la finalidad, pero cual es el tamaño que propones otorgarle $\dfrac 1{\infty}$ matemáticamente es 0 y físicamente inaplicable, no es mejor buscar un tamaño mínimo indivisible...para hacer mediciones reales.

A lo que si me preguntas cual es el valor de ese mínimo y como definirlo para cada medición física , no lo tengo claro, pero como lo exprese antes $\notcien{1.616199}{-35}m$ infinitamente superior a 0, pero 25 ordenes inferior al tamaño de un átomo, por lo que el error cometido es despreciable en cualquier sumatoria de longitudes.

Incluso los límites físicos para todo se encuentran antes, si quieres saber la longitud exacta de una pieza curva, matemáticamente lo puedes hacer evaluando la función creadora y físicamente será la sumatoria de elementos rectos de un tamaño pequeño. Puedes achicar mi regla y aumentar el número de sumandos, pero nunca mi regla puede tener, menos de una molécula y todavía estamos de 25 a 30 órdenes del límite que planteo.



Una cosa es que puedas pensar la resolución de la integral como la sumatoria infinitos términos sumados de diferenciales infinitésimos, a que esto sea matemáticamente posible pero no físicamente, y otra que los resultados de ambas formas de resolver lleguen a resultados distintos, hasta ahora no creo que haya calculo que haya sucedido, por eso lo que expone alexpglez es eso una paradoja, algo que aparenta ser cierto, pero no lo es.

Hola Richard, estoy de acuerdo contigo y se que lo voy a escribir a continuacion tu lo sabes, lo hago para exclarecer lo que he mas o meno he tratado de decir.

Si por ejemplo defino que: $y=x^2$ repitiendo un poco lo que hice en un hilo anterio. Entonces, tengo que: $y=(x-a+a)^2=(x-a)^2+2a(x-a)+a^2$, luego defino que:$y_1= 2a(x-a)+a^2$ y digo que esta es la linea tangente a $y=x^2$ en el punto $(a,a^2)$, para $a$ en los racionales, la prueba esta en la solucion del sistema $y=x^2$ e $y_1=2a(x-a)+a^2$ . Posteriormente puedo escribir que: $y_1-a^2=2a(x-a)$ de la linea tangente, pero esto no es otra cosa que: $\Delta y = 2a \Delta x$ sobre la linea tangente, esto describe unicamente el comportamiento aproximado de $y=x^3$ cerca de $(a, a^2)$.

Despues para hacerlo mas interesante en $\mathbb{Q}^2\to\mathbb Q$, defino:$z=x^2+3y^2$ de donde: $z = (x-a+a)^2+3(y-b+b)^2$ para $a,b \in \mathbb{Q}\Rightarrow$

$z =(x-a)^2+2a(x-a)+a^2+3((y-b)^2+2b(y-b)+b^2)$, luego defino que: $z_1=2a(x-a)+a^2+6b(y-b)+3b^2$ es el plano tangente al paraboloide $z=x^2+3y^2$ en el punto $(a,b, a^2+3b^2)$la prueba esta en solucion del sistema $z=x^2+3y^2$ y $z_1=2a(x-a)+a^2+6b(y-b)+3b^2$. Haciendolo mismo, entonces en el plano tangente, $z_1-a^2+3b^3=2a(x-a)+6b(y-b)$, no es otra cosa que: $\Delta z =\dst\frac{\partial z(a,b)}{\partial x} \Delta x +\dst\frac{\partial z(a,b) }{\partial y } \Delta y$...($) , esto describe el comportamiento aproximado en el punto:$(a,b, a^2+3b^2)$ de: $z=x^2+3y^2$.

Luego, en el analisis matematematico, por analisis que lo sea, esta sujeto al algebra clasica y moderna. Si del lado derecho de ($) digo que:$\Delta x$ y $\Delta y$ son incrementos, tambien digo lo mismo del lado izquierdo. Si son vectores del lado derecho, tambien lo son del lado izquierdo, es decir en algebra se suman objetos de la misma especie. Ahora bien si del lado derecho tengo diferenciales (infinitesimos) definidos clasicamente $dx$ y $dy$ lo mismo del lado izquierdo $dz$, lo mismo con tensores del mismo rango y con matrices.

Si quieren definir la diferencial como una aplicacion lineal, esta bien conmigo, pero creo que es incorrecto cuando le dicen a otros que con los infinitesimos no esta bien. No se si lo compartas, pero $z=x^2+3y^2$, se comporta igual al plano unicamente cuando $x\to a$ e $y\to b$, es decir: $\Delta x \to 0 =dx$, los ceros que otros no ven por nigun lado.

Espero haber sido claro con esta idea.


Saludos.

- - - Actualizado - - -

Creo que no te entiendo. Si consideramos la serie convergente $\dst\sum_{n = 1}^\infty \dst\frac{\sin n}{n}$ y sustituimos el seno por el infinitésimo equivalente $n$ se obtiene la serie divergente $\dst\sum_{n = 1}^\infty \dst\ 1$. ¿Igual no te refieres a esto?

Aqui le estabas contestando a Jabato, que es lo que querias decirle, porque no entendi nada de lo que estas escribiste no tiene sentido alguno.

Saludos

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Hola Jabato,[/FONT]
[FONT=Helvetica] Disculpa que no haya escrito antes, pero hay me ha sido imposible sentarme un rato a escribir. Espero que se entienda lo que quiero decir a pesar de los simbolos latex (esta vez puse los marcadores que me indicó rrichard).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Voy a tratar de explicar mi opinión sobre donde está el origen de las dificultades y cual podría ser una condición suficiente:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] primero el imponer que [tex] \displaystyle{\lim}_{n\to\infty} y_i(n) = h_i [\tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]con la condición de que [/FONT]
[FONT=Helvetica][tex] \displaystyle{\lim}_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i = \bar h [\tex] exista, no es suficiente para la convergencia de [tex] S_n=\sum_{i=1}^n y_i(n)[\tex] por lo siguiente:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]el que el límite de n y_i(n) sea h_i significa que para cualquier e>0 existe un natural N_i tal que si n>N-i entonces[/FONT]
[FONT=Helvetica][tex] h_i - e < n y_i(n) < h_i +e[\tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]donde estoy poniendo simbolos < en vez de [\tex \leq [\tex] que sería lo riguroso (pero por brevedad en la escritura solo pongo < ).Es decir que para todo n> N_i podemos escribir[/FONT]
[FONT=Helvetica][tex] \frac{h_i}{n} -\frac{e}{n} < y_i(n) < \frac{h_i}{n} + \frac{e}{n} {\tex}[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora sumamos a todos los índices i desde 1 hasta un N cualquiera,[/FONT]
[FONT=Helvetica][\tex] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N - \frac{N}{n} e < \sum_{i=1}^N y_i(n) < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^N h_i + \frac{N}{n} e[\tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Ahora bien, nos gustaría hacer N=n, pero para que se cumplan las desigualdades para cada i, necesitamos que el n elegido sea mayor que todos los N_i de cada procedimiento de límite (para cada i), y por esto es que falla el argumento general.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Sin embargo exigimos que y_i(n) tienda a h_i “uniformemente” o sea que para todo e>0 exista un N_0 natural (independiente del índece i) tal que[/FONT]
[FONT=Helvetica] [tex] h_i - e < n y_i(n) < h_i + e[/FONT]
[FONT=Helvetica]para todo n>N_0, entonces en el argumento anterior si que podemos elegir un númoer de sumandos n=N>N_0 (en el contexto de la desigualdad no la antrior sino la anterior de la anterior). y obtenemos que[/FONT]
[FONT=Helvetica][tex] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i - e < \sum_{i=1}^n y_i(n) < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i + e[\tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora tomando el límite cuando n va a infinito obtenemos de forma segura que,[/FONT]
[FONT=Helvetica][tex] S= \displaystyle[\lim}_{n\to\infty} S_n = \bar h[\tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]El problema que había cuando uno no imponía la uniformidad en el límite es que el N_i necesario dependía de i, pero el índice i se hace arbitrario en la suma y no es siempre cierto que podamos elegir un n lo suficientemente grande para ser mayor que todos los N_i requeridos.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] En el ejemplo que puse sucede esto mismo. Supón que el y_i(n) original es justamente h_i/n (por simplicidad), enotnces efectivamente n u_i(n) = n(h_i/n + i/n^2) = h_i + i/n que tiende a h_i cuando n va a infinito. Si asumimos que la sucesión (1/n)\sum_{i=1}^n h_i converge a \bar h, esto no aseguraba que (1/n)\sum_{i=1}^n u_i(n) converja también a \bar h, ya que el límite de n u_i(n) no tiende a h_i uniformemente. En efecto, si tomamos un _0 fijo, sabemos que podemos encontrar para un e>0 cualquiera, un natural N_i tal que[/FONT]
[FONT=Helvetica]h_i - e < n u_i(n) < h_i + e[/FONT]
[FONT=Helvetica]en concreto para un n tal que i/n < e es suficiente, o sea que N_i será un número natular mayor que i/e, para el i dado y para el e dado. Pero este argumento funciona para todos los i’s que son arbitrarios, y por tanto n u_i(n) converge a h_i pero no uniformemente.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]En resumen, unas condiciones suficientes para obtener tu resultado podrían ser estas:[/FONT]
[FONT=Helvetica] a) n y_i(n) tienda uniformemente a h_i cuando n va a infinito.[/FONT]
[FONT=Helvetica]b) que (1/n) \sum_{i=1}^n h_i converja.[/FONT]
[FONT=Helvetica] [/FONT]

[Alriga]

Re: ¿Qué es un diferencial?

justinux, la inclinación de la barra que cierra las sentencias LaTex debe ser la contraria a la que tú has puesto.

- Tú has puesto [\tex] al final de cada sentencia

- Para que el LaTex funcione debes escribir [/tex]

Saludos.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Intentaré arreglar las fórmulas que has escrito para que se entienda mejor, disculpa, justinux, que modifique tu mensaje pero es que en la forma que aparece no es fácil de entender.

[FONT=Helvetica]Hola Jabato,[/FONT]
[FONT=Helvetica] Disculpa que no haya escrito antes, pero hay me ha sido imposible sentarme un rato a escribir. Espero que se entienda lo que quiero decir a pesar de los simbolos latex (esta vez puse los marcadores que me indicó rrichard).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT][FONT=Helvetica]Voy a tratar de explicar mi opinión sobre donde está el origen de las dificultades y cual podría ser una condición suficiente:[/FONT]

[FONT=Helvetica] primero el imponer que:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} y_i(n) = h_i$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
con la condición de que: [/FONT]

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i = \bar h$[FONT=Helvetica]

exista, no es suficiente para la convergencia de:

$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n y_i(n)$

por lo siguiente:[/FONT]

[FONT=Helvetica]el que el límite de $n y_i(n)$ sea $h_i$ significa que para cualquier $e>0$ existe un natural $N_i$ tal que si $n>N_i$ entonces[/FONT]

$h_i - e \leqslant n y_i(n) \leqslant h_i +e$
[FONT=Helvetica]
Es decir que para todo $n> N_i$ podemos escribir:
[/FONT]
$\displaystyle\frac{h_i}{n} -\frac{e}{n} \leqslant y_i(n) \leqslant \frac{h_i}{n} + \frac{e}{n}$
[FONT=Helvetica]
y ahora sumamos a todos los índices $i$ desde 1 hasta un $N$ cualquiera,[/FONT]

$\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{i=1}^Nh_i - \frac{N}{n} e \leqslant \sum_{i=1}^N y_i(n) \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^N h_i + \frac{N}{n} e$
[FONT=Helvetica]
[/FONT][FONT=Helvetica]Ahora bien, nos gustaría hacer $N=n$, pero para que se cumplan las desigualdades para cada $i$, necesitamos que el $n$ elegido sea mayor que todos los $N_i$ de cada procedimiento de límite (para cada $i$), y por esto es que falla el argumento general.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Sin embargo si exigimos que $y_i(n)$ tienda a $h_i$ “uniformemente” o sea que para todo $e>0$ exista un $N_0$ natural (independiente del índice $i$) tal que:
[/FONT]
$h_i - e \leqslant n y_i(n) \leqslant h_i + e$
[FONT=Helvetica]
para todo $n>N_0$, entonces en el argumento anterior si que podemos elegir un número de sumandos $n=N>N_0$ (en el contexto de la desigualdad no la antrior sino la anterior de la anterior). y obtenemos que:
[/FONT]
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i - e \leqslant \sum_{i=1}^n y_i(n) \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h_i + e$
[FONT=Helvetica]
y ahora tomando el límite cuando $n$ va a infinito obtenemos de forma segura que:
[/FONT]
$S= \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = \bar h$
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]El problema que había cuando uno no imponía la uniformidad en el límite es que el $N_i$ necesario dependía de $i$, pero el índice $i$ se hace arbitrario en la suma y no es siempre cierto que podamos elegir un $n$ lo suficientemente grande para ser mayor que todos los $N_i$ requeridos.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] En el ejemplo que puse sucede esto mismo. Supón que el $y_i(n)$ original es justamente $h_i/n$ (por simplicidad), entonces efectivamente:

$n u_i(n) = n(h_i/n + i/n^2) = h_i + i/n$ que tiende a $h_i$ cuando $n$ va a infinito. Si asumimos que la sucesión:

$\displaystyle(1/n)\sum_{i=1}^n h_i$

converge a $\bar h$, esto no aseguraba que:

$\displaystyle(1/n)\sum_{i=1}^n u_i(n)$

converja también a $\bar h$, ya que el límite de $n u_i(n)$ no tiende a $h_i$ uniformemente. En efecto, si tomamos un $n_o$ fijo, sabemos que podemos encontrar para un $e>0$ cualquiera, un natural $N_i$ tal que:
[/FONT]
$h_i - e \leqslant n u_i(n) \leqslant h_i + e$

[FONT=Helvetica]en concreto para un $n$ tal que $i/n < e$ es suficiente, o sea que $N_i$ será un número natural mayor que $i/e$, para el $i$ dado y para el $e$ dado. Pero este argumento funciona para todos los $i$ que son arbitrarios, y por tanto $n u_i(n)$ converge a $h_i$ pero no uniformemente.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]En resumen, unas condiciones suficientes para obtener tu resultado podrían ser estas:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
a) $n y_i(n)$ tienda uniformemente a $h_i$ cuando $n$ va a infinito.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
b) que $\displaystyle(1/n) \sum_{i=1}^n h_i$ converja.
[/FONT]

¡Buff! Sabes tu más matemáticas que yo, pero claramente yo sé más LaTex que tu. Tengo que leerlo más despacio para tratar de entenderlo.

Bueno, ya lo he leído detenidamente, creo que lo entiendo y creo también que tienes razón. Algunos conceptos de la matemática ortodoxa los tengo bastante oxidados y la convergencia uniforme parece ser claramente uno de ellos, tendré que repasarlo. En cualquier caso las condiciones que me propones no van a modificar en nada el concepto de elemento diferencial que tengo in mente, así que creo que puedo aceptarlas. Lo que queda claro es que es posible establecer una o varias familias de funciones $y_i$ que permitan asimilar una integral (suma infinita de elementos diferenciales) a una suma infinita de infinitésimos y operar en consecuencia, ya que ese es mi propósito. Muchas gracias por tu amabilidad, justinux, me has ayudado mucho.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Si quieren definir la diferencial como una aplicacion lineal, esta bien conmigo, pero creo que es incorrecto cuando le dices a otros que con los infinitesimos no esta bien.

No se si esta bien autocitarse pero mira lo que escribi jose

Una cosa es que puedas pensar la resolución de la integral como la sumatoria infinitos términos sumados de diferenciales infinitésimos, a que esto sea matemáticamente posible pero no físicamente, y otra que los resultados de ambas formas de resolver lleguen a resultados distintos, hasta ahora no creo que haya calculo que haya sucedido, por eso lo que expone alexpglez es eso una paradoja, algo que aparenta ser cierto, pero no lo es.

No dije que no esta bien sino que el concepto esta en exceso (de pequeñez) en la fisica con un diferencial mucho mas grande se pueden lograr resultados aceptables.

Con respecto a lo que dice alex en su referencia a la paradoja , es que pensar el valor del diferencial como nulo induce a errores de interpretación
Por eso me inclino a que el diferencial es mayor que cero y se lo puede representar mediante una función cuya imagen sea un real acotado como dice jabato y que confirma justinux, aportando que la sucesión de elementos de la serie de funciónes $y_i(x)$ debe ser convergente.

No se si lo compartas, pero $z=x^2+3y^2$, se comporta igual al plano unicamente cuando $x\to a$ e $y\to b$, es decir: $\Delta x \to 0 =dx$, los ceros que otros no ven por ningun lado.

de todo esto no comparto la palabra "unicamente", pero creo que ahora tu compartes que muy próximo a x esta$x\pm dx$ cuyo plano es una aproximación matemática, que hasta hoy no genera errores en el cálculo?. Y no estoy mu seguro con respecto a $\Delta x \to 0 =dx$ por lo dicho en la cita previa.

si esas familias cumplen lo que pides entonces como sigue el planteo?

Para Richard: El objetivo de hallar esa familia de funciones no es otro que establecer después lo que es un elemento diferencial. Si lees mis mensajes #121,#128 y #133 ahí tienes la continuación del razonamiento.

Si los habia leido... pero justamente escribí el mensaje con la intención de que plantees lo que hiciste luego, redondear y cerrar todas las ideas de cada mensaje y darle forma en uno solo, Gracias

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, Justinux me ha dado la solución para conseguir que mi esquema de suma infinita, que adolecía de algunos errores, se comporte de una forma adecuada, por lo cual le doy las gracias.

1º).- El primer error es que todas las sucesiones $ny_i(n)$ deben converger uniformemente hacia los valores $h_i$. No basta con la convergencia simple.

2º).- El segundo error es que la sucesión $\overline{h_i}$ debe ser convergente, lógicamente, ya que su límite va a ser el resultado de la suma infinita.

Todo aparece bien explicado por él en el mensaje #162.

Estas dos condiciones son suficientes para conseguir que el teorema que os propuse sea válido. En estas condiciones creo que todo lo demás sería correcto. De esta forma los elementos diferenciales serían así una porción de variedad diferenciable barrida por las curvas paramétricas y las integrales, que son siempre una suma de elementos diferenciales, se pueden tratar entonces como una suma infinita y aplicarles este teorema.

Salu2, Jabato.

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica] Gracias Jabato por transcribir mi mensaje de forma que fuera legible. Estoy totalmente de acuerdo con lo que dices en tu último mensaje. Aunque tu esquema no es el ortodoxo, me pareció muy original, y creo que es correcto.[/FONT]
[FONT=Helvetica] Saludos,[/FONT]