Divulgación ¿Qué es un diferencial?

[Arri]

Hola, gente:

Hablando ayer con un amigo que se va a meter a física me preguntó:

"¿Qué es un diferencial?"

Todos tenemos la concepción de que es algo muy pequeño pero ¿hay una definición rigurosa? ¿Hay alguna explicación formal de que, en algunas demostraciones, al dividir un diferencial entre otro quede la derivada de una variable respecto de la otra?

gracias

[arreldepi]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, mira la respuesta de alespa07 en este hilo a ver si te aclara alguna cosa.

Saludos!

[Arri]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Así queda más claro, sí. Muchas gracias

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Buenas tardes.

Mi nombre es Nicolás y esta es mi primer intervención en el foro. Di con él buscando información en la web que pudiera ayudarme a entender un concepto muy familiar, pero curiosamente poco comprendido en el ámbito estudiantil. Me estoy refiriendo al concepto de "diferencial".

Aunque mi aporte probablemente resulte tardío (teniendo en cuenta la fecha de creación de la discusión), espero que sea de interés y de ayuda a quienes tengan dudas al respecto.

Siendo estudiante universitario cursé materias tales como: álgebra, Cálculo Diferencial, Física y Ecuaciones Diferenciales. Sin embargo, debo admitir que mi sentimiento ha sido siempre de profunda desazón debido al cúmulo de dudas que iba sumando en la medida en que nos adentrábamos más y más en los contenidos de dichas materias.

En las clases de Cálculo Diferencial nos explicaron el concepto de límite, continuidad, derivación e integración. En materias como Ecuaciones Diferenciales nos enseñaron los distintos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. Luego, en Física, aplicamos esos “conocimientos” en forma mecánica y "robotizada" para resolver modelos matemáticos con los que se intenta estudiar el comportamiento de infinidad de fenómenos físicos.
[FONT=lucida console]

Aclaración previa a mi argumentación[/FONT][FONT=lucida console]: Los términos a continuación expresados han sido extraídos o derivados del documento que adjunto en formato PDF.
En general me voy a referir a relaciones funcionales de tip[/FONT][FONT=lucida console]o [/FONT]$y=f(x)$, es decir, a funciones de una sola variable.[FONT=lucida console]
Desde ya pido disculpas si incurro en algún error conceptual y recibiré con agrado cualquier crítica, corrección o sugerencia.
[/FONT]

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El punto en común en los modelos matemáticos (a los cuales hago referencia un par de renglones arriba) es el uso de expresiones diferenciales del tipo $(dy/dx); (dv/dt)$, etc. En general, estas expresiones son concebidas, por un lado, como un simple símbolo u operador "imposible de separar": $(d/dx)$, el cuál se aplica sobre la función en cuestión. Desde otro punto de vista, las anteriores expresiones resultan ser cocientes cuyos términos pueden ser "separados". Dichos términos se conocen como "diferenciales".

La confusión y la falta de seguridad en su utilización radica en el diferente nivel de importancia que se le asigna a estos conceptos en Matemática y en Física. En Matemática, más específicamente, en Cálculo, el concepto de diferencial carece de significado propio, siendo solamente una expresión resultante del concepto de derivada. Cauchy definió al diferencial como una función obtenida a partir del concepto de derivada de la siguiente manera:

$$dy=f'(x)*dx$$

Por el contrario, en Física, el concepto de diferencial es el punto de partida para el análisis de cualquier situación física relativamente compleja. Comúnmente, los profesores en su argumentación suelen asociar el concepto de diferencial con incrementos infinitesimales o infinitamente pequeños de las correspondientes variables, lo cual es un error.

Para entender el concepto de "diferencial" y el por qué de su utilización, primero es necesario comprender en qué casos resulta imprescindible su uso y en cuales no. Es obligatorio el manejo de diferenciales en aquellos casos en los que se sabe que la relación funcional $y=f(x)$, que vincula a las magnitudes principales del fenómeno en estudio, no es de tipo lineal, es decir; cuando sabemos que:

$$\Delta y/\Delta x \neq m$$

Expresión que, en términos geométricos, sugiere que la gráfica que satisface la relación funcional $y=f(x)$ no es una recta, sino, una curva.

Si dicha relación fuese lineal, el comportamiento del fenómeno físico podría ser fácilmente explicado en términos matemáticos mediante la ecuación de una recta:

$$(y-{y}_{0})=m*(x-{x}_{0})$$

y desde el punto de vista matemático el problema estaría resuelto. Conociendo un valor inicial, por ejemplo: $y({x}_{0})={y}_{0}$, solo faltaría encontrar experimentalmente el valor adecuado de $m$

Sin embargo, en los casos mas generales en los que, como se dijo, la relación entre $\Delta y$ y $\Delta x$ no es lineal (Ec. 2) el valor de $m$ no será constante. Por el contrario, $m$ cambiará continuamente en función del valor de $x$; es decir; $m$ será función de $x$, lo que se puede expresar como: $m=m(x)$

Lamentablemente, la mayoría de los fenómenos físicos estudiados caen dentro del grupo de "casos generales" en los que las relaciones entre las variables que describen dichos fenómenos no son lineales. El trabajo de los físicos es intentar encontrar estas relaciones y expresarlas en forma matemática a través de funciones del tipo: $y=f(x)$ para que puedan ser contrastables con datos experimentales.

En este contexto, lo que se intenta es lo siguiente. Conociendo un valor inicial, por ejemplo, para ${x}_{0}$; $y({x}_{0})={y}_{0}$ se intenta determinar cuál es el incremento real de $y$, es decir, el $\Delta y$ debido a un incremento de $x$ desde ${x}_{0}$ a ${x}_{0} + \Delta x$, reconociendo desde la partida que esa relación NO es lineal.

Es aquí donde hace su aparición la diferencial, la cual SÍ posee un significado físico claro y, por cierto, muy alejado a "variaciones infinitesimales" o "variaciones infinitamente pequeñas" de la variable en cuestión. La diferencial no necesariamente tiene que representar una variación infinitamente pequeña de una variable; puede también representar variaciones "grandes" de aquella.

La diferencial debe ser entendida como una aproximación lineal $dy$ al incremento real $\Delta y$ de la función incógnita $y=f(x)$. Y no solo eso, sino que, además, es la ÚNICA aproximación lineal al incremento de la función $y=f(x)$ que por integración permite obtener dicho $\Delta y$. La única diferencial que satisface lo anterior es aquella que cumple:

$$dy=f'(x)*dx$$

Quisiera aclarar ciertas cuestiones:

• El concepto de Diferencial no tiene que ser asociado a "incrementos infinitamente pequeños".
• La diferencial, en el contexto de los modelos matemáticos que describen fenómenos físicos en los que las variables intervinientes no presentan una relación de tipo lineal (recta), debe ser entendida como una aproximación lineal

  $$dy=f'(x)*dx$$

  al incremento de una función $y=f(x)$. Función que en general se desconoce y se intenta determinar mediante dichos modelos.
• La diferencial

  $$dy=f'(x)*dx$$

  además de ser una aproximación lineal al incremento, es la única aproximación que permite obtener la función incógnita $y=f(x)$ mediante el proceso de integración.
• La diferencial en física reviste un carácter hipotético. Se propone una expresión diferencial en función de las características conocidas del fenómeno físico en estudio. Se resuelve esa expresión diferencial (ecuación diferencial) mediante integración y se obtiene la función incógnita buscada $y=f(x)$. Luego se contrastan los datos experimentales con la ecuación obtenida anteriormente y se evalúa su validez.
• De los dos puntos previos se deduce que pueden proponerse inicialmente infinitas expresiones "candidatas" a ser la diferencial. Estas expresiones propuestas surgen, como se dijo anteriormente, del conocimiento de ciertos aspectos del fenómeno en estudio. Sin embargo, solo una de ellas será la adecuada, lo cual será verificado mediante el procedimiento citado en el punto previo.
• La diferencial es función de $x$ y $\Delta x$
• Toda diferencial propuesta debe ser del tipo

  $$dy=ax*dx$$

  $$dy={x}^{n}*dx$$

  $$dy=\frac{a}{b}\sqrt[n]{x}*dx$$

  no pudiendo ser de la forma

  $$dy=ax*{dx}^{n} \text{con n} \neq 1$$

  puesto que debe ser lineal respecto al $\Delta x = dx$

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Podría servirte como definición una de sus principales propiedades. Si un punto $P(x,\ y)$ pertenece a la gráfica de una determinada función diferenciable entonces un punto de la forma:

$P+dP=(x+dx,\ y+dy)$

pertenece siempre a su recta tangente en P.

También es cierto el recíproco, si un punto pertenece a la recta tangente en P, sus coordenadas siempre pueden expresarse como:

$P+dP=(x+dx,\ y+dy)$

Es un error y grave pensar que existe algo infinitesimal en las propiedades de los diferenciales, los diferenciales son sencillamente números reales, y en dicho conjunto no existen números infinitesimales y es otro error, más grave aún, confundir el diferencial de una función con su incremento.


Salu2

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

\Delta

Podría servirte como definición una de sus principales propiedades. Si un punto $P(x,\ y)$ pertenece a la gráfica de una determinada función diferenciable entonces un punto de la forma:

$P+dP=(x+dx,\ y+dy)$

pertenece siempre a su recta tangente.

Salu2

Buenas tardes Jabato.

Espero sepas disculpar mi intervención, pero interpreto que tu argumento no es correcto o está incompleto.

Una función lineal $y=f(x)$; es decir, una recta, y lo que sería "la recta tangente a ella" en un punto cualquiera: $P(x, f(x))$; comparten infinitos puntos. Esto se debe a que la ecuación que describe la recta original $y=m*x+b$ y la ecuación de la recta tangente $y=y'(x)*x+b$, verifican $m=y'(x)$ para cualquier punto $P(x, f(x)$. En otras palabras, la recta original y su recta tangente en cualquier punto son la misma.
Una función no lineal $y=f(x)$, por ejemplo: una parábola, y la recta tangente a ella en un punto cualquiera de la primera $P(x, f(x))$ comparten un único punto. Ese único punto es, precisamente, el punto $P(x, f(x))$. Cualquier otro punto $(P+dp)=(x+dx, y+dx)$ perteneciente a la tangente no será compartido con la primera en el punto $P(x,f(x)$, por más pequeño o infinitesimal que sea $dP$. Esto es así ya que la recta tangente, tiene un comportamiento lineal, no siendo así en el caso de la parábola cuyo comportamiento es no lineal.


EDITO: Me retracto y pido disculpas. Tu razonamiento es cierto.
No sería cierto si hubieses escrito:

$P+\Delta P=(x+\Delta x,\ y+\Delta y)$

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues la verdad creo que no he dicho yo tal cosa, vamos estoy seguro que no lo he dicho porque debo darte la razón en solo una cosa, en que efectivamente eso no es cierto en todos los casos. Si lees bien mi mensaje yo solo he dicho que:

Si un punto $P(x,\ y)$ pertenece a una función diferenciable entonces un punto cuyas coordenadas sean $P+dP=(x+dx,\ y+dy)$ pertenece a su recta tangente en $P(x,y)$

No he dicho que $P+dP$ pertenezca a la función, solo he dicho que pertenece a su recta tangente.

También he dicho que la propiedad recíproca también es cierta, es decir, para un punto que pertenezca a la recta tangente en $P(x,\ y)$ entonces sus coordenadas pueden expresarse siempre como $P+dP=(x+dx,\ y+dy)$

Pero en ningún caso he dicho que $P+dP$ tenga que pertenecer a la función. $P$ debe pertenecer a la función y $P+dP$ debe pertenecer a su recta tangente en $P$.

¿Te ha quedado claro ahora?

Añadido después de la rectificación anterior:

Es que $P+\Delta P(x+\Delta x,\ y+\Delta y)$ sí es un punto de la función pero no es en general un punto de la recta tangente.

Salu2

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues la verdad creo que no he dicho yo tal cosa, vamos estoy seguro que no lo he dicho porque debo darte la razón en solo una cosa, en que efectivamente eso no es cierto en todos los casos. Si lees bien mi mensaje yo solo he dicho que:

Si un punto $P(x,\ y)$ pertenece a una función diferenciable entonces un punto cuyas coordenadas sean $P+dP=(x+dx,\ y+dy)$ pertenece a su recta tangente en $P(x,y)$

No he dicho que P+dP pertenezca a la función, he dicho que solo pertenece a su recta tangente.

También he dicho que la propiedad recíproca también es cierta, es decir, para un punto que pertenezca a la recta tangente en $P(x,\y)$ entonces sus coordenadas pueden expresarse siempre como $P+dP=(x+dx,\ y+dy)$

Pero en ningún caso he dicho que $P+dP$ tenga que pertenecer a la función. $P$ debe pertenecer a la función y $P+dP$ debe pertenecer a su recta tangente en $P$.

¿Te ha quedado claro ahora?

Salu2

Estás en lo cierto. Asumo mi error de interpretación.
Agradezco tu aclaración

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Es muy comprensible, realmente hay demasiada mitología alrededor de este concepto, y además se suele explicar mal en las aulas. Estos debates son muy convenientes porque ayudan a desmitificarlo, pero aún así, aunque se diga alto y claro, siempre hay gente que se niega a ver lo evidente y siguen propagándose los errores como si fueran herejías galopantes. No hay más remedio que seguir insistiendo hasta conseguir que en los libros de texto se expliquen las cosas tal y como son hoy en día y no tal y como fueron en el pasado. Conocer la historia es bueno, pero antes hay que conocer el presente porque sino se arriesga uno a quedarse obsoleto (anclado en el pasado).

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Jabato , insinuas que los libros de texto y los profesores lo explican mal y que tu sabes más que ellos ?

Tal vez nos puedas dar una clase a todos y actualizarnos nuestro cálculo diferencial.

Comparto plenamente los dicho por Jabato.
Él no insinúa que sabe más que los profesores o los libros de texto. Simplemente dice que hay mucha confusión en relación al concepto de Diferencial (LO CUAL ES TOTALMENTE CIERTO) y que ni los profesores (muchas veces porque lo tienen en claro) ni los libros ayudan a salvar estos problemas.
Ejemplo claro del problema es el uso que hacen de los diferenciales los libros y los profesores en sus clases, asociándolos siempre a "incrementos infinitesimales", "incrementos infinitamente pequeños", lo cual no es correcto.

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Comparto plenamente los dicho por Jabato.
Él no insinúa que sabe más que los profesores o los libros de texto. Simplemente dice que hay mucha confusión en relación al concepto de Diferencial (LO CUAL ES TOTALMENTE CIERTO) y que ni los profesores (muchas veces porque lo tienen en claro) ni los libros ayudan a salvar estos problemas.
Ejemplo claro del problema es el uso que hacen de los diferenciales los libros y los profesores en sus clases, asociándolos siempre a "incrementos infinitesimales", "incrementos infinitamente pequeños", lo cual no es correcto.

Tienes razón que hay mucha confusión en el tema, pero todavía aumenta mas la confusión decir categóricamente que no se pueden ver como incrementos infinitesimales (y aqui es cuando se pretende saber mas que algunos de los mejores matemáticos del siglo pasado y de este siglo).
Porque resulta que es totalmente riguroso hablar de incrementos infinitesimales si consideramos que estamos haciendo operaciones en el ámbito de los números hiperreales.
Si viviésemos antes de 1960, tendría que darte la razón, ya que antes de esa fecha hablar de números infinitesimales era una cuestión nada rigurosa e "intuitiva", se sabia que mas o menos funcionaba esa forma de pensar ya que la mayoría de las veces daba lugar a operaciones que daban resultados correctos, pero no se podía justificar rigurosamente porqué (al fin y al cabo no hay forma de encontrar los números infinitesimales en la recta real por mucho que se busquen).
Pero en la decada de los 60 finalmente un genio matemático consiguió construir una estructura matemática completamente rigurosa (lo que se había intentado durante siglos pero sin éxito): la recta de numeros hiperreales, de la que los números reales es un subconjunto.
A partir de ese momento, ya se puede hablar y operar con números hiperreales (reales+infinitesimos+infinitos) de una forma completamente rigurosa y coherente.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Creo que ya contestó Johny por mi. Yo hubiera contestado más o menos en los mismos términos, aunque añadiré que no pretendo saber más que nadie, decir eso ha sido un golpe bajo.

Lo que son los diferenciales y como deben usarse ya quedó expuesto, creo. El que alguien haga caso omiso de tal cosa es normal. El que alguien considere que mi actitud es la de pretender saber más que nadie resulta claramente ofensivo, ciertamente. Pero no puedo hacer nada para evitarlo salvo mostrar mis ideas y dejar que sean juzgadas. Los que no estén de acuerdo con esta forma de pensar son muy dueños de no tomarla en cuenta, pero el juego sucio debería estar mal visto en un sitio como éste.

Salu2

- - - Actualizado - - -

¡Pero hombre! ¿No crees que se te ha ido un poco la mano, abuelillo? Si yo puedo interpretar el concepto de diferencial sin recurrir a los números hiperreales ... ¿para qué necesito recurrir a ellos? Para ello es necesario recurrir a una lógica distinta de la que se utiliza habitualmente en los modelos matemáticos de la física y que yo sepa en ningún libro de física se hace alusión a tal cosa cuando se trabaja con elementos diferenciales.

Cada vez que alguien dice, para explicar el concepto de diferencial a un estudiante, que los diferenciales son elementos infinitesimales pertenecientes al conjunto de los números hiperreales, acaba por arreglar la confusión que ya existía alrededor de este asunto. No abuelillo, ni hablar de eso, usar esa argumentación es salirse por la tangente y demostrar además de forma flagrante que no se tiene ni idea de lo que se habla.

Salu2

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Ah, es verdad, tienes razón Atrode, ha sido abuelillo el que sacó ese tema. Disculpa ha sido un error de apreciación. Bueno modifico el mensaje anterior que va dirigido a abuelillo, claro.

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¡Pero hombre! ¿No crees que se te ha ido un poco la mano, abuelillo? Si yo puedo interpretar el concepto de diferencial sin recurrir a los números hiperreales ... ¿para qué necesito recurrir a ellos? Para ello es necesario recurrir a una lógica distinta de la que se utiliza habitualmente en los modelos matemáticos de la física y que yo sepa en ningún libro de física se hace alusión a tal cosa cuando se trabaja con elementos diferenciales.

Yo no niego que puedas interpretar los diferenciales sin recurrir a los números hiperreales, lo que niego es que esa sea la única forma rigurosa posible de interpretarlos.
Eres perfectamente libre de utilizar el punto de vista que mas te guste (no he puesto pegas a tu forma de interpretar los diferenciales), pero no es correcto intentar negar las otras posibilidades, como si solo hubiese una única forma rigurosa de abordar el tema.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno abuelillo, pongamos las cosas en su justa medida, no hay que exacerbar la cosa para poder debatir sobre estos temas. Diré algunas cosas para sentar las bases de mi pensamiento, y luego ya me dices:

1ª).- Los diferenciales solo pueden responder a una interpretación, porque si no fuera así estaríamos generando aún más confusión.

2ª).- Para poder usar los números infinitesimales es necesario estar trabajando en el seno del análisis no estandar, y eso no puede plantearse así, de repente, cuando tratamos de los diferenciales. No conozco ningún libro de física, matemáticas, ingeniería o de cualquier otra índole que cuando vaya a abordar el tema de los diferenciales avise al respecto de tal circunstancia.

3ª).- Si efectivamente debiera de ser así, es claro que la enseñanza que se hace al respecto de esos elementos adolecería de un grave error formal, muy grave.

4ª).- Lo más probable es que eso no se haga porque no se considera necesario.

5ª).- Si no se considera necesario es porque la interpretación correcta de lo que es un diferencial puede hacerse en el seno del análisis estandar y entonces resulta inconcebible que un profesor de física (en general de ciencia aplicada) hable de los números infinitesimales para justificar el uso que habitualmente se hace de los diferenciales en dichas ramas de la ciencia.

Mi posición establece que dicho uso (el tratamiento de la derivada como un cociente de diferenciales) esta justificado y es formalmente riguroso en atención a la interpretación que ya dí en este hilo, y en otros, de lo que son tales elementos. La derivada puede interpretarse siempre como el cociente de dos números reales que son los diferenciales. No pretendo imponer aquí mi criterio, ni tampoco despreciar el trabajo que hacen los profesionales de la enseñanza, pero debes entender que tampoco debo permitir que me vendan ruedas de molino como si fueran Donuts.

Espero que podamos debatir estos temas que desde luego son muy interesantes sin dejarnos llevar por las actitudes excesivamente críticas y salidas de tono.

Salu2.