¿Qué es un diferencial?

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Tienes razón que hay mucha confusión en el tema, pero todavía aumenta mas la confusión decir categóricamente que no se pueden ver como incrementos infinitesimales (y aqui es cuando se pretende saber mas que algunos de los mejores matemáticos del siglo pasado y de este siglo).
Porque resulta que es totalmente riguroso hablar de incrementos infinitesimales si consideramos que estamos haciendo operaciones en el ámbito de los números hiperreales.
Si viviésemos antes de 1960, tendría que darte la razón, ya que antes de esa fecha hablar de números infinitesimales era una cuestión nada rigurosa e "intuitiva", se sabia que mas o menos funcionaba esa forma de pensar ya que la mayoría de las veces daba lugar a operaciones que daban resultados correctos, pero no se podía justificar rigurosamente porqué (al fin y al cabo no hay forma de encontrar los números infinitesimales en la recta real por mucho que se busquen).
Pero en la decada de los 60 finalmente un genio matemático consiguió construir una estructura matemática completamente rigurosa (lo que se había intentado durante siglos pero sin éxito): la recta de numeros hiperreales, de la que los números reales es un subconjunto.
A partir de ese momento, ya se puede hablar y operar con números hiperreales (reales+infinitesimos+infinitos) de una forma completamente rigurosa y coherente.

Buenas tardes abuelillo.
Para explicar el concepto de diferencial, quienes llevan dicha tarea, lo hacen asociandole una especie de "característica" distintiva: la de ser un incremento infinitesimal o incremento infinitamente pequeño de una variable o función.
Sin embargo, la diferencial puede tomar valores finitos "muy grandes" o "muy pequeños", con lo cual, tal "característica distintiva" no existe. Por lo tanto, querer explicar un concepto mediante algo que no es, no creo que sirva de mucho. Al contrario, desde mi punto de vista, esta práctica habitual es la causante de toda la confusión que rodea al concepto.
Y como dije anteriormente, es muy distinta la importancia o trascendencia que se le da a la diferencial en el mundo de la Física y la Matemática. En Matemática solo es una expresión secundaria obtenida a partir del concepto de derivada. En cambio, en Física, el concepto de diferencial es el punto de partida para el análisis de todos los fenómenos físicos.
En Física, Para tratar de explicar el comportamiento de la función buscada o incógnita $y=f(x)$ en un $\Delta x$, se utiliza erróneamente una expresión diferencial del tipo: $dy=k(x)*dx$ diciendo que, por más que para valores grandes de $\Delta x$, esa expresión diferencial no sea el incremento real de la función incógnita, SÍ LO SERÁ CUANDO SE TOMEN VALORES INFINITAMENTE PEQUEÑOS DE $\Delta x$, de tal manera que dicha expresión diferencial, en el rango de lo infinitamente pequeño terminará por confundirse con el incremento real de la función incógnita.
Esto nunca será cierto, porque la expresión diferencial $dy=k(x)*dx$ es lineal, no siendo lineal el crecimiento de la función incógmita, salvo que se trate de una recta.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Es más, es que en el conjunto de los números reales no existen los números infinitesimales, son números de otro universo, y no tienen aplicación, al menos hasta hoy, en el seno de la física. Quizás algún día los modelos matemáticos de la física se hagan en el seno del análisis no estandar y aprendamos a razonar correctamente con ellos, pero hoy en día no ocurre eso, y mucho menos ocurre en los libros de texto y en las aulas. Si hemos de ser coherentes y rigurosos pues vamos a ello ¿no?.

Salu2

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Buenas tardes abuelillo.
Para explicar el concepto de diferencial, quienes llevan dicha tarea, lo hacen asociandole una especie de "característica" distintiva: la de ser un incremento infinitesimal o incremento infinitamente pequeño de una variable o función.
Sin embargo, la diferencial puede tomar valores finitos "muy grandes" o "muy pequeños", con lo cual, tal "característica distintiva" no existe. Por lo tanto, querer explicar un concepto mediante algo que no es, no creo que sirva de mucho. Al contrario, desde mi punto de vista, esta práctica habitual es la causante de toda la confusión que rodea al concepto.
Y como dije anteriormente, es muy distinta la importancia o trascendencia que se le da a la diferencial en el mundo de la Física y la Matemática. En Matemática solo es una expresión secundaria obtenida a partir del concepto de derivada. En cambio, en Física, el concepto de diferencial es el punto de partida para el análisis de todos los fenómenos físicos.
En Física, Para tratar de explicar el comportamiento de la función buscada o incógnita $y=f(x)$ en un $\Delta x$, se utiliza erróneamente una expresión diferencial del tipo: $dy=k(x)*dx$ diciendo que, por más que para valores grandes de $\Delta x$, esa expresión diferencial no sea el incremento real de la función incógnita, SÍ LO SERÁ CUANDO SE TOMEN VALORES INFINITAMENTE PEQUEÑOS DE $\Delta x$, de tal manera que dicha expresión diferencial, en el rango de lo infinitamente pequeño terminará por confundirse con el incremento real de la función incógnita.
Esto nunca será cierto, porque la expresión diferencial $dy=k(x)*dx$ es lineal, no siendo lineal el crecimiento de la función incógmita, salvo que se trate de una recta.

Para no desviar el tema mucho, pongamos un ejemplo sencillo:
En el espacio $R^2$tenemos la función $y=x^2$, con dominio de $x \in [2,3]$ y codominio $y \in [4,9]$. ¿Qué son $dx$ y $dy$? , ¿Qué valores toman y porque?, ¿Cuál es la relación entre $dx$ y $dy$?, ¿Que son $\Delta x$ y $\Delta y$? ¿Qué valores toman y porque?, ¿ Existe relación de $\Delta$s con diferenciales o no?

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Los valores de $dx,\ dy$ satisfacen la relación $dy=2xdx$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en un punto cualquiera de la tangente a la gráfica de $y=x^2$ por el punto $(x,y)$. A cada par de valores reales $(x,\ dx)$ le corresponde lógicamente una valor real de $dy$.

Los valores de $\Delta x,\ \Delta y$ satisfacen la relación $\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+\Delta^2x$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en otro punto cualquiera de la gráfica de $y=x^2$. A cada par de valores reales $(x,\ \Delta x)$ le corresponde lógicamente un valor real de $\Delta y$.

No has dicho que es $\Delta s$, aunque sí creo interpretar correctamente tu pregunta. Si lo que preguntas es si existe relación entre los incrementos y los diferenciales de las variables de una función la respuesta es claramente no. Es un hecho que puedes deducir fácilmente del ejemplo que tu mismo pusiste.

Salu2

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

En Física, Para tratar de explicar el comportamiento de la función buscada o incógnita $y=f(x)$ en un $\Delta x$, se utiliza erróneamente una expresión diferencial del tipo: $dy=k(x)*dx$ diciendo que, por más que para valores grandes de $\Delta x$, esa expresión diferencial no sea el incremento real de la función incógnita, SÍ LO SERÁ CUANDO SE TOMEN VALORES INFINITAMENTE PEQUEÑOS DE $\Delta x$, de tal manera que dicha expresión diferencial, en el rango de lo infinitamente pequeño terminará por confundirse con el incremento real de la función incógnita.
Esto nunca será cierto, porque la expresión diferencial $dy=k(x)*dx$ es lineal, no siendo lineal el crecimiento de la función incógmita, salvo que se trate de una recta.

El problema es que estás planteando la cuestión en el campo de los numeros reales.

Es como cuando alguien ve la ecuacion x²+y²=1, la resuelve y llega a la conclusión de que las soluciones forman una figura bidimensional, un circulo.
Aunque es valido, se ha olvidado de muchas mas soluciones, porque hay un monton de numeros complejos que tambien cumplen la ecuacion, de ese modo ya no tenemos un circulo bidimensional, tenemos algo mucho mas complicado. Luego ese alguien dice que no importa, esos son cosas matematicas raras y abstractas, y que figuras complejas no existen en la realidad. Pues bueno, creo que la realidad actualmente se modela utilizando numeros complejos y otros muchos conceptos matematicos muchisimo mas raros y abstractos, asi que tan fuera de la realidad no estarán.

El desarrollo de numeros hiperreales es muy reciente, el futuro dirá si llegará a ser una herramienta útil y practica para modelar cosas de la realidad. Por lo pronto ya se han llegado a desarrollar soluciones a varios problemas matematicos gracias al uso de estos numeros, y que sin ellos no se hubieran resuelto todavia, ya que abordar los problemas desde un marco conceptual distinto permite, en muchas ocasiones, ver y encontrar soluciones que no estarían tan claras desde otros puntos de vista.

La fisica ha avanzado durante siglos gracias al uso de todas esas teorias y cosas raras matematicas, por las que nadie daba un duro al principio. No entiendo ese especie de desprecio o desapego, no sabría bien que nombre ponerle, que parecen tener algunos fisicos por las matematicas, cuando estas siempre estan ahi con conceptos nuevos, para salvar el culo a la fisica cuando hace falta, y solo hay que echar un vistazo a la historia de la fisica, para ver que esto ha ocurrido en numerosas ocasiones.

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Para no desviar el tema mucho, pongamos un ejemplo sencillo:
En el espacio $R^2$tenemos la función $y=x^2$, con dominio de $x \in [2,3]$ y codominio $y \in [4,9]$. ¿Qué son $dx$ y $dy$? , ¿Qué valores toman y porque?, ¿Cuál es la relación entre $dx$ y $dy$?, ¿Que son $\Delta x$ y $\Delta y$? ¿Qué valores toman y porque?, ¿ Existe relación de $\Delta$s con diferenciales o no?
Saludos

Buenas tardes Jose D. Escobedo

Supongamos que nuestro trabajo como "físicos" es explicar en términos matemáticos, (mediante un modelo), el comportamiento de cierto fenómeno natural aún no explicado por la ciencia.

Con lo poco que conocemos del mismo, intuimos que puede ser modelado mediante una expresión matemática del tipo: $y=f(x)$, pero, desgraciadamente, desconocemos cuál es esa expresión. Lo que sí sabemos (nuevamente, por nuestro escaso entendimiento del fenómeno) es que el comportamiento de la variable dependiente $y$ no es lineal en relación a la variable independiente $x$. Esto quiere decir, sin dudas, que la gráfica de la relación funcional buscada $y=f(x)$ no es una línea recta, sino, más bien, una curva de algún tipo.

Este aspecto determina que debamos recurrir al Cálculo Diferencial, y, en particular, al uso de diferenciales.

Insisto: No conocemos cuál es la función que describe el fenómeno en estudio: $y=f(x)$. Mucho menos hemos de conocer su derivada $y'=f'(x)$. Sin embargo, gracias a los datos obtenidos en los ensayos de laboratorio, tenemos la sospecha de que la expresión diferencial $dy=2xdx$, entre otras sugeridas inicialmente, puede ser la expresión diferencial que mediante integración nos permita encontrar la función buscada, es decir, la que describe el fenómeno en estudio. (Rodolfo había propuesto inicialmente la expresión $dy=xdx$, José la expresión $dy=\sqrt{x}dx$ y María propuso la expresión sospecha de ser la correcta.

Para que ésta expresión diferencial propuesta por María, (seleccionada de entre conjunto de expresiones diferenciales sugeridas por el grupo), sea realmente la que concluya como modelo matemático que describe el fenómeno, debe cumplir un conjunto de condiciones:

1. Debe ser una estimación LINEAL del incremento de la función buscada,
2. Debe ser función de $x,dx$
3. Y debe cumplir la siguiente condición: $dy=f'(x)*dx$

Pero claro, no conocemos ni $y=f(x)$ ni $f'(x)$. ¡De eso se trata justamente!. De encontrar una expresión diferencial que cumpla con la condición de ser idéntica a la derivada de la función incógnita, aquella que tanto buscamos y que describe el fenómeno analizado.

Obviamente, la expresión diferencial correcta será UNICA, porque una única expresión diferencial mediante integración puede concluir en la función incógnita.

Particularmente, si el fenómeno analizado puede ser explicado adecuadamente mediante una expresión funcional como $y=x^2$, entonces la expresión diferencial sugerida por María será la correcta, puesto que, mediante el proceso de integración de dicha diferencial se obtendrá $y=x^2$.

Se puede interpretar así: $dy$ es el incremento sufrido por la expresión diferencial $dy=2xdx$ para un incremento $dx$ dado.

Pero como la expresión diferencial $dy$ depende tanto de $x,dx$; para asignarle un valor determinado tenemos que decidir primeramente cuáles serán los valores de $x,dx$ a utilizar para llevar a cabo dicha evaluación

Tomemos el punto $P(2,4)$ perteneciente a la gráfica de $y=x^2$. Si $dx=1$ (No debe ser necesariamente infinitamente pequeño), entonces $dy=2xdx=2*2*1=4$

Si se observa, $dy=4$ es lo que crece la recta tangente a la gráfica $y=x^2$ en el punto $P(2,4)$ si consideramos un incremento diferencial $dx=1$

Espero no haberme equivocado en los procedimientos. Por favor, corregir si estoy equivocado.
Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Los valores de $dx,\ dy$ satisfacen la relación $dy=2xdx$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en un punto cualquiera de la tangente a la gráfica de $y=x^2$ por el punto $(x,y)$. A cada par de valores reales $(x,\ dx)$ le corresponde lógicamente una valor real de $dy$.

Los valores de $\Delta x,\ \Delta y$ satisfacen la relación $\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+\Delta^2x$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en otro punto cualquiera de la gráfica de $y=x^2$. A cada par de valores reales $(x,\ \Delta x)$ le corresponde lógicamente un valor real de $\Delta y$.

No has dicho que es $\Delta s$, aunque sí creo interpretar correctamente tu pregunta. Si lo que preguntas es si existe relación entre los incrementos y los diferenciales de las variables de una función la respuesta es claramente no. Es un hecho que puedes deducir fácilmente del ejemplo que tu mismo pusiste.

Salu2

Regresando al dominio y codominio en $\Delta y=2x \Delta x +(\Delta x)^2$ tomando inicialmente x=2 hasta x=3 $\Rightarrow (9-4)=2(2)(1)+(1)^2=5$ se comprueba esa igualdad, pero para $dy=2x dx$ de x=2 hasta x=3 esto haría $dy=2(2) dx$, y en este caso cuanto valen $dx$ y $dy$

Saludos

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Los valores de $dx,\ dy$ satisfacen la relación $dy=2xdx$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en un punto cualquiera de la tangente a la gráfica de $y=x^2$ por el punto $(x,y)$. A cada par de valores reales $(x,\ dx)$ le corresponde lógicamente una valor real de $dy$.

Los valores de $\Delta x,\ \Delta y$ satisfacen la relación $\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+\Delta^2x$. Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto $(x,y)$ y su extremo está en otro punto cualquiera de la gráfica de $y=x^2$. A cada par de valores reales $(x,\ \Delta x)$ le corresponde lógicamente un valor real de $\Delta y$.

No has dicho que es $\Delta s$, aunque sí creo interpretar correctamente tu pregunta. Si lo que preguntas es si existe relación entre los incrementos y los diferenciales de las variables de una función la respuesta es claramente no. Es un hecho que puedes deducir fácilmente del ejemplo que tu mismo pusiste.

Salu2

Excelente explicación. Clara y concisa. Agregaría solo una cosa:
La expresión $dy=2xdx$ nunca será igual que $\Delta y=2x\Delta x+\Delta^2x$ por más infinitesimales o infinitamente pequeños que utilicemos. Ahí creo que radica la confusión, cuando nos enseñan erróneamente que tomando diferenciales infinitesimalmente pequeños, la primera expresión, la diferencial, termina confundiéndose o igualándose con la segunda expresión

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Buenas tardes Jose D. Escobedo

Si se observa, $dy=4$ es lo que crece la recta tangente a la gráfica $y=x^2$ en el punto $P(2,4)$ si consideramos un incremento diferencial $dx=1$

Espero no haberme equivocado en los procedimientos. Por favor, corregir si estoy equivocado.
Saludos

"si consideramos "un incremento diferencial"$dx =1$..." física y matemátcas no funconan con consideraciones (adivinando), la pregunta de donde sale que: $dx= 1$ para ese punto (2,4), cual es el criterio.

saludos

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

"si consideramos "un incremento diferencial"$dx =1$..." física y matemátcas no funconan con consideraciones (adivinando), la pregunta de donde sale que: $dx= 1$ para ese punto (2,4), cual es el criterio.

saludos

Es que no se trata de adivinar. Así como en tu ejemplo tomaste $\Delta x= 1$ debes tomar $dx= 1$ si lo que estás haciendo es intentar comparar la diferencia entre la variación de la función real y de su expresión diferencial asociada.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Excelente explicación. Clara y concisa. Agregaría solo una cosa:
La expresión $dy=2xdx$ nunca será igual que $\Delta y=2x\Delta x+\Delta^2x$ por más infinitesimales o infinitamente pequeños que utilicemos. Ahí creo que radica la confusión, cuando nos enseñan erróneamente que tomando diferenciales infinitesimalmente pequeños, la primera expresión, la diferencial, termina confundiéndose o igualándose con la segunda expresión

No crees que puedo escribir esto: $\Delta y =2a \Delta x$ con $a \in [x_1,x_2]$ de donde $\Delta x = x_2-x_1$ para esta función $y=x^2$ con los puntos $x_1$ y $x_2$ en los "Reales" y en particular en el segmento $[2,3]$.
Saludos

- - - Actualizado - - -

Es que no se trata de adivinar. Así como en tu ejemplo tomaste $\Delta x= 1$ podes tomar $dx= 1$

En mi ejemplo tome $\Delta x =1$ porque el intervalo era $[2,3]$ y 3-2=1. Y tu ¿Cómo calculaste dx?

Saludos

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

En mi ejemplo tome $\Delta x =1$ porque el intervalo era $[2,3]$ y 3-2=1. Y tu ¿Cómo calculaste dx?
Saludos

Lo que intentamos hacer es comparar el comportamiento de dos funciones diferentes, por un lado la función original y por otro su recta tangente.

La función original y su recta tangente en el punto $P(x,y)$ comparten solo ese punto. Cualquier otro punto ${P}_{1}({x}_{1},{y}_{1})$ perteneciente a la función original, no será tomado por su recta tangente en el punto $P(x,y)$ por más cerca que seleccionemos ${x}_{1}$ de $x$

Esto puede observarse evaluando, por un lado, $\Delta y$ y por el otro $dy$. Para que la comparación tenga sentido, $\Delta x$ tiene que ser igual que $dx$ y tienen que tener como coordenada o abscisa $x$ de partida, la correspondiente al punto $P(x,y)$

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

En el espacio $R^2$tenemos la función $y=x^2$, con dominio de $x \in [2,3]$ y codominio $y \in [4,9]$. ¿Qué son $dx$ y $dy$? , ¿Qué valores toman y porque?, ¿Cuál es la relación entre $dx$ y $dy$?, ¿Que son $\Delta x$ y $\Delta y$? ¿Qué valores toman y porque?, ¿ Existe relación de $\Delta$s con diferenciales o no?

En la aritmética de los numeros hiperreales $\mathbb{R}^*$, $dx$ y $\Delta x$ son lo mismo, numeros hiperreales infinitesimales, tanto se puede usar una nomeclatura como la otra.

Todos lo numeros reales son hiperreales. Un numero $\epsilon$ es hiperreal infinitesimal si para cada numero real $a$ positivo cumple la siguiente condición:
$-a < \epsilon < a$
El unico número real que es infinitesimal es el 0, hay mas numeros infinitesimales pero no están dentro de la recta real.
Se dice que dos numeros $a,b$ hiperreales estan infinitamente proximos si: $a-b$ = numero hiperreal infinitesimal.
Como con los numeros reales tambien se puede operar algebraicamente con los numeros hiperreales.

Ahora pasemos a la funcion que propones $y=x^2$. Consideremos dos puntos cualquiera $x_0,y_0$ pertenecientes a la curva. Definamos $\Delta x$ como un numero hiperreal infinitesimal positivo o negativo pero no 0, y $\Delta y$ el cambio que se produce en y al incrementar x en la cantidad $\Delta x$. Definimos:

Pendiente en el punto $(x_0,y_0)$ = El numero real infinitamente proximo al numero hiperreal $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Calculemos $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (x_0+\Delta x)^{2}-x_0^{2} }{ \Delta x} = 2x_0+\Delta x$

El valor calculado no es un numero real sino un numero hiperreal. Pero como $2x_0+\Delta x$ esta infinitamente proximo al número real $2x_0$. Concluimos que:

Pendiente en el punto $(x_0,y_0)$ = $2x_0$

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Esto puede observarse evaluando, por un lado, $\Delta y$ y por el otro $dy$. Para que la comparación tenga sentido, $\Delta x$ tiene que ser igual que $dx$ y tienen que tener como coordenada o abscisa $x$ de partida, la correspondiente al punto $P(x,y)$

Entonces, ahora resulta que "para que tenga sentido" $\Delta x =dx$ (parafraseandote). Vuelvo a la misma pregunta cual es la relación entre $dx$, $dy$, $\Delta x$ y $\Delta y$. Sería mejor que repases de nuevo y luego recomiendas a los físicos que hacen bien y que hacen mal.

Saludos.

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

El valor calculado no es un numero real sino un numero hiperreal. Pero como $2x_0+\Delta x$ esta infinitamente proximo al número real $2x_0$. Concluimos que:

Pendiente en el punto $(x_0,y_0)$ = $2x_0$

Consulta: ¿Esto no viola el principio de identidad?
Es decir, por lo que entiendo estás afirmando lo siguiente $y+dx=y$
saludos